Orden de aproximación

En ciencia, ingeniería y otras disciplinas cuantitativas, el orden de aproximación se refiere a expresiones formales o informales que indican la precisión de una aproximación en función del número de parámetros utilizados para construirla. Este artículo se centra en la aproximación de funciones suaves de valor real de una variable; esta noción se extiende a funciones entre otros espacios, como entre espacios euclidianos de dimensión variable. ^{[ 1 ]}

En ciencia e ingeniería, es común aproximar una función mediante un desarrollo en serie, como una serie de Taylor , y descartar los términos con potencias superiores de la variable. El orden de la aproximación corresponde al término de mayor potencia que se conserva. Por ejemplo, se puede hablar de aproximación de orden cero , de primer orden , de segundo orden , etc. También existen variaciones como la aproximación de orden cero y la aproximación de orden cero .

En el caso de una función suave , la aproximación de orden n es un polinomio de grado n , que se obtiene truncando la serie de Taylor a este grado. El truncamiento de la serie afecta la precisión. En la mayoría de los casos, la precisión de la aproximación mejora a medida que aumenta el orden, pero el orden no indica directamente el porcentaje de error de la aproximación. Consulte el teorema de Taylor para obtener más información al respecto.

Por ejemplo, en el desarrollo de Taylor de la función exponencial , $${\displaystyle e^{x}=\underbrace {1} _{0^{\text{th}}}+\underbrace {x} _{1^{\text{st}}}+\underbrace {\frac {x^{2}}{2!}} _{2^{\text{nd}}}+\underbrace {\frac {x^{3}}{3!}} _{3^{\text{rd}}}+\underbrace {\frac {x^{4}}{4!}} _{4^{\text{th}}}+\ldots \;,}$$ El término de orden cero es${\displaystyle 1;}$El término de primer orden es${\displaystyle x,}$de segundo orden es${\displaystyle x^{2}/2,}$y así sucesivamente. Si${\textstyle |x|<1,}$Cada término de orden superior es menor que el anterior. Si${\textstyle |x|\ll 1,\,}$luego la aproximación de primer orden, $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x,}$$ suele ser suficiente. Pero en${\displaystyle x=1,}$el término de primer orden,${\displaystyle x,}$no es menor que el término de orden cero,${\displaystyle 1.}$ Y en${\displaystyle x=2,}$incluso el término de segundo orden,${\displaystyle 2^{3}/3!=4/3,\,}$es mayor que el término de orden cero.

Para${\textstyle |x|<1,\,}$Los primeros órdenes de aproximación de esta función son:

Orden cero

${\displaystyle e^{x}\approx 1}$

De primer orden

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x}$

Segundo orden

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}}$

Tercer orden

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}}$

Cuarto orden

${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}}$

Estos términos también son utilizados coloquialmente por científicos e ingenieros para indicar que un tratamiento es aproximado o para describir fenómenos que pueden ignorarse por no ser significativos. Por ejemplo, se puede describir informalmente una descripción matemática de un sistema físico como una aproximación de primer orden, incluso cuando no se ha utilizado un desarrollo en serie, o se puede describir un mecanismo que se ignora como un efecto de orden superior. En este uso, la ordinalidad de la aproximación no es exacta, sino que se utiliza para enfatizar la insignificancia del efecto. Por ejemplo, se podría decir: «Por supuesto que la rotación de la Tierra afecta a nuestro experimento, pero es un efecto de orden superior que no podríamos medir» o «A estas velocidades, la relatividad es un efecto de cuarto orden que solo nos preocupa en la calibración anual».

• Linealización
• Teoría de perturbaciones
• Método de Chapman-Enskog
• Notación Big O
• Orden de precisión