Duración (finanzas)

La idea de duración fue planteada por Frederick Macaulay en un estudio de la Oficina Nacional de Investigación Económica en 1938. Definió un promedio ponderado en el tiempo de los valores presentes de los flujos de efectivo y lo utilizó para resumir la sensibilidad temporal y de tasa de un bono. ^{[ 1 ]} En el ámbito actuarial, Frank Redington vinculó la duración con la inmunización y añadió convexidad para mejorar la protección contra grandes fluctuaciones en los rendimientos. ^{[ 2 ]}

Con una estructura temporal de tipos de interés, descontar cada pago a su propio tipo spot conserva la ponderación del valor presente y proporciona una cobertura de primer orden para un pequeño desplazamiento paralelo de la curva cero. Esta es la formulación de Fisher-Weil . ^{[ 3 ]} Para manejar movimientos no paralelos, los profesionales informan sensibilidades localizadas en vencimientos seleccionados utilizando duraciones de tipos clave . Las características de las opciones dieron lugar a una duración efectiva o ajustada por opciones, estimada por pequeños desplazamientos de la curva en un modelo de precios mientras que el diferencial ajustado por opciones se mantiene constante. Estos usos son estándar en las metodologías de índices e informes. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

En los textos modernos, “duración” puede significar diferentes medidas pero relacionadas. La duración de Macaulay es el tiempo promedio ponderado por valor presente hasta el pago. La duración modificada es el cambio porcentual de primer orden en el precio para un pequeño cambio en el rendimiento declarado y la capitalización. La duración del dinero o del dólar es${\displaystyle P\times D_{\text{mod}}}$. DV01 , PV01 y PVBP expresan la variación del precio por punto base. En el mercado de bonos del gobierno británico, la duración modificada se suele denominar «volatilidad» en las guías de índices y las fichas informativas. ^{[ 6 ] [ 5 ] [ 7 ]}

Imagina una tabla larga dispuesta a lo largo de una línea de tiempo que comienza hoy. Cada flujo de efectivo futuro es un pequeño peso colocado sobre la tabla en el momento en que ocurre. Los pesos más pesados ​​corresponden a flujos de efectivo con valores actuales mayores . Si deslizas un soporte bajo la tabla hasta el punto donde el sistema se equilibra, ese punto de equilibrio es el centro temporal de todos los pesos.

Si la mayor parte del peso se concentra en los extremos del gráfico, el punto de equilibrio se sitúa más lejos del presente y el bono es más sensible a los cambios en los rendimientos. Si el peso se concentra cerca del inicio mediante cupones altos o vencimientos cortos, el punto de equilibrio se desplaza hacia el interior y la sensibilidad disminuye. Este centro temporal corresponde a la duración de Macaulay.

Ahora, incline el suelo ligeramente. La tabla desciende un poco y, para una inclinación tan pequeña, la caída vertical en el punto de equilibrio es casi exactamente proporcional a la inclinación. Esta respuesta proporcional refleja la duración modificada, que produce el cambio de primer orden en el precio ante un pequeño cambio en el rendimiento.

Con una mayor inclinación, el movimiento deja de ser proporcional porque la tabla describe una curva. La curvatura adicional en la respuesta explica la convexidad y demuestra por qué el término de segundo orden es relevante para movimientos de rendimiento mayores o para patrones de flujo de efectivo que hacen que la curva sea más pronunciada.

Si el terreno no se inclina de manera uniforme, sino que se eleva o desciende en años específicos, distintas partes de la tabla se desplazan en cantidades diferentes. Esta situación coincide con los cambios en la estructura temporal de los plazos de vencimiento y justifica el uso de indicadores como la duración de Fisher-Weil y la duración de las tasas clave, cuya sensibilidad depende de qué vencimientos se desplacen.

• Bono de cupón cero

Supongamos madurez${\displaystyle T=3}$años y rendimiento${\displaystyle y=5\%}$con capitalización anual (${\displaystyle m=1}$). Entonces $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T=3,\qquad D_{\text{mod}}={\frac {T}{1+y/m}}={\frac {3}{1+0.05}}\approx 2.857\,.}$$ Un cambio de 25 puntos básicos en el rendimiento (${\displaystyle \Delta y=0,0025}$) da $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,2.857\times 0.0025\approx -\,0.71\%\,.}$$

• Bono de cupón nivelado

Consideremos un bono a dos años con un cupón anual del 5% y un rendimiento${\displaystyle y=6\%}$(capitalización anual). Valores actuales de los flujos de efectivo: $${\displaystyle \mathrm {PV} _{1}={\frac {5}{1.06}}\approx 4.717,\qquad \mathrm {PV} _{2}={\frac {105}{1.06^{2}}}\approx 93.450\,.}$$ Ponderaciones de precio y flujo de caja: $${\displaystyle P=\mathrm {PV} _{1}+\mathrm {PV} _{2}\approx 98.167,\qquad w_{1}={\frac {\mathrm {PV} _{1}}{P}}\approx 0.048,\quad w_{2}={\frac {\mathrm {PV} _{2}}{P}}\approx 0.952\,.}$$ Duración de Macaulay: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}=1\cdot w_{1}+2\cdot w_{2}\approx 1\cdot 0.048+2\cdot 0.952\approx 1.952\,.}$$ Duración modificada: $${\displaystyle D_{\text{mod}}={\frac {D_{\text{Mac}}}{1+y}}={\frac {1.952}{1.06}}\approx 1.842\,.}$$ Un aumento de 50 puntos básicos en el rendimiento (${\displaystyle \Delta y=0.005}$) implica $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\approx -\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\approx -\,1.842\times 0.005\approx -\,0.92\%\,.}$$

Cuando la estructura temporal no es plana, descontar cada pago a su propia tasa de cupón cero preserva la idea de ponderación en la estadística de Macaulay y conduce al refinamiento de Fisher-Weil para desplazamientos paralelos de la curva de tasa cero. Los movimientos no paralelos se analizan con duraciones de tasa clave en secciones posteriores. ^{[ 4 ]}

Si la tarificación utiliza una tasa compuesta continua${\displaystyle r}$, entonces $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;-\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}.}$$ Con pesas${\displaystyle w_{i}(r)=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}/P(r)}$, $${\displaystyle D_{mod}(r)=-\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,w_{i}(r)\;=\;D_{\text{Mac}}.}$$ Por lo tanto, la duración modificada y la de Macaulay coinciden bajo la capitalización continua. ^{[ 8 ]}

Cuando la estructura temporal no es plana, descuente cada flujo de efectivo a su propia tasa de cupón cero.${\displaystyle z(t)}$Para un cambio paralelo${\displaystyle a}$a la curva cero, $${\displaystyle P(a)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\exp \!{\Bigl (}-\!\int _{0}^{t_{i}}[z(u)+a]\,\mathrm {d} u{\Bigr )}\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-at_{i}}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ Definir valores con descuento al contado${\displaystyle {\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}=C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}}$y pesos${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}={\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}/P(0)}$. Diferenciando en${\displaystyle a=0}$da $${\displaystyle -\,{\frac {1}{P(0)}}\,{\frac {\partial P}{\partial a}}{\Big |}_{a=0}\;=\;{\frac {\sum _{i}t_{i}\,{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}{\sum _{i}{\widetilde {\mathrm {PV} }}_{i}}}\;=\;\sum _{i}t_{i}\,{\tilde {w}}_{i}\;=\;D_{\text{FW}},}$$ la duración de Fisher-Weil, que conserva la ponderación del valor presente con una estructura temporal completa. ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;{\text{PVBP}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}.}$$ Estas identidades se utilizan ampliamente en la presentación de informes y la regulación de carteras. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

Para flujos de efectivo fijos y positivos:

• La duración aumenta con el vencimiento final y disminuye a medida que aumenta el rendimiento.
• Los cupones más altos acortan la duración en comparación con un cupón cero con el mismo vencimiento.
• La duración de la cartera es el promedio ponderado por el valor actual de las duraciones de sus componentes:

$${\displaystyle D_{\text{port}}={\dfrac {\sum _{j}P_{j}D_{j}}{\sum _{j}P_{j}}}\,.}$$ Para un pequeño cambio de rendimiento${\displaystyle \Delta y}$,${\displaystyle \Delta P/P\approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y}$. ^{[ 4 ]}

Dejemos que los flujos de efectivo sean${\displaystyle C_{i}}$a veces${\displaystyle t_{i}}$(años),${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$. Escribe valores presentes${\displaystyle \mathrm {PV} _{i}}$y precio${\displaystyle P}$como $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i},\qquad \mathrm {PV} _{i}\;=\;C_{i}\,(1+y/m)^{-mt_{i}}.}$$ Definir pesos${\displaystyle w_{i}=\mathrm {PV} _{i}/P}$, que suman uno. La duración de Macaulay es $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,w_{i}\;=\;{\frac {\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,\mathrm {PV} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\mathrm {PV} _{i}}}.}$$

Para instrumentos con flujos de efectivo fijos y positivos y tiempos${\displaystyle t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}}$, $${\displaystyle t_{1}\;\leq \;D_{\text{Mac}}\;\leq \;t_{n},}$$ con igualdad solo cuando hay un único pago. Por lo tanto, un bono cupón cero que vence en${\displaystyle T}$tiene${\displaystyle D_{\text{Mac}}=T}$, mientras que un bono de cupón nivelado tiene${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$estrictamente entre la primera fecha de cupón y el vencimiento final. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

Bajo un rendimiento al vencimiento cotizado${\displaystyle y}$compuesto${\displaystyle m}$veces al año, $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}},}$$ que vincula el concepto de promedio temporal con la sensibilidad de precio de primer orden utilizada en la cobertura. Si el descuento utiliza tasas al contado${\displaystyle z(t)}$En cada vencimiento, la misma forma de promedio ponderado con valores presentes descontados al contado da la duración de Fisher-Weil; cuando la curva es plana y las convenciones coinciden, es igual a${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$. ^{[ 8 ] [ 3 ] [ 4 ]}

La vida media ponderada calcula el promedio de los plazos de pago utilizando únicamente el capital y no aplica descuento. La duración de Macaulay calcula el promedio utilizando valores presentes e incluye tanto los cupones como el capital. Para una estructura de solo intereses o de pago único con cupones pequeños, ambas cifras pueden ser similares, pero generalmente difieren porque la duración refleja el descuento y el momento de pago de los cupones. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

Cuando el rendimiento se expresa con capitalización continua a una tasa${\displaystyle r}$, la duración de Macaulay es igual a la duración modificada: $${\displaystyle P(r)\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}},\qquad -\,{\frac {1}{P(r)}}\,{\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} r}}\;=\;\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,{\frac {C_{i}\,\mathrm {e} ^{-rt_{i}}}{P(r)}}\;=\;D_{\text{Mac}}\,,}$$ así bajo capitalización continua${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}}$. ^{[ 8 ]}

En la mayoría de los mercados, los rendimientos se cotizan con${\displaystyle m}$períodos de capitalización por año. Con${\displaystyle y}$el rendimiento nominal al vencimiento y${\displaystyle P(y)=\sum _{i}C_{i}(1+y/m)^{-mt_{i}}}$, $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {D_{\text{Mac}}}{\,1+y/m\,}}\,.}$$ Esto relaciona el concepto de promedio temporal con la elasticidad utilizada para la cobertura y la presentación de informes. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

La duración de Macaulay tiene unidades de tiempo. La duración modificada no tiene unidades y actúa como una semielasticidad. Para un pequeño cambio${\displaystyle \Delta y}$en el rendimiento anual (en forma decimal), $${\displaystyle {\frac {\Delta P}{P}}\;\approx \;-\,D_{\text{mod}}\,\Delta y\,.}$$ Para un cambio de 100 puntos básicos${\displaystyle (\Delta y=0.01)}$El cambio porcentual aproximado del precio es${\displaystyle D_{\text{mod}}\times 1\%}$. ^{[ 4 ]}

La duración de Macaulay se aplica a flujos de efectivo fijos. Para instrumentos cuyos flujos de efectivo cambian cuando varían las tasas, como los valores rescatables o prepagables, la sensibilidad se estima mediante la duración efectiva utilizando pequeños desplazamientos hacia arriba y hacia abajo de la curva dentro de un modelo de precios. En esos casos${\displaystyle D_{\text{mod}}}$se reemplaza por la medida efectiva para la presentación de informes y cobertura de riesgos. ^{[ 6 ]}

La duración modificada se define como una derivada, por lo que la precisión disminuye a medida que aumenta la variación del rendimiento. Para perturbaciones mayores, el término de segundo orden (convexidad) mejora la aproximación, o bien el instrumento puede revalorizarse directamente al nuevo rendimiento o curva. La sección «Convexidad y efectos de segundo orden» presenta la aproximación cuadrática estándar y un ejemplo práctico. ^{[ 4 ] [ 6 ]}

El término de convexidad es pequeño para movimientos de rendimiento muy pequeños. Se vuelve significativo para movimientos mayores, para instrumentos de largo plazo o de bajo cupón, y cuando los valores presentan convexidad negativa debido a opciones implícitas. En esos casos, la duración efectiva y la convexidad efectiva se estiman mediante diferencias finitas a partir de un modelo de valoración de opciones. ^{[ 6 ] [ 4 ] [ 12 ]}

• La elección de los vencimientos clave y el método de interpolación de la curva afectan las estimaciones. El uso de la misma interpolación para precios y choques mejora la consistencia interna. ^{[ 4 ]}
• Los cambios deben ser pequeños para que las aproximaciones de primer orden sigan siendo precisas. Las perturbaciones mayores requieren convexidad o una revalorización directa.
• Informe tanto el conjunto de DV01 de tasa clave como el DV01 paralelo. Los totales proporcionan una verificación cruzada de que las exposiciones de los tramos de tasa clave suman el riesgo de tasa general. ^{[ 6 ]}

En muchas metodologías de referencia, los DV01 de la tasa clave se calculan bajo un spread constante ajustado por opciones. Según esta convención, la suma de los DV01 de la tasa clave es aproximadamente igual a la duración ajustada por opciones para un movimiento paralelo, lo que proporciona una verificación cruzada práctica de las exposiciones reportadas. ^{[ 13 ]}

Esta medida descuenta cada flujo de efectivo a su propia tasa spot en lugar de un único rendimiento al vencimiento. Con tasas cero${\displaystyle z(t)}$y flujos de efectivo${\displaystyle C_{i}}$a veces${\displaystyle t_{i}}$, $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{n}C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u},\qquad D_{\text{FW}}\;=\;{\frac {1}{P}}\,\sum _{i=1}^{n}t_{i}\,C_{i}\,\mathrm {e} ^{-\int _{0}^{t_{i}}z(u)\,\mathrm {d} u}.}$$ Para un pequeño desplazamiento paralelo de la curva cero,${\displaystyle D_{\text{FW}}}$proporciona la respuesta de precio de primer orden. Es igual a la duración de Macaulay cuando la curva es plana y la capitalización es consistente. ^{[ 4 ] [ 3 ]}

La duración monetaria (también llamada duración en dólares) expresa la sensibilidad en unidades de precio por cada unidad de cambio en el rendimiento: $${\displaystyle {\text{Money duration}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\,.}$$ El valor del precio de un punto base (PVBP), también llamado DV01, es el cambio de precio para un movimiento paralelo de un punto base en el rendimiento: $${\displaystyle {\text{PVBP}}\;=\;{\text{DV01}}\;=\;P\times D_{\text{mod}}\times 10^{-4}\,.}$$ Los informes de cartera y riesgo a menudo indican el riesgo de tasa agregada en términos de DV01. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 4 ]}

Cuando los flujos de efectivo dependen de las tasas, los precios se toman de un modelo bajo pequeños desplazamientos ascendentes y descendentes de la curva. La duración efectiva se estima mediante una diferencia central: $${\displaystyle D_{\text{eff}}\;\approx \;{\frac {P_{-}-P_{+}}{2\,P_{0}\,\Delta y}},\qquad P_{\pm }\;=\;{\text{model price with the curve shifted by }}\pm \Delta y\,.}$$ La convexidad efectiva se informa junto con esta medida para los instrumentos afectados por opciones. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

En el caso de los instrumentos de crédito, la sensibilidad se suele medir frente a un cambio paralelo en el diferencial de crédito.${\displaystyle s}$sobre la curva de referencia, manteniendo fija la curva subyacente: $${\displaystyle D_{\text{spread}}\;=\;-\,{\frac {1}{P}}\,{\frac {\partial P}{\partial s}},\qquad {\text{SPV01}}\;=\;P\times D_{\text{spread}}\times 10^{-4}\,.}$$ Cuando la valoración utiliza un spread ajustado por opciones (OAS), la cifra reportada es la duración del OAS, estimada por pequeños cambios de bump-and-reprice del OAS dentro del modelo de precios. ^{[ 14 ] [ 10 ] [ 6 ]}

El índice de Sherman es una heurística práctica que relaciona el rendimiento de un bono o índice con su sensibilidad a las tasas de interés. Es el rendimiento anual por unidad de duración, a menudo interpretado como el aumento paralelo del rendimiento durante un año que compensaría el retorno de los ingresos. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Sea${\displaystyle y}$sea ​​el rendimiento anual (en decimal) y${\displaystyle D}$una medida de duración como la duración modificada o la duración ajustada por opciones. Una forma común es $${\displaystyle {\text{Sherman ratio}}\;=\;{\frac {y}{D}}\,.}$$ Utilizando la fórmula de cambio pequeño${\displaystyle \Delta P/P\approx -D\,\Delta y}$, el aumento paralelo de equilibrio de un año que eliminaría los ingresos es aproximadamente${\displaystyle \Delta y\approx y/D}$. Por ejemplo, un índice con rendimiento${\displaystyle 2\%}$y duración${\displaystyle 10}$tiene una proporción de${\displaystyle 0.20}$, lo que sugiere que un aumento de aproximadamente 20 puntos básicos durante un año compensaría los ingresos. ^{[ 18 ] [ 19 ]} La relación depende de la definición de rendimiento (por ejemplo, rendimiento al peor escenario o un rendimiento ajustado por opciones), de la duración elegida e ignora la convexidad, el roll-down y los cambios en el spread, por lo que es una guía aproximada más que una medida de riesgo formal . ^{[ 17 ]}

En la práctica, los rendimientos de renta fija a lo largo de un horizonte dependen no solo de la sensibilidad al precio, sino también de los ingresos y la forma de la estructura temporal . El "carry" es el ingreso que obtiene un instrumento si la curva no se mueve, y el "roll-down" es el efecto sobre el precio derivado del cambio del bono o swap a un vencimiento más corto en una curva sin cambios. ^{[ 20 ] [ 21 ]} Sea${\displaystyle y}$denotan el rendimiento anual actual y${\displaystyle D}$y${\displaystyle C}$la duración y convexidad modificadas. Sobre un horizonte pequeño${\displaystyle h}$años, una simple aproximación de retorno de horizonte es $${\displaystyle {\text{Total return}}\;\approx \;y\,h\;+\;{\text{roll-down}}\;-\;D\,\Delta y\;+\;{\tfrac {1}{2}}\,C\,(\Delta y)^{2},}$$ dónde${\displaystyle \Delta y}$es el cambio paralelo en el rendimiento relevante a lo largo del horizonte. El término de descenso depende de la pendiente local de la curva y se anula en una curva plana. ^{[ 20 ]}

Para los instrumentos de crédito, los gestores suelen medir el riesgo de diferencial con la duración multiplicada por el diferencial (DTS), definida como la duración efectiva del diferencial multiplicada por el diferencial ajustado por opciones. La DTS ajusta la exposición al diferencial según el nivel actual del diferencial y refleja mejor que los diferenciales tienden a moverse proporcionalmente en lugar de en paralelo. ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}$${\displaystyle {\text{DTS}}\;=\;D_{\text{spread}}\times {\text{spread}}\,.}$$ DTS se utiliza en la construcción de índices, límites de cartera e informes de riesgo junto con la duración del diferencial y DV01 para las tasas. ^{[ 25 ]}

Otra heurística crediticia refleja el índice de Sherman al comparar el diferencial con la duración. El “diferencial por vuelta de duración” (a veces llamado punto de equilibrio del diferencial) es $${\displaystyle {\frac {\text{spread}}{D_{\text{eff}}}}\,,}$$ interpretado como la ampliación paralela del diferencial que compensaría un año de ingresos por diferencial en una curva estática. ^{[ 26 ] [ 27 ]} Esta es una lente de valoración rápida para comparar sectores o categorías de calificación, pero ignora los efectos de migración, incumplimiento, convexidad y forma de la curva, por lo que debe leerse como una guía aproximada en lugar de un modelo de riesgo. ^{[ 27 ]}

Los gestores establecen un DV01 objetivo para una cartera y lo ajustan con instrumentos líquidos como bonos gubernamentales , futuros o swaps de tipos de interés . Luego, configuran la exposición a través de los vencimientos con DV01 de tipos de referencia para que el riesgo no se concentre en un solo punto de la curva. Las estructuras de barra y bala pueden compartir el mismo DV01 paralelo, pero difieren en convexidad y en la exposición a tipos de referencia. ^{[ 4 ] [ 13 ]}

La inmunización ajusta el valor y la duración de los activos a los de los pasivos, de modo que pequeños cambios paralelos dejan el superávit prácticamente inalterado. El descuento de cada flujo de efectivo a su propio tipo de interés al contado produce el refinamiento de Fisher-Weil para una estructura temporal determinada. Los fondos de pensiones y las aseguradoras aplican estas ideas en la gestión de activos y pasivos y supervisan las exposiciones DV01 relativas a los pasivos y a los tipos de interés clave. ^{[ 3 ] [ 28 ] [ 29 ]}

Los proveedores de índices publican la duración, la convexidad y la exposición a la tasa clave para cada índice. Estas cifras guían la replicación pasiva, la presupuestación y la atribución de riesgos, y permiten comparar directamente los DV01 de la cartera y los DV01 de la tasa clave con los de un índice de referencia elegido. Muchas metodologías calculan los DV01 de la tasa clave bajo un spread constante ajustado por opciones y observan que su suma es cercana a la duración ajustada por opciones para un movimiento paralelo. ^{[ 13 ] [ 30 ] [ 5 ]}

Los bancos miden el riesgo de tipo de interés en la cartera bancaria utilizando la sensibilidad del valor económico basada en la duración e informan sobre las exposiciones por plazo. Las normas de supervisión destacan las limitaciones de las medidas lineales ante grandes perturbaciones o perturbaciones no paralelas y exigen métricas y escenarios complementarios. Los gestores de activos divulgan el DV01 de la cartera y, cuando procede, el DV01 del spread en los informes regulatorios. ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 10 ]}

Los swaps, futuros y swaps de rendimiento total de bonos pueden aumentar o disminuir los tramos de DV01 paralelos o de tasa de referencia objetivo sin negociar los bonos subyacentes. La elección depende de la liquidez, el uso del balance y el riesgo de base entre el derivado y los flujos de efectivo cubiertos. ^{[ 33 ] [ 4 ]}

La duración es una herramienta de primer orden. Grandes fluctuaciones en las tasas, la remodelación de la curva, las opciones implícitas y los cambios en los diferenciales pueden hacer que las coberturas basadas únicamente en la duración se desvíen de sus objetivos. En esos casos, los profesionales añaden convexidad, utilizan la duración de la tasa clave y del diferencial, o recalculan el precio directamente en un modelo. ^{[ 6 ] [ 31 ]}

La aproximación de la duración proviene de un término lineal en un desarrollo de Taylor del precio en función del rendimiento. A medida que el choque crece, el error aumenta y la convexidad cobra importancia. Los profesionales añaden convexidad o recalculan el precio directamente cuando los movimientos son grandes. ^{[ 4 ]}

Los cambios del mercado suelen combinar nivel, pendiente y curvatura. Una única duración puede distorsionar el riesgo cuando la curva se modifica. La duración de la tasa clave distribuye la exposición entre vencimientos y alinea una cobertura con el movimiento observado. ^{[ 37 ] [ 32 ]}

Cuando los flujos de efectivo varían con las tasas, como en el caso de los valores rescatables o prepagables, la curva precio-rendimiento puede mostrar convexidad negativa y la duración medida depende de las opciones del modelo. La duración efectiva y la convexidad efectiva estiman la sensibilidad mediante pequeños desplazamientos ascendentes y descendentes dentro del modelo de precios. ^{[ 6 ] [ 4 ]}

Las medidas de Fisher-Weil y de tasa clave requieren una curva de tasa al contado. La elección de instrumentos, el remuestreo (bootstrapping) y la interpolación modifican los factores de descuento y, por lo tanto, las sensibilidades medidas. El uso de una sola curva tanto para la fijación de precios como para las perturbaciones mejora la consistencia interna. ^{[ 38 ] [ 30 ] [ 5 ]}

Las cifras reportadas dependen del rendimiento y la convención de capitalización, así como de si el precio es limpio o sucio. La duración del dinero es igual al precio multiplicado por la duración modificada según la convención establecida. DV01 depende de la cantidad incrementada, por ejemplo, una tasa a la par, una tasa cero o un rendimiento al vencimiento. Las comparaciones deben utilizar una convención y una unidad comunes. ^{[ 34 ] [ 30 ]}

La duración de la tasa de interés no refleja el riesgo del diferencial de crédito. La duración del diferencial y el PV01 del diferencial miden la sensibilidad a los cambios en los diferenciales de crédito con la curva subyacente fija. El riesgo de base entre el instrumento de cobertura y la exposición, por ejemplo, entre un contrato de futuros y un bono o entre swaps y bonos de diferentes emisores, puede dejar una cobertura expuesta incluso cuando el DV01 paralelo coincide. ^{[ 31 ] [ 4 ]}

Para${\displaystyle C=0}$con${\displaystyle N=mT}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;=\;T,\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {T}{1+r}},\qquad {\text{DV01}}\;=\;F\,(1+r)^{-N}\,{\frac {T}{1+r}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 4 ]}

Para${\displaystyle F=0}$y${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{annuity}}\;=\;{\frac {1}{m}}\!\left[{\frac {1+r}{r}}\;-\;{\frac {N\,q}{1-q}}\right].}$$^{[ 6 ]}

Para un bono a la par${\displaystyle C=rF}$entonces${\displaystyle P=F}$y${\displaystyle q=(1+r)^{-N}}$: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}^{\text{par}}\;=\;{\frac {1}{m}}\,{\frac {1+r}{r}}\,(1-q)\,.}$$^{[ 4 ]}

Con las mismas condiciones que las anteriores: $${\displaystyle {\text{DV01}}^{\text{par}}\;=\;F\,{\frac {1-q}{m\,r}}\times 10^{-4}\,.}$$^{[ 4 ]}

Para${\displaystyle N\to \infty }$con${\displaystyle C>0}$y${\displaystyle F=0}$: $${\displaystyle P={\frac {C}{r}},\qquad D_{\text{Mac}}={\frac {1}{m}}{\frac {1+r}{r}},\qquad D_{\text{mod}}={\frac {1}{mr}},\qquad {\text{DV01}}={\frac {P}{mr}}\times 10^{-4}.}$$^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$. Entonces $${\displaystyle S_{0}\;=\;\sum _{k=1}^{N}q^{k}\;=\;{\frac {q\,(1-q^{N})}{1-q}}\,.}$$ Esta identidad aparece en las derivaciones estándar para el precio y es útil en las implementaciones. ^{[ 8 ]}

Con${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{1}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k\,q^{k}\;=\;{\frac {q{\bigl (}1-(N+1)q^{N}+Nq^{N+1}{\bigr )}}{(1-q)^{2}}}\,.}$$ Esto admite una duración de forma cerrada para cupones de nivel. ^{[ 8 ]}

Con${\displaystyle q=(1+r)^{-1}}$: $${\displaystyle S_{2}\;=\;\sum _{k=1}^{N}k^{2}q^{k}\;=\;{\frac {q\!\left(N^{2}q^{N}-2N^{2}q^{N+1}+N^{2}q^{N+2}+2Nq^{N}-2Nq^{N+1}-q+q^{N}+q^{N+1}-1\right)}{(1-q)^{3}}}\,.}$$ Esto respalda la convexidad en forma cerrada. ^{[ 4 ]}

Utilizando las identidades anteriores para un bono de cupón fijo: $${\displaystyle C\;=\;{\frac {1}{m^{2}(1+r)^{2}\,P}}\,{\Bigl [}\,C\,(S_{1}+S_{2})\;+\;N(N+1)\,F\,(1+r)^{-N}\,{\Bigr ]}.}$$^{[ 4 ] [ 6 ]}

Para una protuberancia simétrica${\displaystyle \pm \Delta y}$al rendimiento citado: $${\displaystyle D_{\text{mod}}\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}-P_{-}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ Esta es una comprobación común de la duración analítica y subyace a la duración efectiva. ^{[ 6 ]}

Para un golpe aplicado solo en el tenor${\displaystyle \tau _{k}}$: $${\displaystyle {\text{KRD}}(\tau _{k})\;\approx \;-\,{\frac {P_{+}^{(k)}-P_{-}^{(k)}}{2\,P_{0}\,\Delta y}}\,.}$$ Esto se utiliza para informar la sensibilidad por tramo de vencimiento. ^{[ 4 ]}

Rostro${\displaystyle F=100}$, cupón${\displaystyle 20\%}$por año pagado semestralmente así${\displaystyle C=10}$rendimiento nominal${\displaystyle y=4\%}$con${\displaystyle m=2}$entonces${\displaystyle r=0.02}$, y${\displaystyle N=4}$. Precio a través de la suma de flujos de efectivo: $${\displaystyle P\;=\;\sum _{i=1}^{4}{\frac {10}{(1.02)^{i}}}\;+\;{\frac {100}{(1.02)^{4}}}\;\approx \;130.462\,.}$$ Macaulay y duración modificada: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;1.777{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {1.777}{1.02}}\;\approx \;1.743\,.}$$ DV01 por 1 pb: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;130.462\times 1.743\times 10^{-4}\;\approx \;0.0227\,.}$$

Rostro${\displaystyle F=1000}$, cupón${\displaystyle 5\%}$anualmente así${\displaystyle C=50}$rendimiento anual${\displaystyle y=6.5\%}$con${\displaystyle m=1}$entonces${\displaystyle r=0.065}$, y${\displaystyle N=5}$. Precio: $${\displaystyle P\;=\;50\sum _{t=1}^{4}{\frac {1}{(1.065)^{t}}}\;+\;{\frac {1050}{(1.065)^{5}}}\;\approx \;937.665\,.}$$ Macaulay y duración modificada: $${\displaystyle D_{\text{Mac}}\;\approx \;4.529{\text{ years}},\qquad D_{\text{mod}}\;=\;{\frac {4.529}{1.065}}\;\approx \;4.253\,.}$$ DV01 por 1 pb: $${\displaystyle {\text{DV01}}\;=\;937.665\times 4.253\times 10^{-4}\;\approx \;0.399\,.}$$

• Las formas cerradas anteriores suponen un número entero de períodos de cupón.${\displaystyle N}$Para períodos fraccionarios, calcule${\displaystyle D_{\text{Mac}}}$del cronograma de flujos de efectivo con fecha y luego aplicar${\displaystyle D_{\text{mod}}=D_{\text{Mac}}/(1+r)}$. ^{[ 6 ] [ 4 ]}
• El DV01 reportado depende de la cantidad modificada (tasa a la par, tasa cero o rendimiento al vencimiento) y de si el precio es limpio o sucio. Utilice una convención común al comparar cifras. ^{[ 4 ] [ 6 ]}