Aproximación

Una aproximación es cualquier cosa que sea intencionalmente similar, pero no exactamente igual a otra cosa.

La palabra aproximación deriva del latín approximatus , de proximus que significa muy cerca y el prefijo ad- ( ad- antes de p se convierte en ap- por asimilación ) que significa a . ^{[ 1 ]} Palabras como aproximado , aproximadamente y aproximación se usan especialmente en contextos técnicos o científicos. En inglés cotidiano, palabras como aproximadamente o alrededor se usan con un significado similar. ^{[ 2 ]} A menudo se encuentra abreviado como aprox.

El término se puede aplicar a varias propiedades (por ejemplo, valor, cantidad, imagen, descripción) que son casi correctas, pero no exactamente; similares, pero no exactamente iguales (por ejemplo, la hora aproximada era las 10 en punto).

Aunque la aproximación se aplica con mayor frecuencia a los números , también se aplica a cosas como funciones matemáticas , formas y leyes físicas .

En ciencia, la aproximación se refiere al uso de un proceso o modelo más simple cuando el modelo correcto resulta difícil de aplicar. Un modelo aproximado se utiliza para facilitar los cálculos. Las aproximaciones también pueden emplearse cuando la información incompleta impide el uso de representaciones exactas.

El tipo de aproximación que se utilice depende de la información disponible , del grado de precisión requerido , de la sensibilidad del problema a estos datos y del ahorro (generalmente en tiempo y esfuerzo) que se puede lograr mediante la aproximación.

La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas y una parte cuantitativa del análisis funcional . La aproximación diofántica se ocupa de las aproximaciones de números reales mediante números racionales .

La aproximación suele darse cuando se desconoce o resulta difícil obtener una forma exacta o un número exacto. Sin embargo, puede existir alguna forma conocida que represente la forma real, de modo que no se encuentre una desviación significativa. Por ejemplo, 1,5 × 10⁶ ^significa que el valor real de algo que se está midiendo es 1.500.000 redondeado a la centena de millar más cercana (por lo que el valor real está entre 1.450.000 y 1.550.000); esto contrasta con la notación 1,500 × 10⁶ ^, que significa que el valor real es 1.500.000 redondeado al millar más cercano (lo que implica que el valor real está entre 1.499.500 y 1.500.500).

Las aproximaciones numéricas a veces resultan del uso de un número pequeño de cifras significativas . Es probable que los cálculos involucren errores de redondeo y otros errores de aproximación . Las tablas de logaritmos , las reglas de cálculo y las calculadoras producen respuestas aproximadas para todos los cálculos excepto los más simples. Los resultados de los cálculos informáticos normalmente son una aproximación expresada en un número limitado de cifras significativas, aunque pueden programarse para producir resultados más precisos. ^{[ 3 ]} La aproximación puede ocurrir cuando un número decimal no puede expresarse en un número finito de dígitos binarios.

Relacionado con la aproximación de funciones está el valor asintótico de una función, es decir, el valor cuando uno o más de los parámetros de una función se vuelven arbitrariamente grandes. Por ejemplo, la suma${\displaystyle k/2+k/4+k/8+\cdots +k/2^{n}}$⁠ es asintóticamente igual a k . No se utiliza una notación consistente en matemáticas y algunos textos usan ≈ para significar aproximadamente igual y ~ para significar asintóticamente igual, mientras que otros textos usan los símbolos al revés.

Tipografía

El signo de igualdad aproximada , ≈ , fue introducido (en una versión ligeramente diferente) por el matemático británico Alfred Greenhill en 1892, en su libro Aplicaciones de las funciones elípticas . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Símbolos de LaTeX

Significados típicos de los símbolos de LaTeX .

• ${\displaystyle \approx }$( \approx)  : igualdad aproximada, como${\displaystyle \pi \approx 3.14}$.
• ${\displaystyle \not \approx }$( \not\approx)  : desigualdad, a pesar de cualquier aproximación (${\displaystyle 1\not \approx 2}$).
• ${\displaystyle \simeq }$( \simeq)  : equivalencia asintótica de funciones, como${\displaystyle f(n)\simeq 3n^{2}}$.
  • De este modo,${\displaystyle \pi \simeq 3.14}$es erróneo según esta definición, a pesar de su amplio uso.
• ${\displaystyle \sim }$( \sim)  : proporcionalidad de la función; la${\displaystyle f(n)}$utilizado en \simeqes${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$.
• ${\displaystyle \cong }$( \cong)  : congruencia de figuras, como${\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A'B'C'}$.
• ${\displaystyle \eqsim }$( \eqsim)  : igual salvo una constante.
• ${\displaystyle \lessapprox }$( \lessapprox) y${\displaystyle \gtrapprox }$( \gtrapprox)  : o bien se cumple una desigualdad o bien existe una igualdad aproximada.

Unicode

Igualdades aproximadas denotadas por símbolos ondulados o punteados. ^{[ 6 ]}

La aproximación surge de forma natural en los experimentos científicos . Las predicciones de una teoría científica pueden diferir de las mediciones reales. Esto puede deberse a que existen factores en la situación real que no están incluidos en la teoría. Por ejemplo, los cálculos sencillos del movimiento en una atmósfera pueden no incluir el efecto de la resistencia del aire. En estas circunstancias, la teoría es una aproximación a la realidad. Las diferencias también pueden surgir debido a limitaciones en la técnica de medición. En este caso, la medición es una aproximación al valor real.

La historia de la ciencia demuestra que las teorías y leyes anteriores pueden ser aproximaciones a un conjunto de leyes más profundo. Según el principio de correspondencia , una nueva teoría científica debería reproducir los resultados de teorías anteriores bien establecidas en aquellos ámbitos donde funcionan las teorías antiguas. ^{[ 8 ]} La teoría antigua se convierte en una aproximación a la nueva teoría.

Algunos problemas de física son demasiado complejos para resolverlos mediante análisis directo, o bien el progreso puede verse limitado por las herramientas analíticas disponibles. Por lo tanto, incluso cuando se conoce la representación exacta, una aproximación puede proporcionar una solución suficientemente precisa, reduciendo significativamente la complejidad del problema. Los físicos suelen aproximar la forma de la Tierra a una esfera , aunque sean posibles representaciones más precisas, porque muchas características físicas (por ejemplo, la gravedad ) son mucho más fáciles de calcular para una esfera que para otras formas geométricas.

La aproximación también se utiliza para analizar el movimiento de varios planetas que orbitan una estrella. Esto es extremadamente difícil debido a las complejas interacciones de los efectos gravitacionales de los planetas entre sí. ^{[ 9 ]} Se obtiene una solución aproximada mediante iteraciones . En la primera iteración, se ignoran las interacciones gravitacionales de los planetas y se supone que la estrella está fija. Si se desea una solución más precisa, se realiza otra iteración, utilizando las posiciones y movimientos de los planetas identificados en la primera iteración, pero añadiendo una interacción gravitacional de primer orden de cada planeta sobre los demás. Este proceso puede repetirse hasta obtener una solución suficientemente precisa.

El uso de perturbaciones para corregir los errores puede proporcionar soluciones más precisas. Las simulaciones de los movimientos de los planetas y la estrella también ofrecen soluciones más precisas.

Las versiones más comunes de la filosofía de la ciencia aceptan que las mediciones empíricas son siempre aproximaciones ; no representan a la perfección lo que se está midiendo.

En la Unión Europea (UE), la «aproximación» se refiere al proceso mediante el cual la legislación de la UE se implementa e incorpora a las leyes nacionales de los Estados miembros , a pesar de las variaciones en el marco jurídico vigente en cada país. La aproximación es un requisito del proceso de preadhesión para los nuevos Estados miembros ^{[ 10 ]} y un proceso continuo cuando así lo exige una Directiva de la UE . «Aproximación» es un término clave que se suele emplear en el título de una directiva; por ejemplo, la Directiva sobre marcas comerciales del 16 de diciembre de 2015 tiene como objetivo «aproximar las leyes de los Estados miembros relativas a las marcas comerciales» ^{[ 11 ]} . La Comisión Europea describe la aproximación del derecho como «una obligación inherente a la pertenencia a la Unión Europea» ^{[ 10 ] .}

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