condición de contorno de Neumann

Por ejemplo, para una ecuación diferencial ordinaria,

${\displaystyle y''+y=0,}$

Las condiciones de contorno de Neumann en el intervalo [ a , b ] toman la forma

${\displaystyle y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,}$

donde α y β son números dados.

Por ejemplo, para una ecuación diferencial parcial,

${\displaystyle \nabla ^{2}y+y=0,}$

donde ∇ ² denota el operador de Laplace , las condiciones de contorno de Neumann en un dominio Ω ⊂ R ⁿ toman la forma

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,}$

donde n denota la normal (típicamente exterior) al límite ∂Ω , y f es una función escalar dada .

La derivada normal , que aparece en el lado izquierdo, se define como

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),}$

donde ∇ y ( x ) representa el vector gradiente de y ( x ) , n̂ es la normal unitaria y ⋅ representa el operador de producto interno .

Resulta evidente que el límite debe ser suficientemente suave para que pueda existir la derivada normal, ya que, por ejemplo, en los puntos de esquina del límite el vector normal no está bien definido.

Las siguientes aplicaciones implican el uso de condiciones de contorno de Neumann:

• En termodinámica , un flujo de calor prescrito desde una superficie sirve como condición de contorno. Por ejemplo, un aislante perfecto no tendría flujo, mientras que un componente eléctrico podría estar disipando calor a una potencia conocida.
• En magnetostática , la intensidad del campo magnético puede prescribirse como condición de contorno para determinar la distribución de la densidad de flujo magnético en un conjunto de imanes en el espacio, por ejemplo, en un motor de imanes permanentes. Dado que los problemas en magnetostática implican la resolución de la ecuación de Laplace o la ecuación de Poisson para el potencial escalar magnético , la condición de contorno es una condición de Neumann.
• En ecología espacial , una condición de contorno de Neumann en un sistema de reacción-difusión , como la ecuación de Fisher , puede interpretarse como un contorno reflectante, de modo que todos los individuos que encuentran ∂Ω se reflejan de vuelta a Ω . ^{[ 2 ]}