Racional gaussiano

En matemáticas , un número racional gaussiano es un número complejo de la forma p  +  qi , donde p y q son ambos números racionales . El conjunto de todos los racionales gaussianos forma el campo racional gaussiano , denotado Q ( i ), que se obtiene al adjuntar el número imaginario i al campo de racionales Q.

El campo de los racionales gaussianos proporciona un ejemplo de un campo numérico algebraico que es a la vez un campo cuadrático y un campo ciclotómico (ya que i es una raíz 4 de la unidad ). Como todos los campos cuadráticos, es una extensión de Galois de Q con un grupo de Galois cíclico de orden dos, en este caso generado por conjugación compleja , y es por lo tanto una extensión abeliana de Q , con conductor 4. ^[1]

Al igual que sucede con los campos ciclotómicos en general, el campo de los racionales gaussianos no está ordenado ni completo (como espacio métrico). Los enteros gaussianos Z [ i ] forman el anillo de enteros de Q ( i ). El conjunto de todos los racionales gaussianos es infinito numerable .

El campo de racionales gaussianos es también un espacio vectorial bidimensional sobre Q con base natural . ${\estilo de visualización \{1,i\}}$

El concepto de círculos de Ford se puede generalizar de los números racionales a los racionales gaussianos, dando lugar a las esferas de Ford. En esta construcción, los números complejos se incrustan como un plano en un espacio euclidiano tridimensional , y para cada punto racional gaussiano en este plano se construye una esfera tangente al plano en ese punto. Para un racional gaussiano representado en términos mínimos como (es decir, ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ son primos entre sí), el radio de esta esfera debería ser donde es el módulo al cuadrado, y ⁠ ⁠ es el conjugado complejo . Las esferas resultantes son tangentes para pares de racionales gaussianos y con , y de lo contrario no se intersecan entre sí. ^{[2] [3]}${\estilo de visualización p/q}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$${\displaystyle 1/2|q|^{2}}$${\displaystyle |q|^{2}=q{\bar {q}}}$${\displaystyle {\bar {q}}}$${\estilo de visualización P/Q}$${\estilo de visualización p/q}$${\displaystyle |Pq-pQ|=1}$