Exponencial ordenada

La exponencial ordenada , también llamada exponencial de camino ordenado , es una operación matemática definida en álgebras no conmutativas , equivalente a la exponencial de la integral en álgebras conmutativas . En la práctica, la exponencial ordenada se utiliza en álgebras de matrices y operadores . Es un tipo de integral de producto o integral de Volterra.

Sea A un álgebra sobre un cuerpo K , y a ( t ) un elemento de A parametrizado por los números reales,

${\displaystyle a:\mathbb {R} \to A.}$

El parámetro t en a ( t ) se suele denominar parámetro de tiempo en este contexto.

La exponencial ordenada de a se denota

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}}$

donde el término n = 0 es igual a 1 y donde${\displaystyle {\mathcal {T}}}$es el operador de ordenación temporal . Es una operación de orden superior que garantiza que la exponencial esté ordenada en el tiempo, de modo que cualquier producto de a ( t ) que aparezca en la expansión de la exponencial esté ordenado de manera que el valor de t aumente de derecha a izquierda del producto. Por ejemplo:

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$

Es necesario ordenar los datos según el tiempo, ya que los productos en el álgebra no son necesariamente conmutativos.

La operación asigna un elemento parametrizado a otro elemento parametrizado, o simbólicamente,

${\displaystyle \operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).}$

Existen diversas maneras de definir esta integral con mayor rigor.

Dado un conjunto${\displaystyle M}$donde para un${\displaystyle e\in TM}$con transformación de grupo${\displaystyle g:e\mapsto ge}$se mantiene en un punto${\displaystyle x\in M}$:

${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.}$

Aquí,${\displaystyle d}$denota diferenciación exterior y${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$es el operador de conexión (campo de formulario 1) que actúa sobre${\displaystyle e(x)}$. Al integrar la ecuación anterior se cumple (ahora,${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$es el operador de conexión expresado en una base de coordenadas)

${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$

con el operador de ordenación de rutas${\displaystyle \operatorname {P} }$que ordena los factores en el orden de la ruta${\displaystyle \gamma (t)\in M}$. Para el caso especial que${\displaystyle \operatorname {J} (x)}$es un operador antisimétrico y${\displaystyle \gamma }$es un rectángulo infinitesimal con longitudes de lado${\displaystyle |u|,|v|}$y esquinas en puntos${\displaystyle x,x+u,x+u+v,x+v,}$La expresión anterior se simplifica de la siguiente manera  :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, posee la identidad de transformación de grupo.${\displaystyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$. Si${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$es una conexión suave, que se expande por encima de la cantidad hasta el segundo orden en cantidades infinitesimales${\displaystyle |u|,|v|}$para la exponencial ordenada se obtiene la identidad con un término de corrección que es proporcional al tensor de curvatura .

• Ordenación de rutas (esencialmente el mismo concepto)
• Expansión de Magnus
• Integral del producto
• Medida de Haar
• Lista de derivadas e integrales en cálculos alternativos
• Producto indefinido
• Derivada fractal