Derivada logarítmica

En matemáticas , específicamente en cálculo y análisis complejo , la derivada logarítmica de una función f se define mediante la fórmula donde es la derivada de f . ^[1] Intuitivamente, este es el cambio relativo infinitesimal en f ; es decir, el cambio absoluto infinitesimal en f, es decir, escalado por el valor actual de f .$${\displaystyle {\frac {f'}{f}}}$$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f',}$

Cuando f es una función f ( x ) de una variable real x , y toma valores reales , estrictamente positivos , es igual a la derivada de ln( f ), o al logaritmo natural de f . Esto se deduce directamente de la regla de la cadena : ^[1] $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}}$$

Muchas propiedades del logaritmo real también se aplican a la derivada logarítmica, incluso cuando la función no toma valores en los reales positivos. Por ejemplo, dado que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, tenemos Entonces, para funciones con valores reales positivos, la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores. Pero también podemos usar la ley de Leibniz para la derivada de un producto para obtener Por lo tanto, es cierto para cualquier función que la derivada logarítmica de un producto es la suma de las derivadas logarítmicas de los factores (cuando están definidos). $${\displaystyle (\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.}$$$${\displaystyle {\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

Un corolario de esto es que la derivada logarítmica del recíproco de una función es la negación de la derivada logarítmica de la función: así como el logaritmo del recíproco de un número real positivo es la negación del logaritmo del número. ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle {\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},}$$

De manera más general, la derivada logarítmica de un cociente es la diferencia de las derivadas logarítmicas del dividendo y del divisor, así como el logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor. $${\displaystyle {\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},}$$

Generalizando en otra dirección, la derivada logarítmica de una potencia (con exponente real constante) es el producto del exponente por la derivada logarítmica de la base: así como el logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. $${\displaystyle {\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},}$$

En resumen, tanto las derivadas como los logaritmos tienen una regla del producto , una regla recíproca , una regla del cociente y una regla de potencia (compare la lista de identidades logarítmicas ); cada par de reglas está relacionado a través de la derivada logarítmica.

Las derivadas logarítmicas pueden simplificar el cálculo de las derivadas que requieren la regla del producto y producir el mismo resultado. El procedimiento es el siguiente: supongamos que y que deseamos calcular . En lugar de calcularlo directamente como , calculamos su derivada logarítmica. Es decir, calculamos: ${\displaystyle f(x)=u(x)v(x)}$${\displaystyle f'(x)}$${\displaystyle f'=u'v+v'u}$$${\displaystyle {\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.}$$

Multiplicando por ƒ se calcula f ′ : $${\displaystyle f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).}$$

Esta técnica es más útil cuando ƒ es un producto de una gran cantidad de factores. Esta técnica permite calcular f ′ calculando la derivada logarítmica de cada factor, sumando y multiplicando por f .

Por ejemplo, podemos calcular la derivada logarítmica de ser . ${\displaystyle e^{x^{2}}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}}$${\displaystyle 2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}}$

La idea de la derivada logarítmica está estrechamente relacionada con el método del factor integrador para ecuaciones diferenciales de primer orden . En términos de operadores , escriba y sea M el operador de multiplicación por alguna función dada G ( x ). Entonces puede escribirse (por la regla del producto ) como donde ahora denota el operador de multiplicación por la derivada logarítmica$${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$$$${\displaystyle M^{-1}DM}$$$${\displaystyle D+M^{*}}$$${\displaystyle M^{*}}$$${\displaystyle {\frac {G'}{G}}}$$

En la práctica, se nos da un operador como y queremos resolver ecuaciones para la función h , dada f . Esto se reduce entonces a resolver que tiene como solución cualquier integral indefinida de F . ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle D+F=L}$$$${\displaystyle L(h)=f}$$$${\displaystyle {\frac {G'}{G}}=F}$$$${\displaystyle \exp \textstyle (\int F)}$$

La fórmula tal como se da se puede aplicar de manera más amplia; por ejemplo, si f ( z ) es una función meromórfica , tiene sentido en todos los valores complejos de z en los que f no tiene ni un cero ni un polo . Además, en un cero o un polo, la derivada logarítmica se comporta de una manera que se analiza fácilmente en términos del caso particular.

con n un entero, n ≠ 0 . La derivada logarítmica es entonces y se puede sacar la conclusión general de que para f meromórfica, las singularidades de la derivada logarítmica de f son todos polos simples , con residuo n de un cero de orden n , residuo − n de un polo de orden n . Véase principio de argumento . Esta información se explota a menudo en la integración de contornos . ^{[2] [3] [ verificación necesaria ]}$${\displaystyle n/z}$$

En el campo de la teoría de Nevanlinna , un lema importante establece que la función de proximidad de una derivada logarítmica es pequeña con respecto a la característica de Nevanlinna de la función original, por ejemplo . ^{[4] [ verificación necesaria ]}${\displaystyle m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))}$

Detrás del uso de la derivada logarítmica se encuentran dos hechos básicos sobre GL ₁ , es decir, el grupo multiplicativo de números reales u otro cuerpo . El operador diferencial es invariante bajo la dilatación (reemplazando X por aX para una constante). Y la forma diferencial es igualmente invariante. Para las funciones F en GL ₁ , la fórmula es, por lo tanto, una reversión de la forma invariante. ^{[ cita requerida ]}$${\displaystyle X{\frac {d}{dX}}}$$ $${\displaystyle {\frac {dx}{X}}}$$$${\displaystyle {\frac {dF}{F}}}$$

• El crecimiento exponencial y el decaimiento exponencial son procesos con derivada logarítmica constante. ^{[ cita requerida ]}
• En finanzas matemáticas , la λ griega  es la derivada logarítmica del precio de la derivada con respecto al precio subyacente. ^{[ cita requerida ]}
• En el análisis numérico , el número de condición es el cambio relativo infinitesimal en la salida para un cambio relativo en la entrada y, por lo tanto, es una relación de derivadas logarítmicas. ^{[ cita requerida ]}

• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Diferenciación logarítmica  – Método de diferenciación matemática
• Elasticidad de una función
• Producto integral