Relación de congruencia

En álgebra abstracta , una relación de congruencia (o simplemente congruencia ) es una relación de equivalencia en una estructura algebraica (como un grupo , un anillo o un espacio vectorial ) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes. ^{[ 1 ]} Toda relación de congruencia tiene una estructura cociente correspondiente , cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia ) para la relación. ^{[ 2 ]}

Definición

La definición de congruencia depende del tipo de estructura algebraica que se considere. Se pueden establecer definiciones específicas de congruencia para grupos , anillos , espacios vectoriales , módulos , semigrupos , retículos , etc. El principio común es que una congruencia es una relación de equivalencia en un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas en las clases de equivalencia .

General

La noción general de una relación de congruencia puede definirse formalmente en el contexto del álgebra universal , un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas . En este contexto, una relación $R$ en una estructura algebraica dada se dice compatible si para cada $n$ y cada uno $n$ -operación $\mu$ definido en la estructura: siempre que $a_{1}\mathrel {R} a'_{1}$ y ... y $a_{n}\mathrel {R} a'_{n}$ , entonces $\mu (a_{1},\ldots ,a_{n})\mathrel {R} \mu (a'_{1},\ldots ,a'_{n})$ .

Una relación de congruencia en la estructura se define entonces como una relación de equivalencia que también es compatible. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Ejemplos

Ejemplo básico

El ejemplo prototípico de una relación de congruencia es la congruencia módulo $n$ en el conjunto de los enteros . Para un entero positivo dado $n$ , dos números enteros $a$ y $b$ se denominan congruentes módulo $n$ , escrito

a\equiv b{\pmod {n}}

si $ab$ es divisible por $n$ (o equivalentemente si $a$ y $b$ tienen el mismo resto cuando se dividen por $n$ ).

Por ejemplo, $37$ y $57$ son congruentes módulo $10$ ,

37\equiv 57{\pmod {10}}

desde $37-57=-20$ es un múltiplo de 10, o equivalentemente ya que ambos $37$ y $57$ tener un resto de $7$ cuando se divide por $10$ .

Congruencia módulo $n$ (para un fijo $n$ ) es compatible tanto con la suma como con la multiplicación de los números enteros. Es decir,

si

a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}}

y

b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}

entonces

a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}

y

a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}

La suma y multiplicación correspondientes de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular . Desde el punto de vista del álgebra abstracta, la congruencia módulo $n$ es una relación de congruencia en el anillo de los enteros, y la aritmética módulo $n$ ocurre en el anillo cociente correspondiente .

Ejemplo: Grupos

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consta de un conjunto junto con una única operación binaria , que satisface ciertos axiomas. Si $G$ es un grupo con operaciones $\ast$ , una relación de congruencia en $G$ es una relación de equivalencia $\equiv$ sobre los elementos de $G$ satisfactorio

g_{1}\equiv g_{2}\ \ \,

y

\ \ \,h_{1}\equiv h_{2}\implies g_{1}\ast h_{1}\equiv g_{2}\ast h_{2}

a pesar de $g_{1},g_{2},h_{1},h_{2}\in G$ Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento identidad es siempre un subgrupo normal , y las demás clases de equivalencia son las demás clases laterales de este subgrupo. Juntas, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente .

Ejemplo: Anillos

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee tanto suma como multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}

y

r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}

cuando sea $r_{1}\equiv r_{2}$ y $s_{1}\equiv s_{2}$ Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene a 0 es siempre un ideal de dos lados , y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo cociente correspondiente.

Relación con los homomorfismos

Si $f:A\,\rightarrow B$ Si existe un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como un homomorfismo de grupos o una aplicación lineal entre espacios vectoriales ), entonces la relación $R$ definido por

a_{1}\,R\,a_{2}

si y solo si

f(a_{1})=f(a_{2})

es una relación de congruencia en $A$ Por el primer teorema de isomorfismo , la imagen de A bajo $f$ es una subestructura de B isomorfa al cociente de A por esta congruencia.

Por otro lado, la relación de congruencia $R$ induce un homomorfismo único $f:A\rightarrow A/R$ dado por

f(x)=\{y\mid x\,R\,y\}

.

Por lo tanto, existe una correspondencia natural entre las congruencias y los homomorfismos de cualquier estructura algebraica dada.

Congruencias de grupos, subgrupos normales e ideales.

En el caso particular de los grupos , las relaciones de congruencia se pueden describir en términos elementales de la siguiente manera: Si G es un grupo (con elemento identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria en G , entonces ~ es una congruencia siempre que:

Dado cualquier elemento a de G , a ~ a ( reflexividad );
Dados cualesquiera elementos a y b de G , si a ~ b , entonces b ~ a ( simetría );
Dados cualesquiera elementos a , b y c de G , si a ~ b y b ~ c , entonces a ~ c ( transitividad );
Dados cualesquiera elementos a , a ′, b y b ′ de G , si a ~ a ′ y b ~ b ′ , entonces a * b ~ a ′ * b ′ ;
Dados cualesquiera elementos a y a ′ de G , si a ~ a ′ , entonces a ⁻¹ ~ a ′ ⁻¹ (esto está implícito en los otros cuatro, ^{[ nota 1 ]} por lo que es estrictamente redundante).

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia .

Una congruencia ~ está determinada enteramente por el conjunto { a ∈ G | a ~ e } de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal . Específicamente, a ~ b si y solo si b ⁻¹ * a ~ e . Así que , en lugar de hablar de congruencias en grupos, la gente suele hablar en términos de subgrupos normales de ellos; de hecho, toda congruencia corresponde de forma única a algún subgrupo normal de G.

Ideales de anillos y el caso general

Un truco similar permite hablar de núcleos en la teoría de anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

Una situación más general donde este truco es posible se da con los grupos Omega (en el sentido general que permite operadores con aridad múltiple). Pero esto no se puede hacer con, por ejemplo, monoides , por lo que el estudio de las relaciones de congruencia desempeña un papel más central en la teoría de monoides.

Álgebra universal

La noción general de congruencia es particularmente útil en álgebra universal . Una formulación equivalente en este contexto es la siguiente: ^{[ 4 ]}

Una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es a la vez una relación de equivalencia en A y una subálgebra de A × A.

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, toda congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia dada ~ en A , el conjunto A / ~ de clases de equivalencia puede estructurarse de forma natural como un álgebra, el álgebra cociente . La función que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

El retículo Con ( A ) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraico .

John M. Howie describió cómo la teoría de semigrupos ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal:

En un grupo, una congruencia se determina si conocemos una única clase de congruencia, en particular si conocemos el subgrupo normal que es la clase que contiene la identidad. De manera similar, en un anillo, una congruencia se determina si conocemos el ideal que es la clase de congruencia que contiene el cero. En los semigrupos no existe tal circunstancia afortunada, y por lo tanto nos enfrentamos a la necesidad de estudiar las congruencias como tales. Más que nada, es esta necesidad la que da a la teoría de semigrupos su carácter característico. Los semigrupos son, de hecho, el primer y más simple tipo de álgebra al que deben aplicarse los métodos del álgebra universal ... ^{[ 5 ]}

Teoría de categorías

En teoría de categorías , una relación de congruencia R en una categoría C viene dada por: para cada par de objetos X , Y en C , una relación de equivalencia R → _{X , Y} en Hom( X , Y ), de modo que las relaciones de equivalencia respeten la composición de morfismos. Véase la sección Definición de categoría cociente para más detalles.

Véase también

Notas explicativas

↑ Dado que a ′⁻¹ = a ′⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′⁻¹ * a ′ * a ⁻¹ = a ⁻¹

Notas

↑ Hungerford (1974) , pág. 27
↑ Hungerford (1974) , pág. 26
↑ Barendregt (1990) , pág. 338, def. 3.1.1
1 2 Bergman (2011) , Sec. 1.5 y Ejercicio 1(a) en el Conjunto de ejercicios 1.26 (Bergman utiliza la expresión que tiene la propiedad de sustitución para ser compatible )
↑ Howie (1975) , pág. v

Referencias

Barendregt, Henk (1990). "Programación funcional y cálculo Lambda". En Jan van Leeuwen (ed.). Modelos formales y semántica . Manual de informática teórica. vol. B. Elsevier. págs. 321 a 364. ISBN 0-444-88074-7.
Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas selectos , Taylor & Francis
Horn; Johnson (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press, ISBN 0-521-38632-2(La sección 4.5 trata sobre la congruencia de matrices).
Howie, JM (1975), Introducción a la teoría de semigrupos , Academic Press
Hungerford, Thomas W. (1974), Álgebra , Springer-Verlag
Rosen, Kenneth H (2012). Matemáticas discretas y sus aplicaciones . McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.

[5] Dado que a ′⁻¹ = a ′⁻¹ * a * a ⁻¹ ~ a ′⁻¹ * a ′ * a ⁻¹ = a ⁻¹

[FOOTNOTEHungerford197427-1] Hungerford (1974) , pág. 27

[FOOTNOTEHungerford197426-2] Hungerford (1974) , pág. 26

[FOOTNOTEBarendregt1990338Def._3.1.1-3] Barendregt (1990) , pág. 338, def. 3.1.1

[FOOTNOTEBergman2011Sect._1.5_and_Exercise_1(a)_in_Exercise_Set_1.26_(Bergman_uses_the_expression_''having_the_substitution_property''_for_''being_compatible'')-4] 1 2 Bergman (2011) , Sec. 1.5 y Ejercicio 1(a) en el Conjunto de ejercicios 1.26 (Bergman utiliza la expresión que tiene la propiedad de sustitución para ser compatible )

[FOOTNOTEHowie1975v-6] Howie (1975) , pág. v

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[ nota 1 ]

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