Cálculo de variaciones

Para ilustrar este proceso, consideremos el problema de encontrar la función extremal.${\displaystyle y=f(x),}$que es la curva más corta que conecta dos puntos${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$y${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right).}$La longitud de arco de la curva viene dada por

$${\displaystyle A[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+[y'(x)]^{2}}}\,dx\,,}$$

con

$${\displaystyle y'(x)={\frac {dy}{dx}}\,,\ \ y_{1}=f(x_{1})\,,\ \ y_{2}=f(x_{2})\,.}$$

Cabe señalar que asumir que y es una función de x implica una pérdida de generalidad; idealmente, ambas deberían ser función de algún otro parámetro. Este enfoque solo es útil con fines didácticos.

Ahora se utilizará la ecuación de Euler-Lagrange para encontrar la función extremal.${\displaystyle f(x)}$que minimiza el funcional${\displaystyle A[y].}$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0}$$

con

$${\displaystyle L={\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,.}$$

Desde${\displaystyle f}$no aparece explícitamente en${\displaystyle L,}$El primer término de la ecuación de Euler-Lagrange se anula para todos${\displaystyle f(x)}$y por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial L}{\partial f'}}=0\,.}$$

Sustituir por${\displaystyle L}$y tomando la derivada,

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}\ =0\,.}$$

De este modo

$${\displaystyle {\frac {f'(x)}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}}=c\,,}$$

por alguna constante${\displaystyle c}$. Entonces

$${\displaystyle {\frac {[f'(x)]^{2}}{1+[f'(x)]^{2}}}=c^{2}\,,}$$

dónde

$${\displaystyle 0\leq c^{2}<1.}$$

Resolviendo, obtenemos

$${\displaystyle [f'(x)]^{2}={\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}}$$

lo cual implica que

$${\displaystyle f'(x)=m}$$

es una constante y por lo tanto que la curva más corta que conecta dos puntos${\displaystyle \left(x_{1},y_{1}\right)}$y${\displaystyle \left(x_{2},y_{2}\right)}$es

$${\displaystyle f(x)=mx+b\qquad {\text{with}}\ \ m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\quad {\text{and}}\quad b={\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}}$$

y así hemos encontrado la función extremal${\displaystyle f(x)}$que minimiza el funcional${\displaystyle A[y]}$de modo que${\displaystyle A[f]}$es un mínimo. La ecuación para una línea recta es${\displaystyle y=mx+b.}$En otras palabras, la distancia más corta entre dos puntos es una línea recta. ^{[ j ]}

A menudo basta con considerar solo pequeños desplazamientos de la membrana, cuya diferencia de energía con respecto a la ausencia de desplazamiento se aproxima mediante

$${\displaystyle V[\varphi ]={\frac {1}{2}}\iint _{D}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \,dx\,dy.}$$

El funcional${\displaystyle V}$debe minimizarse entre todas las funciones de prueba.${\displaystyle \varphi }$que asumen valores prescritos en el límite de${\displaystyle D}$. Si${\displaystyle u}$es la función minimizadora y${\displaystyle v}$es una función suave arbitraria que se anula en el límite de${\displaystyle D}$, entonces la primera variación de${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$debe desaparecer:

$${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}V[u+\varepsilon v]\right|_{\varepsilon =0}=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v\,dx\,dy=0.}$$

Siempre que${\displaystyle u}$tiene dos derivadas, podemos aplicar el teorema de la divergencia para obtener

$${\displaystyle \iint _{D}\nabla \cdot (v\nabla u)\,dx\,dy=\iint _{D}\nabla u\cdot \nabla v+v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=\int _{C}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\,ds,}$$

dónde${\displaystyle C}$es el límite de${\displaystyle D,}$${\displaystyle s}$es la longitud de arco a lo largo${\displaystyle C}$y${\displaystyle \partial u/\partial n}$es la derivada normal de${\displaystyle u}$en${\displaystyle C.}$Desde${\displaystyle v}$desaparece en${\displaystyle C}$y la primera variación desaparece, el resultado es

$${\displaystyle \iint _{D}v\nabla \cdot \nabla u\,dx\,dy=0}$$

para todas las funciones fluidas${\displaystyle v}$que se desvanecen en el límite de${\displaystyle D}$. La demostración para el caso de integrales unidimensionales puede adaptarse a este caso para demostrar que

$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0}$$en${\displaystyle D.}$

La dificultad con este razonamiento radica en la suposición de que la función minimizadora${\displaystyle u}$debe tener dos derivadas. Riemann argumentó que la existencia de una función minimizadora suave estaba asegurada por la conexión con el problema físico: las membranas, en efecto, adoptan configuraciones con energía potencial mínima. Riemann denominó a esta idea principio de Dirichlet en honor a su maestro Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sin embargo, Weierstrass dio un ejemplo de un problema variacional sin solución: minimizar

$${\displaystyle W[\varphi ]=\int _{-1}^{1}(x\varphi ')^{2}\,dx}$$

entre todas las funciones${\displaystyle \varphi }$que satisfacen${\displaystyle \varphi (-1)=-1}$y${\displaystyle \varphi (1)=1.}$${\displaystyle W}$se puede hacer arbitrariamente pequeño eligiendo funciones lineales a trozos que hagan una transición entre −1 y 1 en un pequeño entorno del origen. Sin embargo, no hay ninguna función que haga${\displaystyle W=0.}$^{[ k ]} Finalmente se demostró que el principio de Dirichlet es válido, pero requiere una aplicación sofisticada de la teoría de regularidad paraecuaciones diferenciales parciales elípticas; véase Jost y Li–Jost (1998).

Una expresión más general para la energía potencial de una membrana es

$${\displaystyle V[\varphi ]=\iint _{D}\left[{\frac {1}{2}}\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +f(x,y)\varphi \right]\,dx\,dy\,+\int _{C}\left[{\frac {1}{2}}\sigma (s)\varphi ^{2}+g(s)\varphi \right]\,ds.}$$

Esto corresponde a una densidad de fuerza externa${\displaystyle f(x,y)}$en${\displaystyle D,}$una fuerza externa${\displaystyle g(s)}$en el límite${\displaystyle C,}$y fuerzas elásticas con módulo${\displaystyle \sigma (s)}$actuando en${\displaystyle C}$La función que minimiza la energía potencial sin ninguna restricción en sus valores límite se denotará por${\displaystyle u}$. Siempre que${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$son continuas, la teoría de la regularidad implica que la función minimizadora${\displaystyle u}$tendrá dos derivadas. Al tomar la primera variación, no es necesario imponer ninguna condición de contorno al incremento.${\displaystyle v}$. La primera variación de${\displaystyle V[u+\varepsilon v]}$es dado por

$${\displaystyle \iint _{D}\left[\nabla u\cdot \nabla v+fv\right]\,dx\,dy+\int _{C}\left[\sigma uv+gv\right]\,ds=0.}$$

Si aplicamos el teorema de la divergencia, el resultado es

$${\displaystyle \iint _{D}\left[-v\nabla \cdot \nabla u+vf\right]\,dx\,dy+\int _{C}v\left[{\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g\right]\,ds=0.}$$

Si primero establecemos${\displaystyle v=0}$en${\displaystyle C,}$La integral de frontera se anula, y concluimos como antes que

$${\displaystyle -\nabla \cdot \nabla u+f=0}$$

en${\displaystyle D}$Entonces, si lo permitimos${\displaystyle v}$asumir valores límite arbitrarios, esto implica que${\displaystyle u}$debe satisfacer la condición de contorno

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma u+g=0,}$$

en${\displaystyle C}$Esta condición de contorno es consecuencia de la propiedad minimizadora de${\displaystyle u}$: no se impone de antemano. Estas condiciones se denominan condiciones de contorno naturales .

El razonamiento anterior no es válido si${\displaystyle \sigma }$desaparece idénticamente en${\displaystyle C.}$En tal caso, podríamos permitir una función de prueba.${\displaystyle \varphi \equiv c}$, dónde${\displaystyle c}$es una constante. Para tal función de prueba,

$${\displaystyle V[c]=c\left[\iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds\right].}$$

Mediante la elección adecuada de${\displaystyle c}$,${\displaystyle V}$puede asumir cualquier valor a menos que la cantidad dentro de los paréntesis se desvanezca. Por lo tanto, el problema variacional no tiene sentido a menos que

$${\displaystyle \iint _{D}f\,dx\,dy+\int _{C}g\,ds=0.}$$

Esta condición implica que las fuerzas externas netas que actúan sobre el sistema están en equilibrio. Si estas fuerzas están en equilibrio, entonces el problema variacional tiene una solución, pero no es única, ya que se puede añadir una constante arbitraria. Para más detalles y ejemplos, véase Courant y Hilbert (1953).

El problema de valores propios de Sturm-Liouville implica una forma cuadrática general.

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx,}$$

dónde${\displaystyle y}$está restringido a funciones que satisfacen las condiciones de contorno

$${\displaystyle y(x_{1})=0,\quad y(x_{2})=0.}$$

Dejar${\displaystyle R}$sea ​​una integral de normalización

$${\displaystyle R[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)y(x)^{2}\,dx.}$$

Las funciones${\displaystyle p(x)}$y${\displaystyle r(x)}$Se requiere que sean positivos en todas partes y estén acotados lejos de cero. El problema variacional principal es minimizar la razón${\displaystyle Q/R}$entre todos${\displaystyle y}$satisfacer las condiciones del punto final, lo cual es equivalente a minimizar${\displaystyle Q[y]}$bajo la restricción de que${\displaystyle R[y]}$es constante. A continuación se muestra que la ecuación de Euler-Lagrange para la minimización${\displaystyle u}$es

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0,}$$

dónde${\displaystyle \lambda }$es el cociente

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

Se puede demostrar (véase Gelfand y Fomin 1963) que la minimización${\displaystyle u}$tiene dos derivadas y satisface la ecuación de Euler-Lagrange. La asociada${\displaystyle \lambda }$se denotará por${\displaystyle \lambda _{1}}$; es el valor propio más bajo para esta ecuación y condiciones de contorno. La función minimizadora asociada se denotará por${\displaystyle u_{1}(x)}$. Esta caracterización variacional de los valores propios conduce al método de Rayleigh-Ritz : elegir una aproximación${\displaystyle u}$como una combinación lineal de funciones base (por ejemplo, funciones trigonométricas) y realizar una minimización de dimensión finita entre dichas combinaciones lineales. Este método suele ser sorprendentemente preciso.

El siguiente valor propio y función propia más pequeños se pueden obtener minimizando${\displaystyle Q}$bajo la restricción adicional

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}r(x)u_{1}(x)y(x)\,dx=0.}$$

Este procedimiento puede extenderse para obtener la secuencia completa de valores propios y funciones propias del problema.

El problema variacional también se aplica a condiciones de contorno más generales. En lugar de requerir que${\displaystyle y}$desaparecen en los puntos finales, no podemos imponer ninguna condición en los puntos finales y establecer

$${\displaystyle Q[y]=\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx+a_{1}y(x_{1})^{2}+a_{2}y(x_{2})^{2},}$$

dónde${\displaystyle a_{1}}$y${\displaystyle a_{2}}$son arbitrarios. Si establecemos${\displaystyle y=u+\varepsilon v}$, la primera variación para la razón${\displaystyle Q/R}$es

$${\displaystyle V_{1}={\frac {2}{R[u]}}\left(\int _{x_{1}}^{x_{2}}\left[p(x)u'(x)v'(x)+q(x)u(x)v(x)-\lambda r(x)u(x)v(x)\right]\,dx+a_{1}u(x_{1})v(x_{1})+a_{2}u(x_{2})v(x_{2})\right),}$$

dónde${\displaystyle \lambda }$viene dado por la razón${\displaystyle Q[u]/R[u]}$como antes. Después de la integración por partes,

$${\displaystyle {\frac {R[u]}{2}}V_{1}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}v(x)\left[-(pu')'+qu-\lambda ru\right]\,dx+v(x_{1})[-p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})]+v(x_{2})[p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})].}$$

Si primero requerimos que${\displaystyle v}$desaparecerán en los puntos finales, la primera variación desaparecerá para todos ellos.${\displaystyle v}$solo si

$${\displaystyle -(pu')'+qu-\lambda ru=0\quad {\hbox{for}}\quad x_{1}<x<x_{2}.}$$

Si${\displaystyle u}$Si se cumple esta condición, entonces la primera variación desaparecerá para cualquier valor arbitrario.${\displaystyle v}$solo si

$${\displaystyle -p(x_{1})u'(x_{1})+a_{1}u(x_{1})=0,\quad {\hbox{and}}\quad p(x_{2})u'(x_{2})+a_{2}u(x_{2})=0.}$$

Estas últimas condiciones son las condiciones límite naturales para este problema, ya que no se imponen a las funciones de prueba para la minimización, sino que son una consecuencia de la minimización.

Los problemas de valores propios en dimensiones superiores se definen de forma análoga al caso unidimensional. Por ejemplo, dado un dominio${\displaystyle D}$con límite${\displaystyle B}$en tres dimensiones podemos definir

$${\displaystyle Q[\varphi ]=\iiint _{D}p(X)\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi +q(X)\varphi ^{2}\,dx\,dy\,dz+\iint _{B}\sigma (S)\varphi ^{2}\,dS,}$$

y

$${\displaystyle R[\varphi ]=\iiint _{D}r(X)\varphi (X)^{2}\,dx\,dy\,dz.}$$

Dejar${\displaystyle u}$sea ​​la función que minimiza el cociente${\displaystyle Q[\varphi ]/R[\varphi ]}$, sin ninguna condición prescrita en el límite${\displaystyle B.}$La ecuación de Euler-Lagrange que satisface${\displaystyle u}$es

$${\displaystyle -\nabla \cdot (p(X)\nabla u)+q(x)u-\lambda r(x)u=0,}$$

dónde

$${\displaystyle \lambda ={\frac {Q[u]}{R[u]}}.}$$

La minimización${\displaystyle u}$También debe satisfacer la condición de contorno natural.

$${\displaystyle p(S){\frac {\partial u}{\partial n}}+\sigma (S)u=0,}$$

en el límite${\displaystyle B.}$Este resultado depende de la teoría de regularidad para ecuaciones diferenciales parciales elípticas; véase Jost y Li-Jost (1998) para más detalles. En Courant y Hilbert (1953) se encuentran numerosas extensiones, incluyendo resultados de completitud, propiedades asintóticas de los autovalores y resultados relativos a los nodos de las autofunciones.

El principio de Fermat establece que la luz toma un camino que (localmente) minimiza la longitud óptica entre sus puntos extremos. Si la${\displaystyle x}$-la coordenada se elige como parámetro a lo largo de la trayectoria, y${\displaystyle y=f(x)}$a lo largo del camino, entonces la longitud óptica viene dada por

$${\displaystyle A[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}n(x,f(x)){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}dx,}$$

donde el índice de refracción${\displaystyle n(x,y)}$Depende del material. Si lo intentamos${\displaystyle f(x)=f_{0}(x)+\varepsilon f_{1}(x)}$entonces la primera variación de${\displaystyle A}$(el derivado de${\displaystyle A}$con respecto a${\displaystyle \varepsilon }$) es

$${\displaystyle \delta A[f_{0},f_{1}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'(x)f_{1}'(x)}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}}+n_{y}(x,f_{0})f_{1}{\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}\right]dx.}$$

Tras integrar por partes del primer término entre paréntesis, obtenemos la ecuación de Euler-Lagrange.

$${\displaystyle -{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {n(x,f_{0})f_{0}'}{\sqrt {1+f_{0}'^{2}}}}\right]+n_{y}(x,f_{0}){\sqrt {1+f_{0}'(x)^{2}}}=0.}$$

Los rayos de luz se pueden determinar integrando esta ecuación. Este formalismo se utiliza en el contexto de la óptica lagrangiana y la óptica hamiltoniana .

En mecánica clásica, la acción,${\displaystyle S,}$se define como la integral de tiempo del lagrangiano,${\displaystyle L}$. El lagrangiano es la diferencia de energías,

$${\displaystyle L=T-U,}$$

dónde${\displaystyle T}$es la energía cinética de un sistema mecánico y${\displaystyle U}$su energía potencial . El principio de Hamilton (o principio de acción) establece que el movimiento de un sistema mecánico holonómico conservativo (con restricciones integrables) es tal que la integral de acción

$${\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(x,{\dot {x}},t)\,dt}$$

es estacionario con respecto a las variaciones en la trayectoria${\displaystyle x(t)}$Las ecuaciones de Euler-Lagrange para este sistema se conocen como ecuaciones de Lagrange:

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}},}$$

y son equivalentes a las ecuaciones de movimiento de Newton (para tales sistemas).

Los momentos conjugados${\displaystyle P}$se definen por

$${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}.}$$

Por ejemplo, si

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2},}$$

entonces$${\displaystyle p=m{\dot {x}}.}$$

La mecánica hamiltoniana resulta si se introducen los momentos conjugados en lugar de${\displaystyle {\dot {x}}}$mediante una transformación de Legendre del Lagrangiano${\displaystyle L}$en el hamiltoniano${\displaystyle H}$definido por

$${\displaystyle H(x,p,t)=p\,{\dot {x}}-L(x,{\dot {x}},t).}$$

El hamiltoniano es la energía total del sistema:${\displaystyle H=T+U}$. La analogía con el principio de Fermat sugiere que las soluciones de las ecuaciones de Lagrange (las trayectorias de las partículas) pueden describirse en términos de superficies de nivel de alguna función de${\displaystyle X}$Esta función es una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi :

$${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+H\left(x,{\frac {\partial \psi }{\partial x}},t\right)=0.}$$

Otras aplicaciones del cálculo de variaciones incluyen las siguientes:

• La derivación de la forma catenaria
• Solución al problema de resistencia mínima de Newton
• Solución al problema de la braquistócrona
• Solución al problema de la tautócrona
• Solución a problemas isoperimétricos
• Cálculo de geodésicas
• Encontrar superficies mínimas y resolver el problema de Plateau
• Control óptimo
• Mecánica analítica , o reformulaciones de las leyes del movimiento de Newton, en particular la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana ;
• Óptica geométrica, especialmente óptica lagrangiana y hamiltoniana ;
• Método variacional (mecánica cuántica) , una forma de encontrar aproximaciones al estado propio de energía más baja o estado fundamental, y a algunos estados excitados;
• Variational Bayesian methods, a family of techniques for approximating intractable integrals arising in Bayesian inference and machine learning;
• Variational methods in general relativity, a family of techniques using calculus of variations to solve problems in Einstein's general theory of relativity;
• Finite element method is a variational method for finding numerical solutions to boundary-value problems in differential equations;
• Total variation denoising, an image processing method for filtering high variance or noisy signals.