Linealidad de la diferenciación

En cálculo , la derivada de cualquier combinación lineal de funciones es igual a la misma combinación lineal de las derivadas de las funciones; ^{[ 1 ]} esta propiedad se conoce como linealidad de la diferenciación , regla de linealidad , ^{[ 2 ]} o regla de superposición para la diferenciación. ^{[ 3 ]} Es una propiedad fundamental de la derivada que engloba en una sola regla dos reglas de diferenciación más simples: la regla de la suma (la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas) y la regla del factor constante (la derivada de un múltiplo constante de una función es el mismo múltiplo constante de la derivada). ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} Por lo tanto, se puede decir que la diferenciación es lineal , o que el operador diferencial es un operador lineal . ^{[ 6 ]}

Enunciado y derivación

Sean $f$ y $g$ funciones, con $α$ y $β$ constantes. Ahora consideremos

{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x)).

Según la regla de la suma en la diferenciación , esto es

{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x))+{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\beta \cdot g(x)),

y por la regla del factor constante en la diferenciación , esto se reduce a

\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).

Por lo tanto,

{\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}(\alpha \cdot f(x)+\beta \cdot g(x))=\alpha \cdot f'(x)+\beta \cdot g'(x).

Si se omiten los corchetes , esto se suele escribir como:

(\alpha \cdot f+\beta \cdot g)'=\alpha \cdot f'+\beta \cdot g'.

Demostraciones/derivaciones detalladas a partir de la definición

Podemos demostrar el principio de linealidad completo de una sola vez, o bien, podemos demostrar cada paso individualmente (el del factor constante y el de la suma). Aquí se mostrarán ambas demostraciones.

Demostrar la linealidad directamente también demuestra la regla del factor constante, la regla de la suma y la regla de la diferencia como casos especiales. La regla de la suma se obtiene estableciendo ambos coeficientes constantes en $1$ . La regla de diferencias se obtiene estableciendo el primer coeficiente constante en $1$ y el segundo coeficiente constante a $-1$ . La regla del factor constante se obtiene estableciendo el segundo coeficiente constante o la segunda función en $0$ . (Desde un punto de vista técnico, también debe considerarse el dominio de la segunda función; una forma de evitar problemas es establecer la segunda función igual a la primera función y el segundo coeficiente constante igual a $0$ También se podría definir tanto el segundo coeficiente constante como la segunda función como 0, donde el dominio de la segunda función es un superconjunto de la primera función, entre otras posibilidades.

Por el contrario, si primero demostramos la regla del factor constante y la regla de la suma, podemos demostrar la linealidad y la regla de la diferencia. La demostración de la linealidad se realiza definiendo la primera y la segunda función como dos funciones más multiplicadas por coeficientes constantes. Luego, como se muestra en la derivación de la sección anterior, podemos usar primero la ley de la suma durante la diferenciación y luego la regla del factor constante, lo que nos llevará a la conclusión de la linealidad. Para demostrar la regla de la diferencia, la segunda función se puede redefinir como otra función multiplicada por el coeficiente constante de $-1$ Esto, al simplificarse, nos daría la regla de la diferencia para la derivación.

En las demostraciones/derivaciones que siguen, ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} los coeficientes $a,b$ se utilizan; corresponden a los coeficientes $\alpha,\beta$ arriba.

Linealidad (directamente)

Dejar $a,b\in \mathbb {R}$ . Dejar $f,g$ sean funciones. $j$ ser una función, donde $j$ se define solo donde $f$ y $g$ ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de $j$ es la intersección de los dominios de $f$ y $g$ .) Dejar $x$ estar en el dominio de $j$ . Dejar $j(x)=af(x)+bg(x)$ .

Queremos demostrar que $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)$ .

Por definición, podemos ver que

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(af(x+h)+bg(x+h)\right)-\left(af(x)+bg(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$

Para utilizar la ley de límites para la suma de límites, necesitamos saber que ${\textstyle \lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ ambos existen individualmente. Para estos límites más pequeños, necesitamos saber que ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ Ambos existen individualmente para utilizar la ley de coeficientes para límites. Por definición, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ . Entonces, si sabemos que $f^{\prime }(x)$ y $g^{\prime }(x)$ Ambos existen, lo sabremos ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ Ambos existen individualmente. Esto nos permite usar la ley de coeficientes para límites para escribir

$\lim _{h\to 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

y

$\lim _{h\to 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=b\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}.$

Con esto, podemos volver a aplicar la ley del límite para la suma de límites, ya que sabemos que ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ Ambos existen individualmente. Desde aquí, podemos volver directamente al derivado en el que estábamos trabajando. ${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left(a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+\lim _{h\rightarrow 0}\left(b{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)+b\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)\end{aligned}}$ Finalmente, hemos demostrado lo que afirmamos al principio: $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)+bg^{\prime }(x)$ .

Suma

Dejar $f,g$ sean funciones. $j$ ser una función, donde $j$ se define solo donde $f$ y $g$ ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de $j$ es la intersección de los dominios de $f$ y $g$ .) Dejar $x$ estar en el dominio de $j$ . Dejar $j(x)=f(x)+g(x)$ .

Queremos demostrar que $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ .

Por definición, podemos ver que

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)+g(x+h)\right)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$ Para poder utilizar la ley para la suma de límites aquí, necesitamos demostrar que los límites individuales, ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ Ambos existen. Por definición, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ , por lo que los límites existen siempre que las derivadas $f^{\prime }(x)$ y $g^{\prime }(x)$ existen. Entonces, suponiendo que existen las derivadas, podemos continuar con la derivación anterior.

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}+\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)\end{aligned}}$

Así pues, hemos demostrado lo que queríamos demostrar, que: $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$ .

Diferencia

Dejar $f,g$ sean funciones. $j$ ser una función, donde $j$ se define solo donde $f$ y $g$ ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de $j$ es la intersección de los dominios de $f$ y $g$ .) Dejar $x$ estar en el dominio de $j$ . Dejar $j(x)=f(x)-g(x)$ .

Queremos demostrar que $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$ .

Por definición, podemos ver que: ${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left(f(x+h)-(g(x+h)\right)-\left(f(x)-g(x)\right)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\\end{aligned}}$

Para poder utilizar la ley de la diferencia de límites aquí, necesitamos demostrar que los límites individuales, ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ Ambos existen. Por definición, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ y eso ${\textstyle g^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}$ , por lo que estos límites existen siempre que las derivadas $f^{\prime }(x)$ y $g^{\prime }(x)$ existen. Entonces, suponiendo que existen las derivadas, podemos continuar con la derivación anterior.

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}\left({\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\right)\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}\\&=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\end{aligned}}$

Así pues, hemos demostrado lo que queríamos demostrar, que: $j^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$ .

Coeficiente constante

Dejar $f$ Sea una función. $a\in \mathbb {R}$ ; $a$ será el coeficiente constante. Sea $j$ sea una función, donde j se define solo donde $f$ se define. (En otras palabras, el dominio de $j$ es igual al dominio de $f$ .) Dejar $x$ estar en el dominio de $j$ . Dejar $j(x)=af(x)$ .

Queremos demostrar que $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)$ .

Por definición, podemos ver que:

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {j(x+h)-j(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {af(x+h)-af(x)}{h}}\\&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\\end{aligned}}$

Ahora, para utilizar una ley límite para coeficientes constantes para demostrar que

$\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$ Necesitamos demostrar que ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ existe. Sin embargo, ${\textstyle f^{\prime }(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ , por definición de la derivada. Entonces, si $f^{\prime }(x)$ existe, entonces ${\textstyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$ existe.

Por lo tanto, si asumimos que $f^{\prime }(x)$ Si existe, podemos usar la ley de límites y continuar con nuestra demostración.

${\begin{aligned}j^{\prime }(x)&=\lim _{h\rightarrow 0}a{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=a\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\\&=af^{\prime }(x)\\\end{aligned}}$

Por lo tanto, hemos demostrado que cuando $j(x)=af(x)$ , tenemos $j^{\prime }(x)=af^{\prime }(x)$ .

Véase también

Derivación de integrales – Problema de la derivada de la integral del valor medio
Derivación de funciones trigonométricas : proceso matemático para hallar la derivada de una función trigonométrica.
Reglas de diferenciación : reglas para calcular derivadas de funciones.
Distribución (matemáticas) – Objetos que generalizan funciones Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección
Regla general de Leibniz : generalización de la regla del producto en cálculo.
Integración por partes : método matemático en cálculo.
Funciones inversas y diferenciación – Fórmula para la derivada de una función inversa Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento
Regla del producto : fórmula para la derivada de un producto.
Regla del cociente : fórmula para la derivada de una razón de funciones.
Tabla de derivadas – Reglas para calcular derivadas de funciones Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento
Identidades del cálculo vectorial – Identidades matemáticas

Referencias

↑ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (2006), Cálculo: Variable única, Volumen 1 , Springer, pág. 177, ISBN 9781931914598.
↑ Strang, Gilbert (1991), Cálculo, Volumen 1 , SIAM, págs. 71–72 , ISBN 9780961408824.
↑ Stroyan, KD (2014), Cálculo con Mathematica , Academic Press, pág. 89, ISBN 9781483267975.
↑ Estep, Donald (2002), "20.1 Combinaciones lineales de funciones", Análisis práctico en una variable , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, pp. 259–260 , ISBN 9780387954844.
↑ Zorn, Paul (2010), Comprensión del análisis real , CRC Press, pág. 184, ISBN 9781439894323.
↑ Gockenbach, Mark S. (2011), Álgebra lineal de dimensión finita , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, CRC Press, pág. 103, ISBN 9781439815649.
↑ "Reglas de diferenciación" . Material didáctico abierto de CEMC . Consultado el 3 de mayo de 2022 .
↑ Dawkins, Paul. "Prueba de varias propiedades derivadas" . Notas en línea de Paul . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

[1] Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (2006), Cálculo: Variable única, Volumen 1 , Springer, pág. 177, ISBN 9781931914598.

[2] Strang, Gilbert (1991), Cálculo, Volumen 1 , SIAM, págs. 71–72 , ISBN 9780961408824.

[3] Stroyan, KD (2014), Cálculo con Mathematica , Academic Press, pág. 89, ISBN 9781483267975.

[4] Estep, Donald (2002), "20.1 Combinaciones lineales de funciones", Análisis práctico en una variable , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, pp. 259–260 , ISBN 9780387954844.

[5] Zorn, Paul (2010), Comprensión del análisis real , CRC Press, pág. 184, ISBN 9781439894323.

[6] Gockenbach, Mark S. (2011), Álgebra lineal de dimensión finita , Matemáticas discretas y sus aplicaciones, CRC Press, pág. 103, ISBN 9781439815649.

[7] "Reglas de diferenciación" . Material didáctico abierto de CEMC . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

[8] Dawkins, Paul. "Prueba de varias propiedades derivadas" . Notas en línea de Paul . Consultado el 3 de mayo de 2022 .

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