problema de Dirichlet

En matemáticas , un problema de Dirichlet pide una función que resuelva una ecuación diferencial parcial (EDP) específica en el interior de una región dada que tome valores prescritos en el límite de la región. ^{[ 1 ]}

El problema de Dirichlet se puede resolver para muchas EDP, aunque originalmente se planteó para la ecuación de Laplace . En ese caso, el problema se puede enunciar de la siguiente manera:

Dada una función f que tiene valores en todas partes en el límite de una región en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$¿Existe una función continua única?${\displaystyle u}$dos veces continuamente diferenciable en el interior y continua en la frontera, de tal manera que${\displaystyle u}$es armónico en el interior y${\displaystyle u=f}$¿En el límite?

Este requisito se denomina condición de contorno de Dirichlet . El principal problema es demostrar la existencia de una solución; la unicidad se puede probar utilizando el principio del máximo .

El problema de Dirichlet se remonta a George Green , quien lo estudió en dominios generales con condiciones de contorno generales en su Ensayo sobre la aplicación del análisis matemático a las teorías de la electricidad y el magnetismo , publicado en 1828. ^{[ 2 ]} Redujo el problema a la construcción de lo que hoy conocemos como funciones de Green , y argumentó que la función de Green existe para cualquier dominio. Si bien sus métodos no eran rigurosos según los estándares actuales, sus ideas tuvieron una gran influencia en los desarrollos posteriores.

Los siguientes pasos en el estudio del problema de Dirichlet fueron dados por Karl Friedrich Gauss , William Thomson ( Lord Kelvin ) y Peter Gustav Lejeune Dirichlet , de quien el problema recibió su nombre. La solución al problema (al menos para la bola) utilizando el núcleo de Poisson era conocida por Dirichlet (a juzgar por su artículo de 1850 presentado a la academia prusiana). Lord Kelvin y Dirichlet propusieron una solución al problema mediante un método variacional basado en la minimización de la "energía de Dirichlet".

Según Hans Freudenthal (en el Diccionario de Biografía Científica , vol.  11), Bernhard Riemann fue el primer matemático que resolvió este problema variacional basándose en un método que denominó principio de Dirichlet . La existencia de una solución única resulta muy plausible desde el punto de vista físico: cualquier distribución de carga en la frontera debería, según las leyes de la electrostática , determinar un potencial eléctrico como solución. Sin embargo, Karl Weierstrass halló una deficiencia en el argumento de Riemann, y la demostración rigurosa de su existencia no se encontró hasta 1900 por David Hilbert , utilizando su método directo en el cálculo de variaciones . Resulta que la existencia de una solución depende sutilmente de la suavidad de la frontera y de los datos prescritos.

Para un dominio${\displaystyle D}$tener un límite suficientemente liso${\displaystyle \partial D}$La solución general al problema de Dirichlet viene dada por

${\displaystyle u(x)=\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds,}$

dónde${\displaystyle G(x,y)}$es la función de Green para la ecuación diferencial parcial, y

${\displaystyle {\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}={\widehat {n}}\cdot \nabla _{s}G(x,s)=\sum _{i}n_{i}{\frac {\partial G(x,s)}{\partial s_{i}}}}$

es la derivada de la función de Green a lo largo del vector normal unitario que apunta hacia adentro${\displaystyle {\widehat {n}}}$. La integración se realiza en el límite, con medida${\displaystyle ds}$. La función${\displaystyle \nu (s)}$viene dada por la solución única de la ecuación integral de Fredholm de segundo tipo,

${\displaystyle f(x)=-{\frac {\nu (x)}{2}}+\int _{\partial D}\nu (s){\frac {\partial G(x,s)}{\partial n}}\,ds.}$

La función de Green que se utilizará en la integral anterior es aquella que se anula en la frontera:

${\displaystyle G(x,s)=0}$

para${\displaystyle s\in \partial D}$y${\displaystyle x\in D}$Dicha función de Green suele ser una suma de la función de Green de campo libre y una solución armónica de la ecuación diferencial.

^{En algunos casos sencillos ,} el problema de Dirichlet puede resolverse explícitamente. Por ejemplo, la solución al problema de Dirichlet para el disco unitario en R² viene dada por la fórmula integral de Poisson . ^{[ 3 ]}

Si${\displaystyle f}$es una función continua en el límite${\displaystyle \partial D}$del disco de la unidad abierta${\displaystyle D}$, entonces la solución al problema de Dirichlet es${\displaystyle u(z)}$dado por

${\displaystyle u(z)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(e^{i\psi }){\frac {1-|z|^{2}}{|1-ze^{-i\psi }|^{2}}}\,d\psi &{\text{if }}z\in D,\\f(z)&{\text{if }}z\in \partial D.\end{cases}}}$

La solución${\displaystyle u}$es continuo en el disco de la unidad cerrada${\displaystyle {\bar {D}}}$y armónico en${\displaystyle D.}$

El integrando se conoce como núcleo de Poisson ; esta solución se deriva de la función de Green en dos dimensiones:

${\displaystyle G(z,x)=-{\frac {1}{2\pi }}\log |z-x|+\gamma (z,x),}$

dónde${\displaystyle \gamma (z,x)}$es armónico (${\displaystyle \Delta _{x}\gamma (z,x)=0}$) y elegido de tal manera que${\displaystyle G(z,x)=0}$para${\displaystyle x\in \partial D}$.

Para dominios acotados, el problema de Dirichlet se puede resolver utilizando el método de Perron , que se basa en el principio del máximo para funciones subarmónicas . Este enfoque se describe en muchos libros de texto. ^{[ 4 ]} No es adecuado para describir la suavidad de las soluciones cuando la frontera es suave. Otro enfoque clásico de espacios de Hilbert a través de espacios de Sobolev sí proporciona dicha información. ^{[ 5 ]}

La solución del problema de Dirichlet mediante espacios de Sobolev para dominios planos puede utilizarse para demostrar la versión suave del teorema de mapeo de Riemann . Bell (1992) esbozó un enfoque diferente para establecer el teorema de mapeo de Riemann suave, basado en los núcleos reproductores de Szegő y Bergman, y a su vez lo utilizó para resolver el problema de Dirichlet. Los métodos clásicos de la teoría del potencial permiten resolver el problema de Dirichlet directamente en términos de operadores integrales , para los cuales se aplica la teoría estándar de operadores compactos y de Fredholm . Los mismos métodos funcionan igualmente para el problema de Neumann . ^{[ 6 ]}

Los problemas de Dirichlet son típicos de las ecuaciones diferenciales parciales elípticas y de la teoría del potencial , y en particular de la ecuación de Laplace . Otros ejemplos incluyen la ecuación biarmónica y ecuaciones relacionadas en la teoría de la elasticidad .

Son uno de los varios tipos de problemas de EDP definidos por la información dada en la frontera, incluidos los problemas de Neumann y los problemas de Cauchy .

Consideremos el problema de Dirichlet para la ecuación de onda que describe una cuerda unida entre paredes con un extremo fijo y el otro moviéndose con velocidad constante, es decir, la ecuación de d'Alembert en la región triangular del producto cartesiano del espacio y el tiempo:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0,}$

${\displaystyle u(0,t)=0,}$

${\displaystyle u(\lambda t,t)=0.}$

Como se puede comprobar fácilmente mediante sustitución, la solución que cumple la primera condición es

${\displaystyle u(x,t)=f(t-x)-f(x+t).}$

Además queremos

${\displaystyle f(t-\lambda t)-f(\lambda t+t)=0.}$

Sustituyendo

${\displaystyle \tau =(\lambda +1)t,}$

obtenemos la condición de autosimilitud

${\displaystyle f(\gamma \tau )=f(\tau ),}$

dónde

${\displaystyle \gamma ={\frac {1-\lambda }{\lambda +1}}.}$

Se cumple, por ejemplo, mediante la función compuesta.

${\displaystyle \sin[\log(e^{2\pi }x)]=\sin[\log(x)]}$

con

${\displaystyle \lambda =e^{2\pi }=1^{-i},}$

así en general

${\displaystyle f(\tau )=g[\log(\gamma \tau )],}$

dónde${\displaystyle g}$es una función periódica con un período${\displaystyle \log(\gamma )}$:

${\displaystyle g[\tau +\log(\gamma )]=g(\tau ),}$

y obtenemos la solución general

${\displaystyle u(x,t)=g[\log(t-x)]-g[\log(x+t)].}$

• columna de Lebesgue

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