Diferencia absoluta

La diferencia absoluta de dos números reales y se expresa mediante , el valor absoluto de su diferencia . Describe la distancia en la línea real entre los puntos correspondientes a y . Es un caso especial de la distancia L ^p para todos y es la métrica estándar utilizada tanto para el conjunto de números racionales como para su completitud, el conjunto de números reales . ${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización |xy|}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\displaystyle 1\leq p\leq \infty}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$${\displaystyle \mathbb {R}}$

Como ocurre con cualquier métrica, las propiedades de la métrica son las siguientes:

• ${\displaystyle |xy|\geq 0}$, ya que el valor absoluto siempre es no negativo.
• ${\displaystyle |xy|=0}$   si y sólo si   .${\displaystyle x=y}$
• ${\displaystyle |xy|=|yx|}$     ( simetría o conmutatividad ).
• ${\displaystyle |xz|\leq |xy|+|yz|}$     ( desigualdad triangular ); en el caso de la diferencia absoluta, la igualdad se cumple si y sólo si o .${\displaystyle x\leq y\leq z}$${\displaystyle x\geq y\geq z}$

Por el contrario, la resta simple no es no negativa ni conmutativa, pero sí obedece a las propiedades segunda y cuarta anteriores, ya que si y sólo si , y . ${\displaystyle xy=0}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle xz=(xy)+(yz)}$

La diferencia absoluta se utiliza para definir otras cantidades, incluida la diferencia relativa , la norma L ¹ utilizada en la geometría de los taxis y los etiquetados elegantes en la teoría de grafos .

Cuando es deseable evitar la función de valor absoluto –por ejemplo, porque es costosa de calcular o porque su derivada no es continua–, a veces se puede eliminar mediante la identidad

$estilo de visualización |xy|<|zw|}$si y sólo si .${\displaystyle (xy)^{2}<(zw)^{2}}$

Esto se deduce porque el cuadrado es monótono en los números reales no negativos. ${\displaystyle |xy|^{2}=(xy)^{2}}$

• En cualquier subconjunto S de los números reales que tiene un Ínfimo y un Supremo, la diferencia absoluta entre dos números cualesquiera en S es menor o igual que la diferencia absoluta del Ínfimo y el Supremo de S.

• Desviación absoluta

• Weisstein, Eric W. "Diferencia absoluta". MundoMatemático .