Celosía cuadrada

En matemáticas , la red cuadrada es un tipo de red en un espacio euclidiano bidimensional . Es la versión bidimensional de la red entera , denotada como ⁠ ⁠ $\mathbb {Z} ^{2}$ . ^[1] Es uno de los cinco tipos de redes bidimensionales clasificadas por sus grupos de simetría ; ^[2] su grupo de simetría en notación IUC como $p4m$ , ^[3] notación de Coxeter como $[4,4]$ , ^[4] y notación orbifold como $*442$ . ^[5]

Las dos orientaciones de una imagen de la red son, con diferencia, las más comunes. Se las puede denominar, de forma conveniente, red cuadrada vertical y red cuadrada diagonal; la última también se denomina red cuadrada centrada . ^[6] Se diferencian en un ángulo de 45°. Esto está relacionado con el hecho de que una red cuadrada se puede dividir en dos subredes cuadradas, como es evidente en la coloración de un tablero de ajedrez .

Simetría

La categoría de simetría de la red cuadrada es el grupo de papel tapiz $p4m$ . Un patrón con esta red de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la red misma. Una red cuadrada vertical se puede ver como una red cuadrada diagonal con un tamaño de malla que es √2 veces más grande, con los centros de los cuadrados agregados. Correspondientemente, después de agregar los centros de los cuadrados de una red cuadrada vertical, se obtiene una red cuadrada diagonal con un tamaño de malla que es √2 veces más pequeño que el de la red original. Un patrón con simetría rotacional de 4 pliegues tiene una red cuadrada de rotocentros de 4 pliegues que es un factor √2 más fino y orientado diagonalmente en relación con la red de simetría traslacional .

Respecto a los ejes de reflexión existen tres posibilidades:

Ninguno. Este es el grupo de fondos de pantalla $p4$ .
En cuatro direcciones. Este es el grupo de fondos de pantalla $p4m$ .
En dos direcciones perpendiculares . Este es el grupo de papel tapiz $p4g$ . Los puntos de intersección de los ejes de reflexión forman una cuadrícula cuadrada que es tan fina como la red cuadrada de rotocentros cuádruples y está orientada de la misma manera, con estos rotocentros en los centros de los cuadrados formados por los ejes de reflexión.

Clases de cristales

Los nombres de las clases de celosía cuadrada , notación de Schönflies , notación de Hermann-Mauguin , notación orbifold , notación de Coxeter y grupos de papel tapiz se enumeran en la siguiente tabla.

Véase también

Referencias

^ Conway, John ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos de esferas, redes y grupos, Springer, pág. 106, ISBN 9780387985855.
^ Golubitsky, Martin ; Stewart, Ian (2003), La perspectiva de simetría: del equilibrio al caos en el espacio de fases y el espacio físico, Progress in Mathematics, vol. 200, Springer, pág. 129, ISBN 9783764321710.
^ Field, Michael; Golubitsky, Martin (2009), Simetría en el caos: una búsqueda de patrones en las matemáticas, el arte y la naturaleza (2.ª ed.), SIAM, pág. 47, ISBN 9780898717709.
^ Johnson, Norman W .; Weiss, Asia Ivić (1999), "Números enteros cuadráticos y grupos de Coxeter", Revista canadiense de matemáticas , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. Véase en particular la parte superior de la página 1320.
^ Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", en Goodman, Jacob E .; O'Rourke, Joseph (eds.), Handbook of Discrete and Computational Geometry , Matemáticas discretas y sus aplicaciones (2.ª ed.), CRC Press, págs. 53-72, ISBN 9781420035315. Véase en particular la tabla de la pág. 62 que relaciona la notación IUC con la notación orbifold.
^ Johnston, Bernard L.; Richman, Fred (1997), Números y simetría: una introducción al álgebra, CRC Press, pág. 159, ISBN 9780849303012.

[1] Conway, John ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos de esferas, redes y grupos, Springer, pág. 106, ISBN 9780387985855.

[2] Golubitsky, Martin ; Stewart, Ian (2003), La perspectiva de simetría: del equilibrio al caos en el espacio de fases y el espacio físico, Progress in Mathematics, vol. 200, Springer, pág. 129, ISBN 9783764321710.

[3] Field, Michael; Golubitsky, Martin (2009), Simetría en el caos: una búsqueda de patrones en las matemáticas, el arte y la naturaleza (2.ª ed.), SIAM, pág. 47, ISBN 9780898717709.

[4] Johnson, Norman W .; Weiss, Asia Ivić (1999), "Números enteros cuadráticos y grupos de Coxeter", Revista canadiense de matemáticas , 51 (6): 1307–1336, doi : 10.4153/CJM-1999-060-6. Véase en particular la parte superior de la página 1320.

[5] Schattschneider, Doris ; Senechal, Marjorie (2004), "Tilings", en Goodman, Jacob E .; O'Rourke, Joseph (eds.), Handbook of Discrete and Computational Geometry , Matemáticas discretas y sus aplicaciones (2.ª ed.), CRC Press, págs. 53-72, ISBN 9781420035315. Véase en particular la tabla de la pág. 62 que relaciona la notación IUC con la notación orbifold.

[6] Johnston, Bernard L.; Richman, Fred (1997), Números y simetría: una introducción al álgebra, CRC Press, pág. 159, ISBN 9780849303012.