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Cambio relativo

En cualquier ciencia cuantitativa , los términos cambio relativo y diferencia relativa se utilizan para comparar dos cantidades teniendo en cuenta las "tamaños" de las cosas que...

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En cualquier ciencia cuantitativa , los términos cambio relativo y diferencia relativa se utilizan para comparar dos cantidades teniendo en cuenta las "tamaños" de las cosas que se comparan, es decir, dividiendo por un estándar , una referencia o un valor inicial . [ 1 ] La comparación se expresa como una razón y es un número adimensional . Al multiplicar estas razones por 100, se pueden expresar como porcentajes, por lo que también se utilizan comúnmente los términos cambio porcentual , diferencia porcentual o diferencia porcentual relativa . Los términos "cambio" y "diferencia" se utilizan indistintamente. [ 2 ]

El cambio relativo se utiliza a menudo como indicador cuantitativo de garantía y control de calidad para mediciones repetidas en las que se espera que los resultados sean los mismos. Un caso especial de cambio porcentual (cambio relativo expresado como porcentaje), denominado error porcentual, se produce en situaciones de medición donde el valor de referencia es el valor aceptado o real (quizás determinado teóricamente) y el valor con el que se compara se determina experimentalmente (mediante medición).

La fórmula de cambio relativo no se comporta bien en muchas condiciones. En la literatura se han propuesto varias fórmulas alternativas, denominadas indicadores de cambio relativo . Varios autores han encontrado que el cambio logarítmico y los puntos logarítmicos son indicadores satisfactorios, pero no se han utilizado ampliamente. [ 3 ]

Definición

Dadas dos cantidades numéricas, v ref y v con v ref algún valor de referencia , su cambio real , diferencia real o cambio absoluto es Δv=v−vrmiF.{\displaystyle \Delta v=v-v_{\mathrm {ref} }.} El término diferencia absoluta también se usa a veces aunque no se tome el valor absoluto; el signo de Δ suele ser uniforme, por ejemplo, en una serie de datos creciente. Si la relación del valor con respecto al valor de referencia (es decir, mayor o menor) no importa en una aplicación particular, el valor absoluto puede usarse en lugar del cambio real en la fórmula anterior para producir un valor para el cambio relativo que siempre es no negativo. La diferencia real no suele ser una buena manera de comparar los números, en particular porque depende de la unidad de medida . Por ejemplo,1 m  es lo mismo que100 cm  , pero la diferencia absoluta entre2 y 1  m es 1 mientras que la diferencia absoluta entre200 y 100  cm es 100, lo que da la impresión de una mayor diferencia. [ 4 ] Pero incluso con unidades constantes, el cambio relativo ayuda a juzgar la importancia del cambio respectivo. Por ejemplo, un aumento en el precio de$100 de un objeto valioso se considera grande si se cambia deDe $50 a $150 , pero bastante pequeño al cambiar deDe $10,000 a $10,100 .

Podemos ajustar la comparación para tener en cuenta el "tamaño" de las cantidades involucradas, definiendo, para valores positivos de v ref : cambio relativo(vrmiF,v)=cambio realvalor de referencia=ΔvvrmiF=vvrmiF−1.{\displaystyle {\text{relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {\text{actual change}}{\text{reference value}}}={\frac {\Delta v}{v_{\mathrm {ref} }}}={\frac {v}{v_{\mathrm {ref} }}}-1.}

El cambio relativo es independiente de la unidad de medida empleada; por ejemplo, el cambio relativo de2 a 1 m  es−50% , lo mismo que para200 a 100  cm . El cambio relativo no está definido si el valor de referencia ( v ref ) es cero, y da valores negativos para incrementos positivos si v ref es negativo, por lo que tampoco suele estar definido para valores de referencia negativos. Por ejemplo, podríamos querer calcular el cambio relativo de−10 a −6 . La fórmula anterior da ⁠ (−6) − (−10) / −10 ⁠ = ⁠ 4 / −10 ⁠ = −0,4 , lo que indica una disminución, pero de hecho la lectura aumentó.

Las medidas de cambio relativo son números adimensionales expresados ​​como una fracción . Los valores correspondientes de cambio porcentual se obtienen multiplicando estos valores por 100 (y añadiendo el  signo % para indicar que el valor es un porcentaje).

Dominio

La restricción del dominio del cambio relativo a números positivos suele plantear una limitación. Para evitar este problema, es común tomar el valor absoluto, de modo que la fórmula del cambio relativo funcione correctamente para todos los valores distintos de cero de ⁠vrmiF{\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}:​ Cambio relativo(vrmiF,v)=v−vrmiF|vrmiF|.{\displaystyle {\text{Relative change}}(v_{\mathrm {ref} },v)={\frac {v-v_{\mathrm {ref} }}{|v_{\mathrm {ref} }|}}.}

Esto todavía no resuelve el problema cuando la referencia es cero. En su lugar, es común utilizar un indicador de cambio relativo y tomar los valores absolutos de ambos .v{\displaystyle v}y​​vrmiF{\displaystyle v_{\mathrm {ref} }}⁠ . Entonces, el único caso problemático es ⁠v=vrmiF=0{\displaystyle v=v_{\mathrm {ref} }=0}⁠ , que generalmente se puede abordar extendiendo adecuadamente el indicador. Por ejemplo, para la media aritmética se puede utilizar esta fórmula: [ 5 ]dr(incógnita,y)=|incógnita−y|(|incógnita|+|y|)/2, dr(0,0)=0.{\displaystyle d_{r}(x,y)={\frac {|x-y|}{(|x|+|y|)/2}},\ d_{r}(0,0)=0.}

Cambio porcentual

El cambio porcentual es una forma de expresar la variación de una variable. Representa el cambio relativo entre el valor anterior y el nuevo.

Por ejemplo, si una casa vale$100,000 hoy y el año siguiente su valor aumenta a$110,000 , el cambio porcentual de su valor se puede expresar como 110,000−100,000100,000=0.1=10%.{\displaystyle {\frac {110,000-100,000}{100,000}}=0.1=10\%.} Se puede decir entonces que el valor de la casa aumentó un 10%.

En términos más generales, siV1{\displaystyle V_{1}}⁠ representa el valor antiguo y ⁠V2{\displaystyle V_{2}}el nuevo valor, Cambio porcentual=ΔVV1=V2−V1V1×100%.{\displaystyle {\text{Percentage change}}={\frac {\Delta V}{V_{1}}}={\frac {V_{2}-V_{1}}{V_{1}}}\times 100\%.}

Algunas calculadoras admiten esto directamente a través de una función %CHo .Δ%

Cuando la variable en cuestión es un porcentaje, es mejor hablar de su cambio utilizando puntos porcentuales , para evitar confusiones entre diferencia relativa y diferencia absoluta .

Porcentaje de error

El error porcentual es un caso especial de la forma porcentual del cambio relativo, que se calcula a partir del cambio absoluto entre los valores experimentales (medidos) y teóricos (aceptados), y se divide por el valor teórico (aceptado). % Error=|Experimental−Teorético||Teorético|×100.{\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {|{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}|}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}

Los términos «experimental» y «teórico» utilizados en la ecuación anterior suelen sustituirse por términos similares. Otros términos para referirse a lo experimental podrían ser «medido», «calculado» o «real», y otro término para referirse a lo teórico podría ser «aceptado». El valor experimental es aquel que se ha obtenido mediante cálculo o medición y cuya precisión se está comprobando comparándolo con el valor teórico, un valor aceptado por la comunidad científica o considerado como un objetivo para un resultado satisfactorio.

Aunque es práctica común usar el valor absoluto del cambio relativo al hablar del error porcentual, en algunas situaciones puede ser útil eliminar los valores absolutos para obtener más información sobre el resultado. Así, si un valor experimental es menor que el valor teórico, el error porcentual será negativo. Este resultado negativo proporciona información adicional sobre el resultado experimental. Por ejemplo, calcular experimentalmente la velocidad de la luz y obtener un error porcentual negativo indica que el valor experimental es una velocidad menor que la de la luz. Esto difiere mucho de obtener un error porcentual positivo, que significa que el valor experimental es una velocidad mayor que la de la luz (violando la teoría de la relatividad ) y constituye un resultado relevante.

La ecuación del porcentaje de error, al reescribirla eliminando los valores absolutos, se convierte en: % Error=Experimental−Teorético|Teorético|×100.{\displaystyle \%{\text{ Error}}={\frac {{\text{Experimental}}-{\text{Theoretical}}}{|{\text{Theoretical}}|}}\times 100.}

Los dos valores del numerador no conmutan . Es fundamental mantener el orden indicado anteriormente: restar el valor teórico del valor experimental, y no al revés.

Ejemplos

Activos valiosos

Supongamos que el coche M cuesta$50,000 y el costo del auto L$40,000 . Deseamos comparar estos costos. [ 6 ] Con respecto al automóvil L , la diferencia absoluta es $10,000 = $50,000 − $40,000 . Es decir, el automóvil M cuesta$10,000 más que el auto L. La diferencia relativa es, $10,000$40,000=0,25=25%,{\displaystyle {\frac {\$10,000}{\$40,000}}=0.25=25\%,} y decimos que el coche M cuesta un 25% más que el coche L. También es común expresar la comparación como una razón, que en este ejemplo es: $50,000$40,000=1,25=125%,{\displaystyle {\frac {\$50,000}{\$40,000}}=1.25=125\%,} y decimos que el coche M cuesta el 125% del coste del coche L.

En este ejemplo, el costo del automóvil L se consideró el valor de referencia, pero podríamos haber elegido al revés y haber considerado el costo del automóvil M como valor de referencia. La diferencia absoluta ahora es −$10,000 = $40,000 − $50,000 ya que el automóvil L cuesta$10,000 menos que el auto M. La diferencia relativa, −$10,000$50,000=−0,20=−20%{\displaystyle {\frac {-\$10,000}{\$50,000}}=-0.20=-20\%} también es negativo ya que el coche L cuesta un 20% menos que el coche M. La forma de razón de la comparación, $40,000$50,000=0,8=80%{\displaystyle {\frac {\$40,000}{\$50,000}}=0.8=80\%} dice que el coche L cuesta el 80% de lo que cuesta el coche M.

Es el uso de las palabras "de" y "menos/más que" lo que distingue entre razones y diferencias relativas. [ 7 ]

Porcentajes de porcentajes

Si un banco aumentara la tasa de interés de una cuenta de ahorros del 3% al 4%, la afirmación de que "la tasa de interés aumentó un 1%" sería incorrecta y engañosa. El cambio absoluto en esta situación es de 1 punto porcentual ( 4% − 3% ), pero el cambio relativo en la tasa de interés es: 4%−3%3%=0,333…=3313%.{\displaystyle {\frac {4\%-3\%}{3\%}}=0.333\ldots =33{\frac {1}{3}}\%.}

En general, el término "punto(s) porcentual(es)" indica un cambio o diferencia absoluta de porcentajes, mientras que el signo de porcentaje o la palabra "porcentaje" se refiere al cambio o diferencia relativa. [ 8 ]

Indicadores de cambio relativo

El cambio relativo (clásico) anterior es solo una de las posibles medidas/indicadores de cambio relativo. Un indicador de cambio relativo desdeincógnita{\displaystyle x}⁠ (valor inicial o de referencia) a ⁠y{\displaystyle y}( nuevo valor) R(incógnita,y){\displaystyle R(x,y)}es una función binaria de valor real definida para el dominio de interés que satisface las siguientes propiedades: [ 9 ]

  • Señal apropiada:{R(incógnita,y)>0si y solo si y>incógnitaR(incógnita,y)=0si y solo si y=incógnitaR(incógnita,y)<0si y solo si y<incógnita.{\displaystyle {\begin{cases}R(x,y)>0&{\text{iff }}y>x\\R(x,y)=0&{\text{iff }}y=x\\R(x,y)<0&{\text{iff }}y<x\end{cases}}.}
  • R es una función creciente de y cuando x es fijo.
  • R es continua.
  • Independiente de la unidad de medida: para todosa>0{\displaystyle a>0},​​R(aincógnita,ay)=R(incógnita,y){\displaystyle R(ax,ay)=R(x,y)}.​
  • Normalizado:ddyR(1,y)|y=1=1{\textstyle \left.{\frac {d}{dy}}R(1,y)\right|_{y=1}=1}

La condición de normalización está motivada por la observación de queR{\displaystyle R}escalado por una constantedo>0{\displaystyle c>0}aún satisface las demás condiciones además de la normalización. Además, debido a la condición de independencia, cadaR{\displaystyle R}Se puede escribir como una función de un solo argumento .H{\displaystyle H}de la proporciónyincógnita{\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}⁠ . [ 10 ] La condición de normalización es entonces que ⁠H′(1)=1{\displaystyle H'(1)=1}⁠ . Esto implica que todos los indicadores se comportan como el clásico cuando ⁠yincógnita{\displaystyle \textstyle {\frac {y}{x}}}es cercano a 1 .

Por lo general, el indicador de cambio relativo se presenta como el cambio real Δ escalado por alguna función de los valores x e y , digamos f ( x , y ) : [ 2 ]Cambio relativo(incógnita,y)=Cambio realΔF(incógnita,y)=y−incógnitaF(incógnita,y).{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,y)={\frac {{\text{Actual change}}\,\Delta }{f(x,y)}}={\frac {y-x}{f(x,y)}}.}

Al igual que con el cambio relativo clásico, el cambio relativo general no está definido si f ( x , y ) es cero. Se han propuesto varias opciones para la función f ( x , y ) : [ 11 ]

Como se puede observar en la tabla, todos los indicadores, excepto los dos primeros, tienen como denominador una media . Una de las propiedades de una función media es...metro(incógnita,y){\displaystyle m(x,y)}es: [ 11 ] ⁠metro(incógnita,y)=metro(y,incógnita){\displaystyle m(x,y)=m(y,x)}⁠ , lo que significa que todos esos indicadores tienen una propiedad de "simetría" de la que carece el cambio relativo clásico: ⁠R(incógnita,y)=−R(y,incógnita){\displaystyle R(x,y)=-R(y,x)}⁠ . Esto concuerda con la intuición de que un cambio relativo de ⁠incógnita{\displaystyle x}a​​y{\displaystyle y}⁠ debe tener la misma magnitud que un cambio relativo en la dirección opuesta, ⁠y{\displaystyle y}a​​incógnita{\displaystyle x}⁠ , al igual que la relaciónyincógnita=1incógnita/y{\textstyle {\frac {y}{x}}={\frac {1}{x/y}}}sugiere.

Se ha recomendado el cambio medio máximo al comparar valores de punto flotante en lenguajes de programación para comprobar su igualdad con cierta tolerancia. [ 12 ] Otra aplicación se encuentra en el cálculo de errores de aproximación cuando se requiere el error relativo de una medición. Se ha recomendado el cambio medio mínimo para su uso en econometría . [ 13 ] [ 14 ] Se ha recomendado el cambio logarítmico como sustituto general del cambio relativo, y se analiza con más detalle a continuación.

Tenhunen define una función de diferencia relativa general de L (valor de referencia) a K : [ 15 ]H(K,L)={∫1K/Ltdo−1dtcuando K>L−∫K/L1tdo−1dtcuando K<L{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}\int _{1}^{K/L}t^{c-1}dt&{\text{when }}K>L\\-\int _{K/L}^{1}t^{c-1}dt&{\text{when }}K<L\end{cases}}}

lo que lleva a H(K,L)={1do⋅((K/L)do−1)do≠0ln⁡(K/L)do=0,K>0,L>0{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}{\frac {1}{c}}\cdot ((K/L)^{c}-1)&c\neq 0\\\ln(K/L)&c=0,K>0,L>0\end{cases}}}

En particular para los casos especiales c = ±1 , H(K,L)={(K−L)/Kdo=−1(K−L)/Ldo=1{\displaystyle H(K,L)={\begin{cases}(K-L)/K&c=-1\\(K-L)/L&c=1\end{cases}}}

Cambio logarítmico

De estos indicadores de cambio relativo, posiblemente el más natural sea el logaritmo natural ( ⁠ln{\displaystyle \ln }⁠ ) ​​de la razón de los dos números (final e inicial), llamado cambio logarítmico . [ 2 ] De hecho, cuando ⁠|V1−V0V0|≪1{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\right|\ll 1}⁠ , se cumple la siguiente aproximación: ln⁡V1V0=∫V0V1dVV≈∫V0V1dVV0=V1−V0V0,{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}&=\int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V}}\approx \int _{V_{0}}^{V_{1}}{\frac {{\mathrm {d} }V}{V_{0}}}\\&={\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}},\end{aligned}}} que es la fórmula clásica de cambio relativo.

Porque​ln⁡V1V0=ln⁡(V1)−ln⁡(V0){\displaystyle \textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=\ln(V_{1})-\ln(V_{0})}⁠ , se deduce que, cuando se cumple la condición anterior, la diferencia entre los logaritmos (naturales) es aproximadamente igual al cambio porcentual.

De la misma manera que el cambio relativo se escala por 100 para obtener porcentajes,ln⁡V1V0{\textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}}se puede escalar por 100 para obtener lo que comúnmente se llama puntos logarítmicos . [ 16 ] Los puntos logarítmicos son equivalentes a la unidad centineper (cNp) cuando se miden para cantidades de raíz cuadrada. [ 17 ] [ 18 ] Esta cantidad también se ha denominado porcentaje logarítmico y se ha denotado L% . [ 2 ] Dado que la derivada del logaritmo natural en 1 es 1, los puntos logarítmicos son aproximadamente iguales al cambio porcentual para pequeñas diferencias ; por ejemplo, un aumento del 1% equivale a un aumento de 0,995  cNp y un aumento del 5% da como resultado unIncremento de 4,88  cNp . Esta propiedad de aproximación no se cumple para otras elecciones de base logarítmica, que introducen un factor de escala debido a que la derivada no es 1. Por lo tanto, los puntos logarítmicos pueden usarse como reemplazo del cambio porcentual. [ 19 ] [ 17 ]

Aditividad

El uso del cambio logarítmico tiene las ventajas de la aditividad en comparación con el cambio relativo. [ 2 ] [ 17 ] Específicamente, al usar el cambio logarítmico, el cambio total después de una serie de cambios es igual a la suma de los cambios. Con el porcentaje, sumar los cambios es solo una aproximación, con un error mayor para cambios mayores. [ 17 ] Por ejemplo:

Tenga en cuenta que en la tabla anterior, dado que "cambio relativo 0" (respectivamente "cambio relativo 1") tiene el mismo valor numérico que "cambio logarítmico 0" (respectivamente "cambio logarítmico 1"), no corresponde a la misma variación. La conversión entre cambios relativos y logarítmicos se puede calcular como :cambio de registro=ln⁡(1+cambio relativo){\displaystyle {\text{log change}}=\ln(1+{\text{relative change}})}.​

Por aditividad ,ln⁡V1V0+ln⁡V0V1=0{\displaystyle \textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}+\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}=0}⁠ , y por lo tanto la aditividad implica una especie de propiedad de simetría, a saber:ln⁡V1V0=−ln⁡V0V1{\textstyle \ln {\frac {V_{1}}{V_{0}}}=-\ln {\frac {V_{0}}{V_{1}}}}y por lo tanto la magnitud de un cambio expresado en cambio logarítmico es la misma tanto siV0{\displaystyle V_{0}}o​​V1{\displaystyle V_{1}}⁠ se elige como referencia. [ 17 ] En cambio, para el cambio relativo, ⁠V1−V0V0≠−V0−V1V1{\displaystyle \textstyle {\frac {V_{1}-V_{0}}{V_{0}}}\neq -{\frac {V_{0}-V_{1}}{V_{1}}}}⁠ , con la diferencia(V1−V0)2V0V1{\textstyle {\frac {(V_{1}-V_{0})^{2}}{V_{0}V_{1}}}}volviéndose más grande a medida queV1{\displaystyle V_{1}}o​​V0{\displaystyle V_{0}}Una se aproxima a 0 mientras que la otra permanece fija. Por ejemplo:

Aquí 0 + significa tomar el límite desde arriba hacia 0.

Singularidad y extensiones

El cambio logarítmico es la única función de dos variables que es aditiva y cuya linealización coincide con el cambio relativo. Existe una familia de funciones de diferencias aditivas.Fλ(incógnita,y){\displaystyle F_{\lambda }(x,y)}para cualquierλ∈R{\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }⁠ , de tal manera que el cambio absoluto esF0{\displaystyle F_{0}}y el cambio de registro esF1{\displaystyle F_{1}}⁠ . [ 20 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ "IEC 60050 — Detalles para el número IEV 112-03-07: "relativo"" . Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 24 de septiembre de 2023 .
  2. ^ Törnqvist , Vartia y Vartia 1985 .​
  3. ↑ Törnqvist, Vartia y Vartia 1985 , p. 11 : "Sugerimos que este indicador se utilice de forma más extensa." 
  4. ↑ Vartia 1976 , pág. 9.
  5. ↑ Miller, H. Ronald (29 de marzo de 2011). Optimización: Fundamentos y aplicaciones . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-03118-6.
  6. ↑ Bennett y Briggs 2005 , págs. 137–139.
  7. ↑ Bennett y Briggs 2005 , pág. 140.
  8. ↑ Bennett y Briggs 2005 , pág. 141.
  9. ↑ Vartia 1976 , pág. 10.
  10. ↑ Vartia 1976 , pág. 14.
  11. ^ Törnqvist , Vartia y Vartia 1985 , pág.5. 
  12. ↑ Summit, Steve (2005). "Pregunta 14.5: ¿Cuál es una buena manera de comprobar la igualdad de punto flotante 'suficientemente cercana'?" . Preguntas frecuentes de comp.lang.c .
  13. ↑ Rao, Potluri; Miller, Roger LeRoy (1971). Econometría aplicada . Belmont, California: Wadsworth Pub. Co. pág. 17. ISBN  978-0-534-00031-8.
  14. ^ Vartia 1976 , págs. 17-18.
  15. ↑ Tenhunen 1990 , pág. 20.
  16. ↑ Békés, Gábor; Kézdi, Gábor (6 de mayo de 2021). Análisis de datos para empresas, economía y políticas . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 203.ISBN​  978-1-108-48301-8.
  17. ^ Karjus y cols .​ (2020) , Sección A.3.1 .
  18. ↑ Roe, John; deForest, Russ; Jamshidi, Sara (26 de abril de 2018). Matemáticas para la sostenibilidad . Springer. pág. 190. doi : 10.1007/978-3-319-76660-7_4 . ISBN  978-3-319-76660-7.
  19. ↑ Doyle, Patrick (24 de agosto de 2016). "Argumentos a favor de una métrica de rendimiento logarítmica" . Vena Solutions .
  20. ↑ Brauen, Silvan; Erpf, Philipp; Wasem, Micha (2020). "Sobre el cambio absoluto y relativo". Revista Electrónica SSRN . arXiv : 2011.14807 . doi : 10.2139/ssrn.3739890 . S2CID 227228720 . 

Referencias

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  • Karjus, Andres; Blythe, Richard A.; Kirby, Simon; Smith, Kenny (10 de febrero de 2020). "Cuantificando la dinámica de las fluctuaciones temáticas en el lenguaje" . Language Dynamics and Change . 10 (1). Sección A.3.1. arXiv : 1806.00699 . doi : 10.1163/22105832-01001200 . S2CID 46928080 . 
  • "Diferencia porcentual – Error porcentual" (PDF) . Universidad Estatal de Illinois, Departamento de Física. 2004-07-20. Archivado del original (PDF) el 2019-07-13 . Consultado el 2010-05-05 .
  • Tenhunen, Lauri (1990). Las técnicas de producción CES y par, la distribución del ingreso y la teoría neoclásica de la producción (Tesis doctoral). A. Vol.  290. Universidad de Tampere.
  • Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985). "¿Cómo deberían medirse los cambios relativos?" (PDF) . El estadístico estadounidense . 39 (1): 43– 46. doi : 10.2307/2683905 . JSTOR 2683905 . 
  • "Comprensión de la medición y la representación gráfica" (PDF) . Universidad Estatal de Carolina del Norte . 20 de agosto de 2008. Archivado del original (PDF) el 15 de junio de 2010. Consultado el 5 de mayo de 2010 .
  • Vartia, Yrjö O. (1976). Cambios relativos y números índice (PDF) . ETLA A 4. Helsinki: Instituto de Investigación de la Economía Finlandesa. ISBN 951-9205-24-1Consultado el 20 de noviembre de 2022 .
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