Teoría de perturbaciones

En matemáticas , la teoría de perturbaciones comprende métodos para encontrar una solución aproximada a un problema, partiendo de la solución exacta de un problema relacionado y más simple. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Una característica fundamental de la técnica es un paso intermedio que divide el problema en partes "resolubles" y "perturbativas". ^{[ 3 ]} En la teoría de perturbaciones regular , la solución se expresa como una serie de potencias en un parámetro pequeño.${\displaystyle \varepsilon }$. ^{[ 1 ] [ 2 ]} El primer término es la solución conocida al problema resoluble. Los términos sucesivos en la serie en potencias más altas de${\displaystyle \varepsilon }$Por lo general, se vuelven más pequeños. Se obtiene una "solución de perturbación" aproximada truncando la serie, a menudo conservando solo los dos primeros términos, la solución al problema conocido y la corrección de perturbación de "primer orden".

La teoría de perturbaciones se utiliza en una amplia gama de campos y alcanza sus formas más sofisticadas y avanzadas en la teoría cuántica de campos . La teoría de perturbaciones (mecánica cuántica) describe el uso de este método en la mecánica cuántica . En general, este campo sigue siendo objeto de intensa investigación en diversas disciplinas.

La teoría de perturbaciones desarrolla una expresión para la solución deseada en términos de una serie de potencias formal, conocida como serie de perturbaciones, en algún parámetro "pequeño", que cuantifica la desviación del problema exactamente soluble. El término principal de esta serie de potencias es la solución del problema exactamente soluble, mientras que los términos siguientes describen la desviación en la solución, debido a la desviación del problema inicial. Formalmente, tenemos para la aproximación a la solución completa${\displaystyle \ A\ ,}$una serie en el parámetro pequeño (aquí llamado ε ), como la siguiente:

${\displaystyle A\equiv A_{0}+\varepsilon ^{1}A_{1}+\varepsilon ^{2}A_{2}+\varepsilon ^{3}A_{3}+\cdots }$

En este ejemplo,${\displaystyle \ A_{0}\ }$sería la solución conocida al problema inicial exactamente resoluble, y los términos${\displaystyle \ A_{1},A_{2},A_{3},\ldots \ }$representan los términos de primer orden , segundo orden , tercer orden y orden superior , que pueden hallarse iterativamente mediante un procedimiento mecanicista pero cada vez más difícil. Para valores pequeños de${\displaystyle \ \varepsilon \ }$Estos términos de orden superior en la serie generalmente (pero no siempre) se vuelven sucesivamente más pequeños. Se obtiene una "solución perturbativa" aproximada truncando la serie, a menudo conservando solo los dos primeros términos, expresando la solución final como una suma de la solución inicial (exacta) y la corrección perturbativa de "primer orden".

${\displaystyle A\to A_{0}+\varepsilon A_{1}\qquad {\mathsf {para}}\qquad \varepsilon \to 0}$

Algunos autores utilizan la notación O grande para indicar el orden del error en la solución aproximada:${\displaystyle \;A=A_{0}+\varepsilon A_{1}+{\mathcal {O}}{\bigl (}\ \varepsilon ^{2}\ {\bigr )}~.}$^{[ 2 ]}

Si la serie de potencias en${\displaystyle \ \varepsilon \ }$Si converge con un radio de convergencia distinto de cero, el problema de perturbación se denomina problema de perturbación regular . ^{[ 1 ]} En los problemas de perturbación regulares, la solución asintótica se aproxima suavemente a la solución exacta. ^{[ 1 ]} Sin embargo, la serie de perturbación también puede divergir, y la serie truncada aún puede ser una buena aproximación a la solución verdadera si se trunca en un punto donde sus elementos son mínimos. Esto se denomina serie asintótica . Si la serie de perturbación es divergente o no es una serie de potencias (por ejemplo, si la expansión asintótica debe incluir potencias no enteras)${\displaystyle \ \varepsilon ^{\left(1/2\right)}\ }$o poderes negativos${\displaystyle \ \varepsilon ^{-2}\ }$) entonces el problema de perturbación se llama problema de perturbación singular . ^{[ 1 ]} Se han desarrollado muchas técnicas especiales en la teoría de perturbaciones para analizar problemas de perturbación singular. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

El primer uso de lo que ahora se denominaría teoría de perturbaciones fue para abordar problemas matemáticos de la mecánica celeste que de otro modo serían irresolubles : por ejemplo, la órbita de la Luna , que se mueve de manera notablemente diferente a una elipse kepleriana simple debido a la gravedad competitiva de la Tierra y el Sol . ^{[ 5 ]}

Los métodos de perturbación parten de una forma simplificada del problema original, lo suficientemente simple como para resolverse con exactitud. En mecánica celeste , esto suele ser una elipse kepleriana . Bajo la gravedad newtoniana , una elipse es exactamente correcta cuando solo hay dos cuerpos gravitantes (por ejemplo, la Tierra y la Luna ), pero no del todo correcta cuando hay tres o más objetos (por ejemplo, la Tierra, la Luna , el Sol y el resto del Sistema Solar ), y tampoco del todo correcta cuando la interacción gravitatoria se expresa mediante formulaciones de la relatividad general .

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior, se sigue una receta general para obtener la serie de perturbaciones. La expansión perturbativa se crea añadiendo correcciones sucesivas al problema simplificado. Las correcciones se obtienen imponiendo consistencia entre la solución no perturbada y las ecuaciones que describen el sistema en su totalidad.${\displaystyle \ D\ }$para esta colección de ecuaciones; es decir, sea el símbolo${\displaystyle \ D\ }$representa el problema que se va a resolver. Con frecuencia, se trata de ecuaciones diferenciales, de ahí la letra "D".

El proceso es generalmente mecánico, aunque laborioso. Se comienza escribiendo las ecuaciones.${\displaystyle \ D\ }$de modo que se dividen en dos partes: alguna colección de ecuaciones${\displaystyle \ D_{0}\ }$que se puede resolver exactamente, y alguna parte restante adicional${\displaystyle \ \varepsilon D_ {1}\ }$para algunos pequeños${\displaystyle \ \left|\;\!\varepsilon \;\!\right|\ll 1~.}$La solución${\displaystyle \ A_{0}\ }$(a${\displaystyle \ D_{0}\ }$) es conocido, y se busca la solución general${\displaystyle \ A\ }$a${\displaystyle \ D=D_{0}+\varepsilon D_{1}~.}$

A continuación, la aproximación${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$se inserta en${\displaystyle \\varepsilon D_ {1}}$Esto da como resultado una ecuación para${\displaystyle \ A_{1}\ ,}$que, en el caso general, puede escribirse en forma cerrada como una suma sobre integrales sobre${\displaystyle \ A_{0}~.}$De este modo, se ha obtenido la corrección de primer orden.${\displaystyle \ A_{1}\ }$y por lo tanto${\displaystyle \ A\approx A_{0}+\varepsilon A_{1}\ }$es una buena aproximación a${\displaystyle \ A~.}$Es una buena aproximación, precisamente porque las partes que se ignoraron eran de tamaño${\displaystyle \ \varepsilon ^{2}~.}$El proceso puede repetirse para obtener correcciones.${\displaystyle \ A_{2}\ ,}$etcétera.

En la práctica, este proceso rápidamente se convierte en una profusión de términos, que resultan extremadamente difíciles de manejar manualmente. Se dice que Isaac Newton comentó, respecto al problema de la órbita de la Luna : «Me duele la cabeza». ^{[ 6 ]} Esta dificultad de manejo ha obligado a la teoría de perturbaciones a desarrollarse hasta convertirse en un arte complejo para gestionar y escribir estos términos de orden superior. Uno de los avances fundamentales en mecánica cuántica para controlar la expansión son los diagramas de Feynman , que permiten representar las series de perturbaciones cuánticas mediante un esquema.

La teoría de perturbaciones se ha utilizado en una gran cantidad de contextos diferentes en física y matemáticas aplicadas. Ejemplos de la "colección de ecuaciones"${\displaystyle D}$incluyen ecuaciones algebraicas , ^{[ 7 ]} ecuaciones diferenciales ^{[ 8 ]} (por ejemplo, las ecuaciones de movimiento ^{[ 9 ]} y comúnmente ecuaciones de onda ), energía libre termodinámica en mecánica estadística , transferencia radiativa, ^{[ 10 ]} y operadores hamiltonianos en mecánica cuántica .

Algunos ejemplos de soluciones que se obtienen mediante métodos perturbativos incluyen la solución de la ecuación de movimiento ( por ejemplo , la trayectoria de una partícula), el promedio estadístico de alguna magnitud física ( por ejemplo , la magnetización promedio) y la energía del estado fundamental de un problema de mecánica cuántica.

Entre los ejemplos de problemas que se pueden resolver exactamente y que pueden utilizarse como puntos de partida se incluyen ecuaciones lineales , incluidas las ecuaciones lineales de movimiento ( oscilador armónico , ecuación de onda lineal ), sistemas estadísticos o cuántico-mecánicos de partículas que no interactúan (o, en general, hamiltonianos o energías libres que contengan únicamente términos cuadráticos en todos los grados de libertad).

Entre los ejemplos de sistemas que pueden resolverse mediante perturbaciones se incluyen sistemas con contribuciones no lineales a las ecuaciones de movimiento, interacciones entre partículas y términos de potencias superiores en el hamiltoniano/energía libre.

Para problemas físicos que implican interacciones entre partículas, los términos de la serie de perturbación se pueden mostrar (y manipular) utilizando diagramas de Feynman .

La teoría de perturbaciones se ideó inicialmente para resolver problemas que, de otro modo, serían irresolubles en el cálculo de los movimientos de los planetas del sistema solar. Por ejemplo, la ley de gravitación universal de Newton explicaba la gravitación entre dos cuerpos astronómicos, pero al añadir un tercer cuerpo, el problema era: "¿Cómo influye cada cuerpo en el otro?". Las ecuaciones orbitales de Kepler solo resuelven las ecuaciones gravitacionales de Newton cuando estas se limitan a la interacción de solo dos cuerpos. La creciente precisión de las observaciones astronómicas impulsó una mayor exigencia en la precisión de las soluciones a las ecuaciones gravitacionales de Newton, lo que llevó a muchos matemáticos eminentes de los  siglos XVIII y XIX, en particular a Joseph-Louis Lagrange y Pierre-Simon Laplace , a extender y generalizar los métodos de la teoría de perturbaciones.

Estos métodos de perturbación bien desarrollados fueron adoptados y adaptados para resolver nuevos problemas surgidos durante el desarrollo de la mecánica cuántica en  la física atómica y subatómica del siglo XX. Paul Dirac desarrolló la teoría de perturbación cuántica en 1927 para evaluar cuándo se emitiría una partícula en elementos radiactivos. Esto más tarde se denominó la regla de oro de Fermi . ^{[ 12 ] [ 13 ]} La teoría de perturbación en mecánica cuántica es bastante accesible, principalmente porque la mecánica cuántica se limita a ecuaciones de onda lineales, pero también porque la notación mecánica cuántica permite escribir expresiones de forma bastante compacta, lo que las hace más fáciles de comprender. Esto dio como resultado una explosión de aplicaciones, que van desde el efecto Zeeman hasta el desdoblamiento hiperfino en el átomo de hidrógeno .

A pesar de la notación más sencilla, la teoría de perturbaciones aplicada a la teoría cuántica de campos sigue siendo fácilmente compleja. Richard Feynman desarrolló los célebres diagramas de Feynman al observar que muchos términos se repiten de forma regular. Estos términos pueden sustituirse por puntos, líneas, garabatos y marcas similares, cada una de las cuales representa un término, un denominador, una integral, etc.; de este modo, las integrales complejas pueden escribirse como diagramas sencillos, sin ninguna ambigüedad en cuanto a su significado. La correspondencia biunívoca entre los diagramas y las integrales específicas es lo que les confiere su poder. Aunque se desarrolló originalmente para la teoría cuántica de campos, resulta que la técnica diagramática es ampliamente aplicable a muchas otras series perturbativas (aunque no siempre merece la pena).

En la segunda mitad del  siglo XX, con el desarrollo de la teoría del caos , quedó claro que los sistemas no perturbados eran, en general, completamente integrables , mientras que los perturbados no lo eran. Esto condujo rápidamente al estudio de los "sistemas casi integrables", de los cuales el toro KAM es el ejemplo canónico. Al mismo tiempo, también se descubrió que muchos sistemas no lineales (bastante especiales) , que antes solo podían abordarse mediante la teoría de perturbaciones, son, de hecho, completamente integrables. Este descubrimiento fue trascendental, ya que permitió obtener soluciones exactas. Esto, a su vez, ayudó a clarificar el significado de las series perturbativas, puesto que ahora se podían comparar los resultados de las series con las soluciones exactas.

La mejor comprensión de los sistemas dinámicos derivada de la teoría del caos ayudó a esclarecer lo que se denominó el problema del denominador pequeño o el problema del divisor pequeño . En el  siglo XIX, Poincaré observó (como quizás lo habían hecho matemáticos anteriores) que a veces los términos de segundo orden y superiores en la serie perturbativa tienen "denominadores pequeños": es decir, tienen la forma general${\displaystyle \ {\frac {\ \psi _{n}V\phi _{m}\ }{\ (\omega _{n}-\omega _{m})\ }}\ }$dónde${\displaystyle \ \psi _{n}\ ,}$${\displaystyle \ V\ ,}$y${\displaystyle \ \phi _{m}\ }$son algunas expresiones complicadas pertinentes al problema a resolver, y${\displaystyle \ \omega _{n}\ }$y${\displaystyle \ \omega _ {m}\}$son números reales; muy a menudo son la energía de los modos normales . El problema del divisor pequeño surge cuando la diferencia${\displaystyle \ \omega _{n}-\omega _{m}\ }$es pequeño, lo que provoca que la corrección perturbativa " explote ", volviéndose tan grande o incluso mayor que el término de orden cero. Esta situación señala una falla en la teoría de perturbaciones: deja de funcionar en este punto y no se puede expandir ni sumar más. En términos formales, la serie perturbativa es una serie asintótica : una aproximación útil para unos pocos términos, pero en algún punto se vuelve menos precisa si se agregan aún más términos. El avance de la teoría del caos fue una explicación de por qué sucedía esto: los divisores pequeños aparecen siempre que se aplica la teoría de perturbaciones a un sistema caótico. Uno señala la presencia del otro.

La exposición estándar de la teoría de perturbaciones se presenta en términos del orden en que se realiza la perturbación: teoría de perturbaciones de primer orden o de segundo orden, y si los estados perturbados son degenerados, lo que requiere una perturbación singular . En el caso singular, se debe tener especial cuidado y la teoría es un poco más elaborada.

• van den Eijnden, Eric . "Introducción a la teoría de perturbaciones regulares" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 20 de septiembre de 2004.
• Chow, Carson C. (23 de octubre de 2007). "Método de perturbación de escalas múltiples" . Scholarpedia . 2 (10): 1617. doi : 10.4249/scholarpedia.1617 .
• Enfoque alternativo a la teoría de perturbaciones cuánticas Martínez-Carranza, J.; Soto-Eguibar, F.; Moya-Cessa, H. (2012). "Análisis alternativo a la teoría de perturbaciones en mecánica cuántica". The European Physical Journal D . 66 (1): 22. arXiv : 1110.0723 . Bibcode : 2012EPJD...66...22M . doi : 10.1140/epjd/e2011-20654-5 . S2CID 117362666 .