Divisor

En matemáticas , un divisor de un número entero , también llamado factor de, es un número entero que puede multiplicarse por algún número entero para producir ^[1] En este caso, también se dice que es un múltiplo de Un número entero es divisible o divisible de manera uniforme por otro número entero si es divisor de ; esto implica que dividir por no deja resto. ${\estilo de visualización n,}$${\estilo de visualización n,}$ ${\estilo de visualización m}$${\displaystyle n.}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m.}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m}$

Un número entero es divisible por un número entero distinto de cero si existe un número entero tal que Esto se escribe como ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización k}$${\displaystyle n=km.}$

${\displaystyle m\mid n.}$

Esto puede leerse como que divide es un divisor de es un factor de o es un múltiplo de Si no divide entonces la notación es ^{[2] [3]}${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n,}$ ${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n,}$ ${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n,}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m.}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n,}$${\displaystyle m\no \mid n.}$

Hay dos convenciones, que se distinguen según si se permite que sea cero: ${\estilo de visualización m}$

• Con la convención sin restricción adicional para cada entero ^{[2] [3]}${\estilo de visualización m,}$ ${\displaystyle m\mid 0}$${\estilo de visualización m.}$
• Con la convención de que sea distinto de cero, para cada entero distinto de cero ^{[4] [5]}${\estilo de visualización m}$${\displaystyle m\mid 0}$${\estilo de visualización m.}$

Los divisores pueden ser tanto negativos como positivos, aunque a menudo el término se limita a los divisores positivos. Por ejemplo, hay seis divisores de 4: 1, 2, 4, −1, −2 y −4, pero normalmente solo se mencionarían los positivos (1, 2 y 4).

1 y −1 dividen (son divisores de) todo número entero. Todo número entero (y su negación) es divisor de sí mismo. Los números enteros divisibles por 2 se denominan pares y los números enteros no divisibles por 2 se denominan impares .

1, −1 y se conocen como divisores triviales de Un divisor de que no es un divisor trivial se conoce como divisor no trivial (o divisor estricto ^[6] ). Un entero distinto de cero con al menos un divisor no trivial se conoce como número compuesto , mientras que las unidades −1 y 1 y los números primos no tienen divisores no triviales. ${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización -n}$${\displaystyle n.}$${\estilo de visualización n}$

Existen reglas de divisibilidad que permiten reconocer ciertos divisores de un número a partir de los dígitos del número.

• 7 es divisor de 42 porque entonces podemos decir También se puede decir que 42 es divisible por 7, 42 es múltiplo de 7, 7 divide a 42 o 7 es un factor de 42.${\displaystyle 7\times 6=42,}$${\displaystyle 7\mid 42.}$
• Los divisores no triviales de 6 son 2, −2, 3, −3.
• Los divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• El conjunto de todos los divisores positivos de 60, parcialmente ordenados por divisibilidad, tiene el diagrama de Hasse :${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},}$

Hay algunas reglas elementales:

• Si y entonces es decir, la divisibilidad es una relación transitiva .${\displaystyle a\mid b}$${\estilo de visualización b\mid c,}$${\displaystyle a\mid c;}$
• Si y entonces o${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle b\mid a,}$${\estilo de visualización a=b}$${\displaystyle a=-b.}$
• Si y entonces se cumple, como también ^[a]. Sin embargo, si y entonces no siempre se cumple (por ejemplo, y pero 5 no divide a 6).${\displaystyle a\mid b}$${\displaystyle a\mid c,}$${\displaystyle a\mid (b+c)}$${\displaystyle a\mid (bc).}$${\displaystyle a\mid b}$${\estilo de visualización c\mid b,}$${\displaystyle (a+c)\mid b}$${\estilo de visualización 2\medio 6}$${\estilo de visualización 3\medio 6}$

Si y entonces ^[b] Esto se llama lema de Euclides . ${\displaystyle a\mid bc,}$${\displaystyle \mcd(a,b)=1,}$${\displaystyle a\mid c.}$

Si es un número primo y entonces o${\estilo de visualización p}$${\displaystyle p\mid ab}$${\displaystyle p\mid a}$${\displaystyle p\mid b.}$

Un divisor positivo de que es diferente de se llama${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$divisor propio o unparte alícuota de(por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1, 2 y 3). Un número que no se divide de manera uniforme, pero que deja un resto, a veces se denomina${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$parte aliquant de${\displaystyle n.}$

Un número entero cuyo único divisor propio es 1 se llama número primo . De manera equivalente, un número primo es un número entero positivo que tiene exactamente dos factores positivos: 1 y él mismo. ${\displaystyle n>1}$

Cualquier divisor positivo de es un producto de divisores primos de elevado a alguna potencia. Esto es una consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Se dice que un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores propios, deficiente si la suma de sus divisores propios es menor que y abundante si esta suma excede${\displaystyle n}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle n.}$

El número total de divisores positivos de es una función multiplicativa, lo que significa que cuando dos números y son primos entre sí , entonces Por ejemplo, ; los ocho divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42. Sin embargo, el número de divisores positivos no es una función totalmente multiplicativa: si los dos números y comparten un divisor común, entonces podría no ser cierto que La suma de los divisores positivos de es otra función multiplicativa (por ejemplo, ). Ambas funciones son ejemplos de funciones divisoras . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(n),}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \sigma (42)=96=3\times 4\times 8=\sigma (2)\times \sigma (3)\times \sigma (7)=1+2+3+6+7+14+21+42}$

Si la factorización prima de está dada por ${\displaystyle n}$

${\displaystyle n=p_{1}^{\nu _{1}}\,p_{2}^{\nu _{2}}\cdots p_{k}^{\nu _{k}}}$

entonces el número de divisores positivos de es ${\displaystyle n}$

${\displaystyle d(n)=(\nu _{1}+1)(\nu _{2}+1)\cdots (\nu _{k}+1),}$

y cada uno de los divisores tiene la forma

${\displaystyle p_{1}^{\mu _{1}}\,p_{2}^{\mu _{2}}\cdots p_{k}^{\mu _{k}}}$

donde para cada uno${\displaystyle 0\leq \mu _{i}\leq \nu _{i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k.}$

Para cada natural${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}$

Además, ^[7]

${\displaystyle d(1)+d(2)+\cdots +d(n)=n\ln n+(2\gamma -1)n+O({\sqrt {n}}),}$

donde es la constante de Euler-Mascheroni . Una interpretación de este resultado es que un entero positivo elegido al azar n tiene un número promedio de divisores de aproximadamente Sin embargo, este es un resultado de las contribuciones de números con "una cantidad anormal" de divisores . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \ln n.}$

En las definiciones que permiten que el divisor sea 0, la relación de divisibilidad convierte al conjunto de números enteros no negativos en un conjunto parcialmente ordenado que es un retículo distributivo completo . El elemento más grande de este retículo es 0 y el más pequeño es 1. La operación de encuentro ∧ está dada por el máximo común divisor y la operación de unión ∨ por el mínimo común múltiplo . Este retículo es isomorfo al dual del retículo de subgrupos del grupo cíclico infinito Z. ${\displaystyle \mathbb {N} }$

• Funciones aritméticas
• Algoritmo euclidiano
• Fracción (matemáticas)
• Factorización de números enteros
• Tabla de divisores : tabla de divisores primos y no primos del 1 al 1000
• Tabla de factores primos – Tabla de factores primos para 1–1000
• Divisor unitario