Elasticidad de una función

En matemáticas , la elasticidad o elasticidad puntual de una función diferenciable positiva f de una variable positiva (entrada positiva, salida positiva) ^{[ 1 ]} en el punto a se define como ^{[ 2 ].}

${\displaystyle Ef(a)={\frac {a}{f(a)}}f'(a)}$

${\displaystyle =\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}{\frac {a}{f(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{f(a)}}{\frac {a}{xa}}=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {f(x)}{f(a)}}-1}{{\frac {x}{a}}-1}}\approx {\frac {\%\Delta f(a)}{\%\Delta a}}}$

o equivalentemente

${\displaystyle Ef(x)={\frac {d\log f(x)}{d\log x}}.}$

Es, por lo tanto, la relación del cambio relativo (porcentual) en la salida de la función.${\displaystyle f(x)}$con respecto al cambio relativo en su entrada${\displaystyle x}$, para cambios infinitesimales desde un punto${\displaystyle (a,f(a))}$De forma equivalente, es la razón entre el cambio infinitesimal del logaritmo de una función y el cambio infinitesimal del logaritmo del argumento. También existen generalizaciones a casos de múltiples entradas y múltiples salidas en la literatura. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

La elasticidad de una función es una constante.${\displaystyle \alpha }$si y solo si la función tiene la forma${\displaystyle f(x)=Cx^{\alpha }}$por una constante${\displaystyle C>0}$.

La elasticidad en un punto es el límite de la elasticidad de arco entre dos puntos cuando la separación entre esos dos puntos tiende a cero.

El concepto de elasticidad se utiliza ampliamente en economía y en el análisis de control metabólico (ACM); consulte elasticidad (economía) y coeficiente de elasticidad, respectivamente, para obtener más detalles.

Las reglas para hallar la elasticidad de productos y cocientes son más sencillas que las de las derivadas. ^{[ 5 ]} Sean f y g funciones diferenciables. Entonces ^{[ 2 ]}

${\displaystyle E(f(x)\cdot g(x))=Ef(x)+Eg(x)}$

${\displaystyle E{\frac {f(x)}{g(x)}}=Ef(x)-Eg(x)}$

${\displaystyle E(f(x)+g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))+g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)+g(x)}}}$

${\displaystyle E(f(x)-g(x))={\frac {f(x)\cdot E(f(x))-g(x)\cdot E(g(x))}{f(x)-g(x)}}}$

La derivada puede expresarse en términos de elasticidad como

${\displaystyle Df(x)={\frac {Ef(x)\cdot f(x)}{x}}}$

Sean a y b constantes. Entonces

${\displaystyle E(a)=0\ }$

${\displaystyle E(a\cdot f(x))=Ef(x)}$,

${\displaystyle E(bx^{a})=a\ }$.

En economía, la elasticidad precio de la demanda se refiere a la elasticidad de una función de demanda Q ( P ) y se puede expresar como (dQ/dP)/(Q(P)/P) o la razón entre el valor de la función marginal (dQ/dP) y el valor de la función promedio (Q(P)/P). Esta relación proporciona una manera sencilla de determinar si una curva de demanda es elástica o inelástica en un punto determinado. Primero, supongamos que se sigue la convención matemática habitual de representar la variable independiente (P) horizontalmente y la variable dependiente (Q) verticalmente. Entonces, la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto es el valor de la función marginal en ese punto. La pendiente de una semirrecta trazada desde el origen que pasa por el punto es el valor de la función promedio. Si el valor absoluto de la pendiente de la tangente es mayor que la pendiente de la semirrecta, entonces la función es elástica en el punto; si la pendiente de la secante es mayor que el valor absoluto de la pendiente de la tangente, entonces la curva es inelástica en el punto. ^{[ 6 ]} Si la recta tangente se extiende hasta el eje horizontal, el problema se reduce simplemente a comparar los ángulos formados por las rectas y el eje horizontal. Si el ángulo marginal es mayor que el ángulo promedio, la función es elástica en ese punto; si el ángulo marginal es menor que el ángulo promedio, la función es inelástica en ese punto. Sin embargo, si se sigue la convención adoptada por los economistas y se representa la variable independiente P en el eje vertical y la variable dependiente Q en el eje horizontal, se aplicarían las reglas opuestas.

El mismo procedimiento gráfico también puede aplicarse a una función de suministro u otras funciones.

Una semielasticidad (o semielasticidad) da el cambio porcentual en f(x) en términos de un cambio (no porcentual) en x . Algebraicamente, la semielasticidad S de una función f en el punto x es ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle Sf(x)={\frac {1}{f(x)}}f'(x)={\frac {d\ln f(x)}{dx}}}$

La semielasticidad será constante para funciones exponenciales de la forma,${\displaystyle f(x)=C\alpha ^{x}}$desde,

${\displaystyle \ln {f}=\ln {C\alpha ^{x}}=\ln {C}+x\ln {\alpha }\implies {\frac {d\ln {f}}{dx}}=\ln {\alpha }.}$

Un ejemplo de semielasticidad es la duración modificada en la negociación de bonos.

En la literatura se utiliza a veces la definición opuesta. Es decir, el término "semielasticidad" también se utiliza a veces para referirse al cambio (no porcentual) en f(x) en términos de un cambio porcentual en x ^{[ 9 ]} que sería

${\displaystyle {\frac {df(x)}{d\ln(x)}}={\frac {df(x)}{dx}}x}$

• Elasticidad de arco
• Elasticidad (economía)
• Coeficiente de elasticidad (bioquímica)
• Función homogénea
• Derivada logarítmica

• Nievergelt, Yves (1983). "El concepto de elasticidad en economía". SIAM Review . 25 (2): 261– 265. doi : 10.1137/1025049 .