Función exponencial

La función exponencial es la única función diferenciable que es igual a su derivada y toma el valor 1 cuando su variable tiene un valor de 0 .

Esta definición requiere una prueba de unicidad y una prueba de existencia, pero permite derivar fácilmente las propiedades principales de la función exponencial.

La función exponencial es la función inversa del logaritmo natural . Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(\exp x)&=x\\\exp(\ln y)&=y\end{aligned}}}$

para cada número real${\displaystyle x}$y cada número real positivo${\displaystyle y.}$

La función exponencial es la suma de la serie de potencias ^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(x)&=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle n!}$es el factorial de n (el producto de los primeros n enteros positivos). Esta serie es absolutamente convergente para cada${\displaystyle x}$, por la prueba de la razón . Esto demuestra que la función exponencial está definida para cada ⁠${\displaystyle x}$⁠ , y es en todas partes la suma de su serie de Maclaurin .

La exponencial satisface la ecuación funcional.$${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}$$ y asigna la identidad aditiva 0 a la identidad multiplicativa 1. La misma ecuación la satisfacen otras funciones continuas.${\displaystyle f(x)=b^{x}}$que exponencian su argumento con una base arbitraria${\displaystyle b}$. ^{[ 6 ]} Entre estas funciones, la función exponencial se caracteriza por la propiedad de que su derivada en 0 es 1 . ^{[ 7 ]}

La función exponencial es el límite cuando el entero n tiende a infinito, ^{[ 8 ] [ 5 ]}$${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to +\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

Recíproco : La ecuación funcional implica ⁠${\displaystyle e^{x}e^{-x}=1}$Por lo tanto${\displaystyle e^{x}\neq 0}$por cada​${\displaystyle x}$y​ $${\displaystyle {\frac {1}{e^{x}}}=e^{-x}.}$$

Positivismo :${\displaystyle e^{x}>0}$para cada número real${\displaystyle x}$Esto resulta del teorema del valor intermedio , ya que${\displaystyle e^{0}=1}$y , si uno quisiera tener${\displaystyle e^{x}<0}$para algunos​${\displaystyle x}$⁠ , habría un ⁠${\displaystyle y}$de tal manera que${\displaystyle e^{y}=0}$entre​​${\displaystyle 0}$y​​${\displaystyle x}$⁠ . Dado que la función exponencial es igual a su derivada, esto implica que la función exponencial es monótonamente creciente .

Extensión de la exponenciación a bases reales positivas: Sea b un número real positivo. Dado que la función exponencial y el logaritmo natural son inversos entre sí, se tiene${\displaystyle b=\exp(\ln b).}$Si n es un número entero, la ecuación funcional del logaritmo implica $${\displaystyle b^{n}=\exp(\ln b^{n})=\exp(n\ln b).}$$ Dado que la expresión más a la derecha está definida si n es cualquier número real, esto permite definir ⁠${\displaystyle b^{x}}$Para cada número real positivo b y cada número real x : $${\displaystyle b^{x}=\exp(x\ln b).}$$ En particular, si b es el número de Euler${\displaystyle e=\exp(1),}$uno tiene${\displaystyle \ln e=1}$(función inversa) y por lo tanto$${\displaystyle e^{x}=\exp(x).}$$Esto demuestra la equivalencia de las dos notaciones para la función exponencial.

The last characterization is important in empirical sciences, as allowing a direct experimental test whether a function is an exponential function.

Exponential growth or exponential decay—where the variable change is proportional to the variable value—are thus modeled with exponential functions. Examples are unlimited population growth leading to Malthusian catastrophe, continuously compounded interest, and radioactive decay.

If the modeling function has the form ⁠${\displaystyle x\mapsto ae^{kx},}$⁠ or, equivalently, is a solution of the differential equation ⁠${\displaystyle y'=ky}$⁠, the constant ⁠${\displaystyle k}$⁠ is called, depending on the context, the decay constant, disintegration constant,^[11]rate constant,^[12] or transformation constant.^[13]

For proving the equivalence of the above properties, one can proceed as follows.

The two first characterizations are equivalent, since, if ⁠${\displaystyle b=e^{k}}$⁠ and ⁠${\displaystyle k=\ln b}$⁠, one has $${\displaystyle e^{kx}=(e^{k})^{x}=b^{x}.}$$ Las propiedades básicas de la función exponencial (derivada y ecuación funcional) implican inmediatamente la tercera y última condición.

Supongamos que se verifica la tercera condición, y sea ⁠${\displaystyle k}$sea ​​el valor constante de${\displaystyle f'(x)/f(x).}$Desde${\textstyle {\frac {\partial e^{kx}}{\partial x}}=ke^{kx},}$La regla del cociente para la derivación implica que $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\,{\frac {f(x)}{e^{kx}}}=0,}$$y por lo tanto que existe una constante${\displaystyle a}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=ae^{kx}.}$

Si se verifica la última condición, deje${\textstyle \varphi (d)=f(x+d)/f(x),}$que es independiente de${\displaystyle x}$. Usando .${\displaystyle \varphi (0)=1}$⁠ , uno obtiene $${\displaystyle {\frac {f(x+d)-f(x)}{d}}=f(x)\,{\frac {\varphi (d)-\varphi (0)}{d}}.}$$ Tomar el límite cuando${\displaystyle d}$⁠ tiende a cero, se obtiene que la tercera condición se verifica con ⁠${\displaystyle k=\varphi '(0)}$Por lo tanto , se deduce que${\displaystyle f(x)=ae^{kx}}$para algunos​${\displaystyle a,}$y​​${\displaystyle \varphi (d)=e^{kd}.}$Como subproducto, se obtiene eso. $${\displaystyle \left({\frac {f(x+d)}{f(x)}}\right)^{1/d}=e^{k}}$$ es independiente de ambos${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle d}$.​

Las funciones exponenciales y trigonométricas complejas están fuertemente relacionadas por la fórmula de Euler : $${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\sin(t).}$$

Esta fórmula proporciona la descomposición de exponenciales complejas en partes real e imaginaria : $${\displaystyle e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\,\cos y+ie^{x}\,\sin y.}$$

Las funciones trigonométricas pueden expresarse en términos de exponenciales complejas: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\\\sin x&={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\\\tan x&=i\,{\frac {1-e^{2ix}}{1+e^{2ix}}}\end{aligned}}}$$

En estas fórmulas ,${\displaystyle x,y,t}$Las variables se interpretan comúnmente como variables reales, pero las fórmulas siguen siendo válidas si se interpretan como variables complejas. Estas fórmulas pueden utilizarse para definir funciones trigonométricas de una variable compleja. ^{[ 16 ]}

• Gráficas 3D de la parte real, la parte imaginaria y el módulo de la función exponencial.
• 
  z = Re( e ^{x + iy} )
• 
  z = Im( e ^{x + iy} )
• 
  z = | e ^{x + iy} |

Considerando la función exponencial compleja como una función que involucra cuatro variables reales: $${\displaystyle v+iw=\exp(x+iy)}$$ La gráfica de la función exponencial es una superficie bidimensional que se curva a través de cuatro dimensiones.

Comenzando con una porción codificada por colores de la${\displaystyle xy}$En el dominio, a continuación se muestran representaciones del gráfico proyectadas de diversas maneras en dos o tres dimensiones.

• Gráficas de la función exponencial compleja
• 
  Clave del tablero de ajedrez: ${\displaystyle x>0:\;{\text{green}}}$${\displaystyle x<0:\;{\text{red}}}$${\displaystyle y>0:\;{\text{yellow}}}$${\displaystyle y<0:\;{\text{blue}}}$
• 
  Proyección sobre el plano complejo de rango (V/W). Compárese con la siguiente imagen en perspectiva.
• 
  Proyección en el${\displaystyle x}$,${\displaystyle v}$, y${\displaystyle w}$dimensiones, produciendo una forma de cuerno acampanado o embudo (imaginado como una imagen en perspectiva 2D)
• 
  Proyección en el${\displaystyle y}$,${\displaystyle v}$, y${\displaystyle w}$dimensiones, produciendo una forma espiral (${\displaystyle y}$rango extendido a ±2 π , nuevamente como imagen de perspectiva 2D)

La segunda imagen muestra cómo el plano complejo del dominio se transforma en el plano complejo del rango:

• El cero se asigna al 1.
• el real${\displaystyle x}$El eje se asigna al eje real positivo.${\displaystyle v}$eje
• lo imaginario${\displaystyle y}$El eje se enrolla alrededor del círculo unitario a una velocidad angular constante.
• Los valores con partes reales negativas se representan dentro del círculo unitario.
• Los valores con partes reales positivas se representan fuera del círculo unitario.
• Los valores con una parte real constante se representan mediante círculos centrados en cero.
• Los valores con una parte imaginaria constante se asignan a rayos que se extienden desde cero.

La tercera y la cuarta imagen muestran cómo el gráfico de la segunda imagen se extiende a una de las otras dos dimensiones que no se muestran en la segunda imagen.

La tercera imagen muestra el gráfico extendido a lo largo de la línea real.${\displaystyle x}$eje. Muestra que el gráfico es una superficie de revolución alrededor del${\displaystyle x}$eje de la gráfica de la función exponencial real, produciendo una forma de cuerno o embudo.

La cuarta imagen muestra la gráfica extendida a lo largo de la línea imaginaria.${\displaystyle y}$eje. Muestra que la superficie del gráfico es positiva y negativa${\displaystyle y}$Los valores realmente no coinciden a lo largo del real negativo.${\displaystyle v}$eje, sino que forma una superficie espiral alrededor del${\displaystyle y}$eje. Porque su${\displaystyle y}$Los valores se han extendido a ±2 π , esta imagen también representa mejor la periodicidad de 2 π en el imaginario.${\displaystyle y}$valor.

La función exponencial también se puede calcular con fracciones continuas .

Se puede obtener una fracción continua para e ^x mediante una identidad de Euler : $${\displaystyle e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}}$$

La siguiente fracción continua generalizada para e ^z , también debida a Euler, ^{[ 21 ]} converge más rápidamente: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}}$$

o bien, aplicando la sustitución z = ⁠ x / y ⁠ : $${\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+\ddots }}}}}}}}}$$ con un caso especial para z = 2 : $${\displaystyle e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}$$

Esta fórmula también converge, aunque más lentamente, para z > 2. Por ejemplo: $${\displaystyle e^{3}=1+{\cfrac {6}{-1+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{10+{\cfrac {3^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}=13+{\cfrac {54}{7+{\cfrac {9}{14+{\cfrac {9}{18+{\cfrac {9}{22+\ddots }}}}}}}}}$$

La definición de la función exponencial mediante series de potencias tiene sentido para matrices cuadradas (para las cuales la función se denomina exponencial matricial ) y, de forma más general, en cualquier álgebra de Banach unitaria B. En este contexto, e ⁰ = 1 , y e ^x es invertible con inversa e ^{− x} para cualquier x en B. Si xy = yx , entonces e ^{x + y} = e ^x e ^y , pero esta identidad puede fallar para x e y no conmutativos .

Algunas definiciones alternativas conducen a la misma función. Por ejemplo, e ^x puede definirse como $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$$

O e ^x se puede definir como f _x (1) , donde f _x  : R → B es la solución de la ecuación diferencial ⁠ df _x / dt ⁠ ( t ) = x f _x ( t ) , con condición inicial f _x (0) = 1 ; de ello se deduce que f _x ( t ) = e ^tx para todo t en R .

Dado un grupo de Lie G y su álgebra de Lie asociada${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, el mapa exponencial es un mapa${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to G}$que satisfacen propiedades similares. De hecho, dado que R es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todos los números reales positivos bajo la multiplicación, la función exponencial ordinaria para argumentos reales es un caso especial de la situación del álgebra de Lie. De manera similar, dado que el grupo de Lie GL( n , R ) de matrices invertibles n × n tiene como álgebra de Lie M( n , R ) , el espacio de todas las matrices n × n , la función exponencial para matrices cuadradas es un caso especial de la aplicación exponencial del álgebra de Lie.

La identidad${\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$Puede fallar para elementos x e y del álgebra de Lie que no conmutan; la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff proporciona los términos de corrección necesarios.