En cálculo , la regla del cociente es un método para hallar la derivada de una función que es el cociente de dos funciones diferenciables. Sea , donde tanto f como g son diferenciables y La regla del cociente establece que la derivada de h ( x ) es
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}}
g
(
x
)
≠
0.
{\displaystyle g(x)\neq 0.}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
.
{\displaystyle h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}.}
Se puede demostrar de muchas maneras utilizando otras reglas derivadas .
Ejemplos
Ejemplo 1: Ejemplo básico Dado , sea , entonces usando la regla del cociente:
h
(
x
)
=
e
x
x
2
{\displaystyle h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}}
f
(
x
)
=
e
x
,
g
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}}
d
d
x
(
e
x
x
2
)
=
(
d
d
x
e
x
)
(
x
2
)
−
(
e
x
)
(
d
d
x
x
2
)
(
x
2
)
2
=
(
e
x
)
(
x
2
)
−
(
e
x
)
(
2
x
)
x
4
=
x
2
e
x
−
2
x
e
x
x
4
=
x
e
x
−
2
e
x
x
3
=
e
x
(
x
−
2
)
x
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}}
Ejemplo 2: Derivada de la función tangente La regla del cociente se puede utilizar para encontrar la derivada de la siguiente manera:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
d
d
x
tan
x
=
d
d
x
(
sin
x
cos
x
)
=
(
d
d
x
sin
x
)
(
cos
x
)
−
(
sin
x
)
(
d
d
x
cos
x
)
cos
2
x
=
(
cos
x
)
(
cos
x
)
−
(
sin
x
)
(
−
sin
x
)
cos
2
x
=
cos
2
x
+
sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
=
sec
2
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}}
Regla recíproca La regla recíproca es un caso especial de la regla del cociente en el que el numerador . Al aplicar la regla del cociente se obtiene
f
(
x
)
=
1
{\displaystyle f(x)=1}
h
′
(
x
)
=
d
d
x
[
1
g
(
x
)
]
=
0
⋅
g
(
x
)
−
1
⋅
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
=
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
.
{\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}
Utilizando la regla de la cadena se obtiene el mismo resultado.
Pruebas
Demostración a partir de la definición de derivada y propiedades límite Aplicando la definición de la derivada y las propiedades de los límites se obtiene la siguiente prueba, con el término sumado y restado para permitir la división y factorización en pasos subsiguientes sin afectar el valor: La evaluación del límite se justifica por la diferenciabilidad de , lo que implica continuidad, que puede expresarse como .
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle f(x)g(x)}
h
′
(
x
)
=
lim
k
→
0
h
(
x
+
k
)
−
h
(
x
)
k
=
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
g
(
x
+
k
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
k
=
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
k
)
k
⋅
g
(
x
)
g
(
x
+
k
)
=
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
k
)
k
⋅
lim
k
→
0
1
g
(
x
)
g
(
x
+
k
)
=
lim
k
→
0
[
f
(
x
+
k
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
+
k
)
k
]
⋅
1
[
g
(
x
)
]
2
=
[
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
k
−
lim
k
→
0
f
(
x
)
g
(
x
+
k
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
k
]
⋅
1
[
g
(
x
)
]
2
=
[
lim
k
→
0
f
(
x
+
k
)
−
f
(
x
)
k
⋅
g
(
x
)
−
f
(
x
)
⋅
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
−
g
(
x
)
k
]
⋅
1
[
g
(
x
)
]
2
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
[
g
(
x
)
]
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}
lim
k
→
0
1
g
(
x
+
k
)
g
(
x
)
=
1
[
g
(
x
)
]
2
{\displaystyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{[g(x)]^{2}}}}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
lim
k
→
0
g
(
x
+
k
)
=
g
(
x
)
{\displaystyle \lim _{k\to 0}g(x+k)=g(x)}
Demostración mediante diferenciación implícita Dejar que
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
,
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=g(x)h(x).}
La regla del producto entonces da
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
h
(
x
)
+
g
(
x
)
h
′
(
x
)
.
{\displaystyle f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).}
Resolviendo y sustituyendo nuevamente obtenemos:
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
−
g
′
(
x
)
h
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
−
g
′
(
x
)
⋅
f
(
x
)
g
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
[
g
(
x
)
]
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}
Demostración mediante la regla recíproca o regla de la cadena Dejar
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
.
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}=f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}.}
Entonces la regla del producto da
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
d
d
x
[
1
g
(
x
)
]
.
{\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right].}
Para evaluar la derivada en el segundo término, aplique la regla recíproca , o la regla de potencia junto con la regla de la cadena :
d
d
x
[
1
g
(
x
)
]
=
−
1
g
(
x
)
2
⋅
g
′
(
x
)
=
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
.
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}
Sustituyendo el resultado en la expresión obtenemos
h
′
(
x
)
=
f
′
(
x
)
⋅
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
⋅
[
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
]
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
=
g
(
x
)
g
(
x
)
⋅
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
Demostración por diferenciación logarítmica Sea Tomando el valor absoluto y el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación se obtiene
h
(
x
)
=
f
(
x
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}.}
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln \left|{\frac {f(x)}{g(x)}}\right|}
Aplicando propiedades del valor absoluto y los logaritmos,
ln
|
h
(
x
)
|
=
ln
|
f
(
x
)
|
−
ln
|
g
(
x
)
|
{\displaystyle \ln |h(x)|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|}
Tomando la derivada logarítmica de ambos lados,
h
′
(
x
)
h
(
x
)
=
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\frac {h'(x)}{h(x)}}={\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}}
Resolviendo y sustituyendo nuevamente obtenemos :
h
′
(
x
)
{\displaystyle h'(x)}
f
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle {\tfrac {f(x)}{g(x)}}}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
h
′
(
x
)
=
h
(
x
)
[
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
]
=
f
(
x
)
g
(
x
)
[
f
′
(
x
)
f
(
x
)
−
g
′
(
x
)
g
(
x
)
]
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
g
(
x
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}
Tomar el valor absoluto de las funciones es necesario para la diferenciación logarítmica de funciones que pueden tener valores negativos, ya que los logaritmos solo tienen valores reales para argumentos positivos. Esto funciona porque , lo que justifica tomar el valor absoluto de las funciones para la diferenciación logarítmica.
d
d
x
(
ln
|
u
|
)
=
u
′
u
{\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}(\ln |u|)={\tfrac {u'}{u}}}
Derivadas de orden superior La diferenciación implícita se puede utilizar para calcular la derivada n- ésima de un cociente (parcialmente en términos de sus primeras n − 1 derivadas). Por ejemplo, al diferenciar dos veces (resultando en ) y luego resolver para se obtiene
f
=
g
h
{\displaystyle f=gh}
f
″
=
g
″
h
+
2
g
′
h
′
+
g
h
″
{\displaystyle f''=g''h+2g'h'+gh''}
h
″
{\displaystyle h''}
h
″
=
(
f
g
)
″
=
f
″
−
g
″
h
−
2
g
′
h
′
g
.
{\displaystyle h''=\left({\frac {f}{g}}\right)''={\frac {f''-g''h-2g'h'}{g}}.}
Véase también
Referencias
Hispanopedia Wiki
![{\displaystyle h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e609f5e7b44f69edc0c1030bc9ae9d0cb2a104)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{k\to 0}{\frac {h(x+k)-h(x)}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {{\frac {f(x+k)}{g(x+k)}}-{\frac {f(x)}{g(x)}}}{k}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x)g(x+k)}}\\&=\lim _{k\to 0}\left[{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}}-\lim _{k\to 0}{\frac {f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&=\left[\lim _{k\to 0}{\frac {f(x+k)-f(x)}{k}}\cdot g(x)-f(x)\cdot \lim _{k\to 0}{\frac {g(x+k)-g(x)}{k}}\right]\cdot {\frac {1}{[g(x)]^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a67ddfcb5e8f45f7cc7224aea48f8624bed81c14)
![{\displaystyle \lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{[g(x)]^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54648c1bbdf7de8fb2914518e64c9d3664cec574)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&={\frac {f'(x)-g'(x)h(x)}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)-g'(x)\cdot {\frac {f(x)}{g(x)}}}{g(x)}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178b7215193de54049ec971bbf3d2ee99ce7fe3c)
![{\displaystyle h'(x)=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb1ec4c4cd3ce8891ece4a7f4db407fd158470c)
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]=-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3578de83a411d6ecc2753ffb336bbefa818b2508)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left[{\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {g(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98814d0c465bffd44efe44e56bb1a84dd7fb1529)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=h(x)\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f(x)}{g(x)}}\left[{\frac {f'(x)}{f(x)}}-{\frac {g'(x)}{g(x)}}\right]\\&={\frac {f'(x)}{g(x)}}-{\frac {f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}\\&={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30778dbc5e1cd7b1f21fec351752fc348cb88af)
