Relación de tolerancia

Una relación de tolerancia en una estructura algebraica${\displaystyle (A,F)}$es una relación binaria${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle A}$que cumpla las siguientes condiciones.

• ( Reflexividad )${\displaystyle a\sim a}$a pesar de${\displaystyle a\in A}$
• ( Simetría ) si${\displaystyle a\sim b}$entonces${\displaystyle b\sim a}$a pesar de${\displaystyle a,b\in A}$
• ( Compatibilidad ) para cada uno${\displaystyle n}$-operación${\displaystyle f\in F}$y${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in A}$, si${\displaystyle a_{i}\sim b_{i}}$para cada${\displaystyle i=1,\dots ,n}$entonces${\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})\sim f(b_{1},\dots ,b_{n})}$. Es decir, el conjunto${\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}}$es una subálgebra del producto directo${\displaystyle A^{2}}$de dos${\displaystyle A}$.

Una relación de congruencia es una relación de tolerancia que también es transitiva .

Una relación de tolerancia en una estructura algebraica${\displaystyle (A,F)}$es una portada${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de${\displaystyle A}$que satisface las tres condiciones siguientes. ^{[ 5 ] : 307, Teorema 3}

• Por cada${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$y${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}$, si${\displaystyle \textstyle C\subseteq \bigcup {\mathcal {S}}}$, entonces${\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq C}$.
  • En particular, no hay dos elementos distintos de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$son comparables. (Para ver esto, tome${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{D\}}$.)
• Por cada${\displaystyle S\subseteq A}$, si${\displaystyle S}$no está contenido en ningún conjunto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, entonces hay un subconjunto de dos elementos${\displaystyle \{s,t\}\subseteq S}$de tal manera que${\displaystyle \{s,t\}}$no está contenido en ningún conjunto en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.
• Por cada${\displaystyle n}$-ario${\displaystyle f\in F}$y${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}$, hay un${\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in {\mathcal {C}}}$de tal manera que${\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}$. (Tal como un${\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}$No tiene por qué ser único.)

Cada partición de${\displaystyle A}$Satisface las dos primeras condiciones, pero no a la inversa. Una relación de congruencia es una relación de tolerancia que también forma una partición de conjuntos.

Dejar${\displaystyle \sim }$ser una relación binaria de tolerancia en una estructura algebraica${\displaystyle (A,F)}$. Dejar${\displaystyle A/{\sim }}$sea ​​la familia de subconjuntos máximos${\displaystyle C\subsetae}$de tal manera que${\displaystyle c\sim d}$por cada${\displaystyle c,d\in C}$. Utilizando términos de teoría de grafos,${\displaystyle A/{\sim }}$es el conjunto de todas las camarillas máximas del grafo${\displaystyle (A,\sim )}$. Si${\displaystyle \sim }$es una relación de congruencia ,${\displaystyle A/{\sim }}$es simplemente el conjunto cociente de clases de equivalencia . Entonces${\displaystyle A/{\sim }}$es una portada de${\displaystyle A}$y satisface las tres condiciones de la definición de cobertura. (La última condición se demuestra usando el lema de Zorn ). Recíprocamente, sea${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una portada de${\displaystyle A}$y supongamos que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$forma una tolerancia en${\displaystyle A}$. Consideremos una relación binaria${\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}$en${\displaystyle A}$para qué${\displaystyle a\sim _{\mathcal {C}}b}$si y solo si${\displaystyle a,b\in C}$para algunos${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$. Entonces${\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}$es una tolerancia en${\displaystyle A}$como una relación binaria . El mapa${\displaystyle {\sim }\mapsto A/{\sim }}$es una correspondencia uno a uno entre las tolerancias como relaciones binarias y como cubiertas cuyo inverso es${\displaystyle {\mathcal {C}}\mapsto {\sim _{\mathcal {C}}}}$Por lo tanto, las dos definiciones son equivalentes. Una tolerancia es transitiva como relación binaria si y solo si es una partición como cobertura . Así, las dos caracterizaciones de las relaciones de congruencia también coinciden.

Dejar${\displaystyle (A,F)}$sea ​​una estructura algebraica y dejemos que${\displaystyle \sim }$ser una relación de tolerancia en${\displaystyle A}$. Supongamos que, para cada${\displaystyle n}$-operación${\displaystyle f\in F}$y${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }}$, hay una única${\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in A/{\sim }}$de tal manera que

${\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}$

Entonces, esto proporciona una definición natural del álgebra cociente.

${\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}$

de${\displaystyle (A,F)}$encima${\displaystyle \sim }$En el caso de las relaciones de congruencia , la condición de unicidad siempre se cumple y el álgebra cociente definida aquí coincide con la habitual.

Una diferencia principal de las relaciones de congruencia es que para una relación de tolerancia la condición de unicidad puede fallar, e incluso si no falla, el álgebra cociente puede no heredar las identidades que definen la variedad que${\displaystyle (A,F)}$pertenece a, de modo que el álgebra cociente puede dejar de ser miembro de la variedad nuevamente. Por lo tanto, para una variedad${\displaystyle {\mathcal {V}}}$de estructuras algebraicas , podemos considerar las dos condiciones siguientes. ^{[ 4 ]}

• (factor de tolerancia) para cualquier${\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}$y cualquier relación de tolerancia${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle (A,F)}$, la condición de unicidad es verdadera, por lo que el álgebra cociente${\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}$está definido.
• (factorabilidad de tolerancia fuerte) para cualquier${\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}$y cualquier relación de tolerancia${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle (A,F)}$, la condición de unicidad es verdadera, y${\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })\in {\mathcal {V}}}$.

Toda variedad que admite una fuerte tolerancia factorial también admite tolerancia factorial, pero no al revés.

Un conjunto es una estructura algebraica sin ninguna operación. En este caso, las relaciones de tolerancia son simplemente relaciones simétricas reflexivas y es trivial que la variedad de conjuntos sea fuertemente factorizable en términos de tolerancia.

En un grupo , toda relación de tolerancia es una relación de congruencia . En particular, esto es cierto para todas las estructuras algebraicas que son grupos cuando se omiten algunas de sus operaciones, por ejemplo, anillos , espacios vectoriales , módulos , álgebras booleanas , etc. ^{[ 6 ] : 261–262} Por lo tanto, las variedades de grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos y álgebras booleanas también son fuertemente factorizables por tolerancia trivialmente.

Para una relación de tolerancia${\displaystyle \sim }$en una red${\displaystyle L}$, cada conjunto en${\displaystyle L/{\sim }}$es una subred convexa de${\displaystyle L}$. Por lo tanto, para todos${\displaystyle A\in L/{\sim }}$, tenemos

${\displaystyle A=\mathop {\uparrow } A\cap \mathop {\downarrow } A}$

En particular, se cumplen los siguientes resultados.

• ${\displaystyle a\sim b}$si y solo si${\displaystyle a\vee b\sim a\wedge b}$.
• Si${\displaystyle a\sim b}$y${\displaystyle a\leq c,d\leq b}$, entonces${\displaystyle c\sim d}$.

La variedad de redes es altamente tolerable. Es decir, dada cualquier red${\displaystyle (L,\vee _{L},\wedge _{L})}$y cualquier relación de tolerancia${\displaystyle \sim }$en${\displaystyle L}$, para cada${\displaystyle A,B\in L/{\sim }}$existen únicos${\displaystyle A\vee _{L/{\sim }}B,A\wedge _{L/{\sim }}B\in L/{\sim }}$de tal manera que

${\displaystyle \{a\vee _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee _{L/{\sim }}B}$

${\displaystyle \{a\wedge _{L}b\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge _{L/{\sim }}B}$

y el álgebra cociente

${\displaystyle (L/{\sim },\vee _{L/{\sim }},\wedge _{L/{\sim }})}$

es una red de nuevo. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] : 44, Teorema 22}

En particular, podemos formar retículos cociente de retículos distributivos y retículos modulares sobre relaciones de tolerancia. Sin embargo, a diferencia del caso de las relaciones de congruencia , los retículos cociente no tienen por qué ser distributivos o modulares. En otras palabras, las variedades de retículos distributivos y retículos modulares son factorizables por tolerancia, pero no fuertemente factorizables por tolerancia. ^{[ 7 ] : 40 [ 4 ]} En realidad, toda subvariedad de la variedad de retículos es factorizable por tolerancia, y la única subvariedad fuertemente factorizable por tolerancia, aparte de sí misma, es la subvariedad trivial (que consiste en retículos de un elemento). ^{[ 7 ] : 40} Esto se debe a que todo retículo es isomorfo a un subretículo del retículo cociente sobre una relación de tolerancia de un subretículo de un producto directo de retículos de dos elementos. ^{[ 7 ] : 40, Teorema 3}