Integral del producto

Para el caso conmutativo, en la literatura se suelen utilizar tres definiciones distintas: tipo I, tipo II o geométrica , y tipo III o bigeométrica . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Estas integrales se han empleado en epidemiología (el estimador de Kaplan-Meier ) y en dinámica poblacional estocástica . La integral geométrica, junto con la derivada geométrica, es útil en el análisis de imágenes ^{[ 6 ]} y en el estudio de fenómenos de crecimiento/decaimiento ( por ejemplo , en el crecimiento económico , el crecimiento bacteriano y el decaimiento radiactivo ). ^{[ 7 ] [ 8 ]} La integral bigeométrica , junto con la derivada bigeométrica, es útil en algunas aplicaciones de fractales , ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} y en la teoría de la elasticidad en economía. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 13 ]}

El caso no conmutativo surge comúnmente en mecánica cuántica y teoría cuántica de campos . El integrando es generalmente un operador perteneciente a algún álgebra no conmutativa . En este caso, se debe tener cuidado de establecer un orden de trayectorias durante la integración. Un resultado típico es la exponencial ordenada . La expansión de Magnus proporciona una técnica para calcular la integral de Volterra. Ejemplos incluyen la expansión de Dyson , las integrales que aparecen en la expansión del producto de operadores y la línea de Wilson , una integral de producto sobre un campo de gauge. El bucle de Wilson es la traza de una línea de Wilson. La integral de producto también aparece en teoría de control , como la serie de Peano-Baker que describe transiciones de estado en sistemas lineales escritos en forma de ecuación maestra .

La integral de producto de tipo I corresponde a la definición original de Volterra . ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} Existe la siguiente relación para funciones escalares :${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$:​ $${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right).}$$

$${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),}$$ que se denomina integral geométrica . El logaritmo está bien definido si${\displaystyle f}$toma valores en números reales o complejos, o si${\displaystyle f}$Toma valores en un campo conmutativo de operadores de clase traza conmutativos . Esta definición de la integral de producto es el análogo continuo del operador de producto discreto .${\displaystyle \textstyle \prod _{i=a}^{b}}$( con${\displaystyle i,a,b\in \mathbb {Z} }$) y el análogo multiplicativo de la integral (normal/estándar/ aditiva )${\displaystyle \textstyle \int _{a}^{b}dx}$( con${\displaystyle x\in [a,b]}$⁠ ):

Es muy útil en estocástica , donde la log-verosimilitud (es decir, el logaritmo de una integral de producto de variables aleatorias independientes ) es igual a la integral del logaritmo de estas ( infinitas ) variables aleatorias : $${\displaystyle \ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.}$$

$${\displaystyle \prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),}$$ La integral de producto de tipo III se denomina integral bigeométrica .

Para el caso conmutativo, se cumplen los siguientes resultados para la integral de producto de tipo II (la integral geométrica). $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{a}^{b}c^{dx}&=c^{b-a},\\\prod _{a}^{b}x^{dx}&={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},\\\prod _{0}^{b}x^{dx}&=b^{b}{\rm {e}}^{-b},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}&=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},\\\prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}&=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx}.\end{aligned}}}$$

La integral geométrica (tipo II arriba) juega un papel central en el cálculo geométrico , ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 18 ]} que es un cálculo multiplicativo. La inversa de la integral geométrica, que es la derivada geométrica , denotada ⁠${\displaystyle f^{*}(x)}$, se define utilizando la siguiente relación: $${\displaystyle f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right).}$$

Para​${\displaystyle X}$es una variable aleatoria con distribución de probabilidad${\displaystyle F(x)}$De esto se puede concluir lo siguiente:

Teorema fundamental del cálculo

$${\displaystyle \prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},}$$

Regla del producto

$${\displaystyle (fg)^{*}=f^{*}g^{*}.}$$

Regla del cociente

$${\displaystyle (f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.}$$

Ley de los grandes números

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)}.}$$

Compárese con la ley estándar de los grandes números: $${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}{n}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\int X\,dF(x).}$$

Dado que las funciones simples generalizan las funciones escalonadas , a continuación solo consideraremos el caso especial de funciones simples que son funciones escalonadas. Esto también facilitará la comparación entre la definición de Lebesgue y la de Riemann .

Dada una función escalón${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$con una partición etiquetada$${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n},}$$ una aproximación de la "definición de Riemann" de la integral de producto de tipo I viene dada por ^{[ 19 ]}$${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k}-x_{k-1})\right].}$$

La integral del producto (de tipo I) fue definida, en términos generales, como el límite de estos productos por Ludwig Schlesinger en un artículo de 1931.

Otra aproximación de la "definición de Riemann" de la integral de producto de tipo I se define como $${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k}-x_{k-1}){\big )}.}$$

Cuando${\displaystyle f}$es una función constante , el límite del primer tipo de aproximación es igual al segundo tipo de aproximación. ^{[ 20 ]} Nótese que, en general, para una función escalón, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la partición, siempre que la partición sea un refinamiento de la partición que define la función escalón, mientras que el valor del primer tipo de aproximación sí depende de la finura de la partición, incluso cuando es un refinamiento de la partición que define la función escalón.

Resulta que ^{[ 21 ]} para cualquier función integrable en el producto ⁠${\displaystyle f}$⁠ , el límite del primer tipo de aproximación es igual al límite del segundo tipo de aproximación. Dado que, para las funciones escalonadas, el valor del segundo tipo de aproximación no depende de la finura de la partición para particiones "suficientemente finas", tiene sentido definir ^{[ 22 ]} la "integral de producto de Lebesgue (tipo I)" de una función escalonada como $${\displaystyle \prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k}-y_{k-1}){\big )},}$$ donde​${\displaystyle y_{0}<a=s_{1}<}$⁠ ⁠${\displaystyle y_{1}<\dots <y_{n-1}<}$⁠ ⁠${\displaystyle s_{n}<y_{n}=b}$⁠ es la partición etiquetada correspondiente a la función escalón ⁠${\displaystyle f}$( Por el contrario, la cantidad correspondiente no se definiría de forma inequívoca utilizando el primer tipo de aproximación).

Esto se generaliza fácilmente a espacios de medida arbitrarios . Si${\displaystyle X}$es un espacio de medida con medida ⁠${\displaystyle \mu }$⁠ , entonces para cualquier función simple integrable en el producto${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$(es decir, una combinación cónica de las funciones indicadoras para algunos conjuntos medibles disjuntos )${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$⁠ ), su integral de producto de tipo I se define como $${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},}$$ desde​${\displaystyle a_{k}}$es el valor de${\displaystyle f}$en cualquier momento de${\displaystyle A_{k}}$⁠ . En el caso especial donde ⁠${\displaystyle X=\mathbb {R} }$,​​${\displaystyle \mu }$⁠ es la medida de Lebesgue , y todos los conjuntos medibles ⁠${\displaystyle A_{k}}$⁠ son intervalos , se puede verificar que esto es igual a la definición dada anteriormente para ese caso especial. Análogo a la teoría de las integrales de Lebesgue (clásicas) , la integral de producto de tipo I de cualquier función integrable en producto ⁠${\displaystyle f}$⁠ puede escribirse como el límite de una secuencia creciente de integrales de producto de Volterra de funciones simples integrables en producto.

Tomando logaritmos de ambos lados de la definición anterior, se obtiene que para cualquier función simple integrable por producto ⁠${\displaystyle f}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln \left(\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\right)=\ln \left(\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )}\right)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\\&\quad \iff \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),\end{aligned}}}$$ donde utilizamos la definición de integral para funciones simples. Además, debido a que las funciones continuas como${\displaystyle \exp }$puede intercambiarse con límites y la integral del producto de cualquier función integrable del producto${\displaystyle f}$es igual al límite de integrales de producto de funciones simples, se deduce que la relación $${\displaystyle \prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)}$$ Generalmente se aplica a cualquier producto integrable .${\displaystyle f}$Esto generaliza claramente la propiedad mencionada anteriormente.

La integral de tipo I es multiplicativa como función de conjunto , ^{[ 23 ]} lo cual se puede demostrar utilizando la propiedad anterior. Más específicamente, dada una función integrable por producto${\displaystyle f}$Se puede definir una función de conjunto.${\displaystyle {\cal {V}}_{f}}$definiendo, para cada conjunto medible${\displaystyle B\subseteq X}$⁠ , $${\displaystyle {\cal {V}}_{f}(B){\overset {def}{=}}\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}{\overset {def}{=}}\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},}$$ dónde${\displaystyle I_{B}(x)}$denota la función indicadora de${\displaystyle B}$⁠ . Entonces, para cualesquiera dosconjuntos medibles disjuntos${\displaystyle B_{1},B_{2}}$uno tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}}$$

Esta propiedad puede contrastarse con las medidas, que son funciones de conjunto sigma-aditivas .

Sin embargo, la integral de tipo I no es multiplicativa como funcional . Dadas dos funciones integrables por producto${\displaystyle f,g}$y un conjunto medible${\displaystyle A}$⁠ , generalmente es el caso que $${\displaystyle \prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.}$$

Si${\displaystyle X}$es un espacio de medida con medida ⁠${\displaystyle \mu }$⁠ , entonces para cualquier función simple integrable en el producto${\displaystyle f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)}$(es decir, una combinación cónica de las funciones indicadoras para algunos conjuntos medibles disjuntos )${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$⁠ ), su integral de producto de tipo II se define como $${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}{\overset {def}{=}}\prod _{k=1}^{n}a_{k}^{\mu (A_{k})}.}$$

Esto puede considerarse una generalización de la definición dada anteriormente.

Tomando logaritmos de ambos lados, vemos que para cualquier función simple integrable por producto ⁠${\displaystyle f}$:​ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\\&\quad \iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),\end{aligned}}}$$ donde se utilizó la definición de la integral de Lebesgue para funciones simples. Esta observación, análoga a la ya realizada para las integrales de tipo II anteriormente, permite reducir completamente la "teoría de Lebesgue de las integrales geométricas de tipo II" a la teoría de Lebesgue de las integrales (clásicas). En otras palabras, debido a que las funciones continuas como${\displaystyle \exp }$y${\displaystyle \ln }$puede intercambiarse con límites y la integral del producto de cualquier función integrable del producto${\displaystyle f}$es igual al límite de alguna sucesión creciente de integrales de producto de funciones simples, se deduce que la relación $${\displaystyle \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)}$$ Generalmente se aplica a cualquier producto integrable .${\displaystyle f}$Esto generaliza la propiedad de las integrales geométricas mencionada anteriormente.