Número primo

Un número primo (o primo ) es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales menores. Un número natural mayor que 1 que no es primo se llama número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , involucran al propio 5. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto (2 × 2) en el que ambos números son menores que 4. Los primos son centrales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es un primo en sí mismo o puede factorizarse como un producto de primos que es único hasta su orden.

La propiedad de ser primo se llama primalidad . Un método simple pero lento para verificar la primalidad de un número dado , llamado división de prueba , prueba si es un múltiplo de cualquier entero entre 2 y . Los algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad de Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña posibilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Hay métodos particularmente rápidos disponibles para números de formas especiales, como los números de Mersenne . A diciembre de 2018, el número primo más grande conocido es un primo de Mersenne con 24,862,048 dígitos decimales . ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$^[update]

Existen infinitos números primos, como demostró Euclides alrededor del año 300 a. C. No se conoce ninguna fórmula sencilla que separe los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de los primos dentro de los números naturales en los grandes puede modelarse estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , demostrado a finales del siglo XIX, que dice que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relacionadas con los números primos aún no han sido resueltas. Entre ellas se encuentran la conjetura de Goldbach , según la cual todo entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , según la cual hay infinitos pares de primos que difieren en dos. Tales cuestiones impulsaron el desarrollo de varias ramas de la teoría de números, centrándose en los aspectos analíticos o algebraicos de los números. Los primos se utilizan en varias rutinas de la tecnología de la información , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. En el álgebra abstracta , los objetos que se comportan de forma generalizada como los números primos incluyen los elementos primos y los ideales primos .

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no se puede escribir como el producto de dos números naturales más pequeños. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos . ^[2] En otras palabras, es primo si los elementos no se pueden dividir en grupos más pequeños de igual tamaño de más de un elemento, ^[3] o si no es posible organizar puntos en una cuadrícula rectangular que tenga más de un punto de ancho y más de un punto de alto. ^[4] Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^[5] ya que no hay otros números que los dividan de manera uniforme (sin un resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos compuestos. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Los divisores de un número natural son los números naturales que se dividen de manera exacta. Todo número natural tiene como divisores tanto a 1 como a sí mismo. Si tiene cualquier otro divisor, no puede ser primo. Esto nos lleva a una definición equivalente de los números primos: son los números con exactamente dos divisores positivos . Esos dos son 1 y el número mismo. Como 1 solo tiene un divisor, él mismo, no es primo según esta definición. ^[6] Otra forma de expresar lo mismo es que un número es primo si es mayor que uno y si ninguno de los números se divide de manera exacta. ^[7]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$${\displaystyle n}$

Los primeros 25 números primos (todos los números primos menores que 100) son: ^[8]

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 (secuencia A000040 en la OEIS ).

Ningún número par mayor que 2 es primo porque cualquier número de este tipo puede expresarse como el producto de . Por lo tanto, todo número primo distinto de 2 es un número impar y se denomina primo impar . ^[9] De manera similar, cuando se escriben en el sistema decimal habitual , todos los números primos mayores que 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Los números que terminan con otros dígitos son todos compuestos: los números decimales que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 son pares, y los números decimales que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. ^[10]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2\times n/2}$

El conjunto de todos los números primos se denota a veces por (una P mayúscula en negrita ) ^[11] o por (una P mayúscula en negrita en pizarra ). ^[12]${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

El Papiro matemático Rhind , de alrededor de 1550 a. C., contiene expansiones fraccionarias egipcias de diferentes formas para números primos y compuestos. ^[13] Sin embargo, los primeros registros supervivientes del estudio de los números primos provienen de los antiguos matemáticos griegos , que los llamaban prōtos arithmòs ( πρῶτος ἀριθμὸς ). Los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.) prueban la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética , y muestran cómo construir un número perfecto a partir de un primo de Mersenne . ^[14] Otra invención griega, la criba de Eratóstenes , todavía se utiliza para construir listas de primos. ^{[15] [16]}

Alrededor del año 1000 d. C., el matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) descubrió el teorema de Wilson , que caracteriza a los números primos como los números que dividen de manera uniforme a . También conjeturó que todos los números perfectos pares provienen de la construcción de Euclides utilizando primos de Mersenne, pero no pudo demostrarlo. ^[17] Otro matemático islámico, Ibn al-Banna' al-Marrakushi , observó que la criba de Eratóstenes se puede acelerar considerando solo los divisores primos hasta la raíz cuadrada del límite superior. ^[16] Fibonacci llevó las innovaciones de las matemáticas islámicas a Europa. Su libro Liber Abaci (1202) fue el primero en describir la división por tanteo para probar la primalidad, nuevamente utilizando divisores solo hasta la raíz cuadrada. ^[16]${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)!+1}$

En 1640 Pierre de Fermat enunció (sin pruebas) el pequeño teorema de Fermat (más tarde demostrado por Leibniz y Euler ). ^[18] Fermat también investigó la primalidad de los números de Fermat , ^[19] y Marin Mersenne estudió los primos de Mersenne , números primos de la forma con él mismo un primo. ^[20] Christian Goldbach formuló la conjetura de Goldbach , de que todo número par es la suma de dos primos, en una carta de 1742 a Euler. ^[21] Euler demostró la conjetura de Alhazen (ahora el teorema de Euclides-Euler ) de que todos los números perfectos pares pueden construirse a partir de primos de Mersenne. ^[14] Introdujo métodos del análisis matemático en esta área en sus pruebas de la infinitud de los primos y la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos . ^[22] A principios del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron que como tiende a infinito, el número de primos hasta es asintótico a , donde es el logaritmo natural de . Una consecuencia más débil de esta alta densidad de primos fue el postulado de Bertrand , de que para cada hay un primo entre y , demostrado en 1852 por Pafnuty Chebyshev . ^[23] Las ideas de Bernhard Riemann en su artículo de 1859 sobre la función zeta esbozaron un esquema para demostrar la conjetura de Legendre y Gauss. Aunque la hipótesis de Riemann, estrechamente relacionada , sigue sin demostrarse, el esquema de Riemann fue completado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin , y el resultado ahora se conoce como el teorema de los números primos . ^[24] Otro resultado importante del siglo XIX fue el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , que afirma que ciertas progresiones aritméticas contienen infinitos números primos. ^[25]${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x/\log x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$

Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para números mayores que aquellos en los que la división por tanteo es prácticamente aplicable. Los métodos que están restringidos a formas numéricas específicas incluyen la prueba de Pépin para números de Fermat (1877), ^[26] el teorema de Proth (c. 1878), ^[27] la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (originada en 1856) y la prueba de primalidad generalizada de Lucas . ^[16]

Desde 1951, todos los primos más grandes conocidos se han encontrado utilizando estas pruebas en computadoras . ^[a] La búsqueda de primos cada vez más grandes ha generado interés fuera de los círculos matemáticos, a través de la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet y otros proyectos de computación distribuida . ^{[8] [29]} La idea de que los números primos tenían pocas aplicaciones fuera de las matemáticas puras ^[b] se hizo añicos en la década de 1970 cuando se inventaron la criptografía de clave pública y el criptosistema RSA , utilizando números primos como base. ^[32]

La creciente importancia práctica de las pruebas de primalidad y factorización computarizadas condujo al desarrollo de métodos mejorados capaces de manejar grandes cantidades de forma no restringida. ^{[15] [33] [34]} La teoría matemática de los números primos también avanzó con el teorema de Green-Tao (2004) que sostiene que existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos, y la prueba de Yitang Zhang de 2013 de que existen infinitos huecos primos de tamaño acotado. ^[35]

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban que el 1 fuera un número, ^{[36] [37]} por lo que no podían considerar su primalidad. Algunos eruditos de la tradición griega y romana posterior, incluidos Nicómaco , Jámblico , Boecio y Casiodoro , también consideraban que los números primos eran una subdivisión de los números impares, por lo que tampoco consideraban que el 2 fuera primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los demás matemáticos griegos consideraban que el 2 era primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar que el 1 no era un número. ^[36] En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar al 1 como un número, y algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^[38] A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach incluyó al 1 como primo en su correspondencia con Leonhard Euler ; ^[39] sin embargo, el propio Euler no consideraba que el 1 fuera primo. ^[40] Muchos matemáticos del siglo XIX todavía consideraban que el 1 era primo, ^[41] y Derrick Norman Lehmer incluyó al 1 en su lista de primos menores de diez millones publicada en 1914. ^[42] Las listas de primos que incluían al 1 continuaron publicándose hasta 1956. ^{[43] [44]} Sin embargo, en esta época, a principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que el 1 no debería clasificarse como un número primo. ^[41]

Si se considera que 1 es un número primo, muchas afirmaciones que involucran números primos deberían ser reformuladas de manera incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética debería ser reformulado en términos de factorizaciones en números primos mayores que 1, porque cada número tendría factorizaciones múltiples con cualquier número de copias de 1. ^[41] De manera similar, la criba de Eratóstenes no funcionaría correctamente si manejara 1 como un número primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y arrojaría solo el número único 1. ^[44] Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco se cumplen para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totiente de Euler o para la función de suma de divisores son diferentes para los números primos que para 1. ^[45] A principios del siglo XX, los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que 1 no debería figurar como primo, sino en su propia categoría especial como una " unidad ". ^[41]

Escribir un número como producto de números primos se denomina factorización prima del número. Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se llaman factores primos . El mismo factor primo puede aparecer más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo. Cuando un primo aparece varias veces, se puede utilizar la exponenciación para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior, denota el cuadrado o la segunda potencia de${\displaystyle 5.}$${\displaystyle 5^{2}}$${\displaystyle 5.}$

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general se deriva del teorema fundamental de la aritmética . ^[46] Este teorema establece que todo entero mayor que 1 puede escribirse como un producto de uno o más primos. Más fuertemente, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primos cualesquiera del mismo número tendrán el mismo número de copias de los mismos primos, aunque su orden puede diferir. ^[47] Por lo tanto, aunque hay muchas formas diferentes de encontrar una factorización utilizando un algoritmo de factorización de números enteros , todas deben producir el mismo resultado. Los primos pueden considerarse, por lo tanto, los "bloques básicos de construcción" de los números naturales. ^[48]

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primales se basan en el lema de Euclides : Si es un número primo y divide un producto de números enteros y luego divide o divide (o ambos). ^[49] Por el contrario, si un número tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces debe ser primo. ^[50]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Hay una infinidad de números primos. Otra forma de decirlo es que la secuencia

2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

La infinitud de los números primos nunca termina. Esta afirmación se conoce como el teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que la primera prueba conocida de esta afirmación se le atribuye a él. Se conocen muchas más pruebas de la infinitud de los números primos, incluida una prueba analítica de Euler , la prueba de Goldbach basada en los números de Fermat , ^{[51] la prueba} de Furstenberg utilizando la topología general , ^[52] y la prueba elegante de Kummer . ^[53]

La prueba de Euclides ^[54] muestra que toda lista finita de primos es incompleta. La idea clave es multiplicar los primos de cualquier lista dada y sumar. Si la lista consta de los primos, esto da el número ${\displaystyle 1.}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Por el teorema fundamental, tiene una factorización prima ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos. es divisible de manera exacta por cada uno de estos factores, pero tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos en la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de puede estar en la lista dada. Como no hay una lista finita de todos los primos, debe haber infinitos primos. ${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$

Los números que se forman sumando uno a los productos de los primos más pequeños se llaman números de Euclides . ^[55] Los primeros cinco de ellos son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

No se conoce ninguna fórmula eficiente para los números primos. Por ejemplo, no existe ningún polinomio no constante , incluso en varias variables, que tome solo valores primos. ^[56] Sin embargo, existen numerosas expresiones que codifican todos los primos, o solo los primos. Una fórmula posible se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^[57] También existe un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y solo si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una única fórmula con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^[56]

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de números primos provienen del teorema de Mills y un teorema de Wright . Estos afirman que existen constantes reales y tales que ${\displaystyle A>1}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural en la primera fórmula y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^[58] Aquí representa la función base , el entero más grande menor o igual que el número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar primos, ya que los primos deben generarse primero para calcular los valores de o ^[56]${\displaystyle n}$${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu .}$

Se han planteado muchas conjeturas que giran en torno a los números primos. A menudo, tienen una formulación elemental y muchas de estas conjeturas han resistido la prueba durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 aún están sin resolver. ^[59] Una de ellas es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 puede escribirse como una suma de dos primos. ^[60] A partir de 2014 , esta conjetura se ha verificado para todos los números hasta ^[61] Se han demostrado afirmaciones más débiles que esta, por ejemplo, el teorema de Vinogradov dice que todo entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos. ^[62] El teorema de Chen dice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^[63] Además, cualquier entero par mayor que 10 puede escribirse como la suma de seis primos. ^[64] La rama de la teoría de números que estudia estas cuestiones se llama teoría de números aditivos . ^[65]${\displaystyle n}$^[update]${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$

Otro tipo de problema se refiere a los huecos entre primos , las diferencias entre primos consecutivos. La existencia de huecos entre primos arbitrariamente grandes se puede ver al notar que la secuencia consiste en números compuestos, para cualquier número natural ^[66] Sin embargo, los huecos entre primos grandes ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^[67] Por ejemplo, el primer hueco entre primos de longitud 8 está entre los primos 89 y 97, ^[68] mucho más pequeño que Se conjetura que hay infinitos primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; esta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac establece de manera más general que para cada entero positivo hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en ^[69] La conjetura de Andrica , ^[69] la conjetura de Brocard , ^[70] la conjetura de Legendre , ^[71] y la conjetura de Oppermann ^[70] sugieren que las brechas más grandes entre primos de a deberían ser como máximo aproximadamente un resultado que se sabe que se sigue de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér, mucho más fuerte, establece el tamaño de brecha más grande en ^[69] Las brechas de primos se pueden generalizar a primos -tuplas , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitud y densidad son el tema de la primera conjetura de Hardy-Littlewood , que puede estar motivada por la heurística de que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con densidad dada por el teorema de los números primos. ^[72]${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 8!=40320.}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle 2k.}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}},}$${\displaystyle O((\log n)^{2}).}$${\displaystyle k}$

La teoría analítica de números estudia la teoría de números a través de la lente de las funciones continuas , los límites , las series infinitas y las matemáticas relacionadas con lo infinito y lo infinitesimal .

Esta área de estudio comenzó con Leonhard Euler y su primer resultado importante, la solución del problema de Basilea . El problema pedía el valor de la suma infinita que hoy puede reconocerse como el valor de la función zeta de Riemann . Esta función está estrechamente relacionada con los números primos y con uno de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas, la hipótesis de Riemann . Euler demostró que . ^[73] El recíproco de este número, , es la probabilidad límite de que dos números aleatorios seleccionados uniformemente de un rango grande sean primos entre sí (no tengan factores en común). ^[74]${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

La distribución de los números primos en los grandes, como la cuestión de cuántos primos son menores que un umbral grande dado, se describe mediante el teorema de los números primos , pero no se conoce ninguna fórmula eficiente para el primo -ésimo . ${\displaystyle n}$El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , en su forma básica, afirma que los polinomios lineales

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

con números enteros relativamente primos y toman infinitos valores primos. Las formas más fuertes del teorema establecen que la suma de los recíprocos de estos valores primos diverge, y que diferentes polinomios lineales con el mismo valor tienen aproximadamente las mismas proporciones de primos. Aunque se han formulado conjeturas sobre las proporciones de primos en polinomios de grado superior, siguen sin demostrarse, y se desconoce si existe un polinomio cuadrático que (para argumentos enteros) sea primo infinitamente a menudo. ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

La prueba de Euler de que hay infinitos números primos considera las sumas de los recíprocos de los primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario , existe un primo para el cual esta suma es mayor que . ^[75] Esto demuestra que hay infinitos primos, porque si hubiera un número finito de primos la suma alcanzaría su valor máximo en el primo más grande en lugar de crecer más allá de cada . La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión mediante el segundo teorema de Mertens . ^[76] A modo de comparación, la suma ${\displaystyle x}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito ya que tiende al infinito (véase el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos ocurren con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^[77] El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de los primos gemelos , ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , según la cual existen infinitos primos gemelos. ^[77]

La función de conteo de primos se define como el número de primos no mayores que . ^[78] Por ejemplo, , ya que hay cinco primos menores o iguales a 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de más rápido de lo que sería posible enumerar cada primo hasta . ^[79] El teorema de los números primos establece que es asintótico a , que se denota como ${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (11)=5}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n/\log n}$

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la razón de a la fracción de la derecha se acerca a 1 a medida que crece hasta el infinito. ^[80] Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que sea primo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en . ^[81] También implica que el º número primo es proporcional a ^[82] y, por lo tanto, que el tamaño promedio de un espacio primo es proporcional a . ^[67] Una estimación más precisa para se da mediante la integral logarítmica de desplazamiento ^[80]${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\log n}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

Una progresión aritmética es una secuencia finita o infinita de números tal que todos los números consecutivos en la secuencia tienen la misma diferencia. ^[83] Esta diferencia se llama módulo de la progresión. ^[84] Por ejemplo,

3, 12, 21, 30, 39, ...,

es una progresión aritmética infinita con módulo 9. En una progresión aritmética, todos los números tienen el mismo resto cuando se dividen por el módulo; en este ejemplo, el resto es 3. Como tanto el módulo 9 como el resto 3 son múltiplos de 3, también lo es cada elemento de la secuencia. Por lo tanto, esta progresión contiene solo un número primo, el propio 3. En general, la progresión infinita

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

puede tener más de un primo sólo cuando su resto y módulo son primos entre sí. Si son primos entre sí, el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas afirma que la progresión contiene infinitos primos. ^[85]${\displaystyle a}$${\displaystyle q}$

El teorema de Green-Tao muestra que existen progresiones aritméticas finitas arbitrariamente largas que constan únicamente de números primos. ^{[35] [86]}

Euler observó que la función

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

produce números primos para , aunque los números compuestos aparecen entre sus valores posteriores. ^{[87] [88]} La búsqueda de una explicación para este fenómeno condujo a la teoría de números algebraicos profundos de los números de Heegner y al problema del número de clase . ^[89] La conjetura de Hardy-Littlewood F predice la densidad de primos entre los valores de polinomios cuadráticos con coeficientes enteros en términos de la integral logarítmica y los coeficientes polinomiales. No se ha demostrado que ningún polinomio cuadrático tome infinitos valores primos. ^[90]${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$

La espiral de Ulam organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando espirales en cuadrados concéntricos que rodean el origen con los números primos resaltados. Visualmente, los primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^[90]

Una de las cuestiones sin resolver más famosas de las matemáticas, que data de 1859 y que forma parte de los Problemas del Premio del Milenio , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde se encuentran los ceros de la función zeta de Riemann . Esta función es una función analítica sobre los números complejos . Para los números complejos con parte real mayor que uno, es igual a una suma infinita sobre todos los números enteros y a un producto infinito sobre los números primos. ${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$

Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se llama producto de Euler . ^[91] El producto de Euler se puede derivar del teorema fundamental de la aritmética, y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^[92] Conduce a otra prueba de que hay infinitos primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad suma-producto también sería válida en , pero la suma divergiría (es la serie armónica ) mientras que el producto sería finito, una contradicción. ^[93]${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con parte real igual a 1/2. ^[94] La prueba original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con parte real igual a 1, ^{[95] [96]} aunque se han encontrado otras pruebas más elementales. ^[97] La ​​función de conteo de primos puede expresarse mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica, y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^[98] En este sentido, los ceros controlan la regularidad con la que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es verdadera, estas fluctuaciones serán pequeñas, y la distribución asintótica de los primos dada por el teorema de los números primos también se mantendrá en intervalos mucho más cortos (de longitud aproximadamente la raíz cuadrada de para intervalos cercanos a un número ). ^[96]${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

La aritmética modular modifica la aritmética habitual al utilizar únicamente los números , para un número natural llamado módulo. Cualquier otro número natural se puede mapear en este sistema reemplazándolo por su residuo después de la división por . ^[99] Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando el mismo reemplazo por el residuo en el resultado de la suma, diferencia o producto habitual de números enteros. ^[100] La igualdad de números enteros corresponde a la congruencia en aritmética modular: y son congruentes (escritos mod ) cuando tienen el mismo residuo después de la división por . ^[101] Sin embargo, en este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y solo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo como módulo, la división por es posible: , porque despejar los denominadores multiplicando ambos lados por da la fórmula válida . Sin embargo, con el módulo compuesto , la división por es imposible. No existe una solución válida para : limpiar denominadores multiplicando por hace que el lado izquierdo se convierta en mientras que el lado derecho se convierte en o . En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar divisiones significa que la aritmética modular módulo un número primo forma un cuerpo o, más específicamente, un cuerpo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo pero no un cuerpo. ^[102]${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\equiv y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 7}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 3}$

Se pueden formular varios teoremas sobre números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si (mod ), entonces (mod ). ^[103] Sumando esto sobre todas las opciones de se obtiene la ecuación ${\displaystyle a\not \equiv 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre que sea primo. La conjetura de Giuga dice que esta ecuación también es una condición suficiente para que sea primo. ^[104] El teorema de Wilson dice que un entero es primo si y solo si el factorial es congruente con módulo . Para un número compuesto esto no puede cumplirse, ya que uno de sus factores divide tanto a n como a , y por lo tanto es imposible. ^[105]${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \;n=r\cdot s\;}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$

El orden -ádico de un entero es el número de copias de en la factorización prima de . El mismo concepto se puede extender de los números enteros a los números racionales definiendo el orden -ádico de una fracción como . El valor absoluto -ádico de cualquier número racional se define entonces como . Multiplicar un entero por su valor absoluto -ádico cancela los factores de en su factorización, dejando solo los otros primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su distancia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su distancia -ádica, el valor absoluto -ádico de su diferencia. Para esta definición de distancia, dos números están cerca uno del otro (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una alta potencia de . De la misma manera que los números reales se pueden formar a partir de los números racionales y sus distancias, añadiendo valores límite adicionales para formar un cuerpo completo , los números racionales con la distancia -ádica se pueden extender a un cuerpo completo diferente, los números -ádicos . ^{[106] [107]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu _{p}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m/n}$${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |q|_{p}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle |q|_{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

This picture of an order, absolute value, and complete field derived from them can be generalized to algebraic number fields and their valuations (certain mappings from the multiplicative group of the field to a totally ordered additive group, also called orders), absolute values (certain multiplicative mappings from the field to the real numbers, also called norms),^[106] and places (extensions to complete fields in which the given field is a dense set, also called completions).^[108] The extension from the rational numbers to the real numbers, for instance, is a place in which the distance between numbers is the usual absolute value of their difference. The corresponding mapping to an additive group would be the logarithm of the absolute value, although this does not meet all the requirements of a valuation. According to Ostrowski's theorem, up to a natural notion of equivalence, the real numbers and ${\displaystyle p}$-adic numbers, with their orders and absolute values, are the only valuations, absolute values, and places on the rational numbers.^[106] The local-global principle allows certain problems over the rational numbers to be solved by piecing together solutions from each of their places, again underlining the importance of primes to number theory.^[109]

A commutative ring is an algebraic structure where addition, subtraction and multiplication are defined. The integers are a ring, and the prime numbers in the integers have been generalized to rings in two different ways, prime elements and irreducible elements. An element ${\displaystyle p}$ of a ring ${\displaystyle R}$ is called prime if it is nonzero, has no multiplicative inverse (that is, it is not a unit), and satisfies the following requirement: whenever ${\displaystyle p}$ divides the product ${\displaystyle xy}$ of two elements of ${\displaystyle R}$, it also divides at least one of ${\displaystyle x}$ or ${\displaystyle y}$. An element is irreducible if it is neither a unit nor the product of two other non-unit elements. In the ring of integers, the prime and irreducible elements form the same set,

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

In an arbitrary ring, all prime elements are irreducible. The converse does not hold in general, but does hold for unique factorization domains.^[110]

The fundamental theorem of arithmetic continues to hold (by definition) in unique factorization domains. An example of such a domain is the Gaussian integers ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$, the ring of complex numbers of the form ${\displaystyle a+bi}$ where ${\displaystyle i}$ denotes the imaginary unit and ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ are arbitrary integers. Its prime elements are known as Gaussian primes. Not every number that is prime among the integers remains prime in the Gaussian integers; for instance, the number 2 can be written as a product of the two Gaussian primes ${\displaystyle 1+i}$ and ${\displaystyle 1-i}$. Rational primes (the prime elements in the integers) congruent to 3 mod 4 are Gaussian primes, but rational primes congruent to 1 mod 4 are not.^[111] This is a consequence of Fermat's theorem on sums of two squares, which states that an odd prime ${\displaystyle p}$ is expressible as the sum of two squares, ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$, and therefore factorable as ${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$, exactly when ${\displaystyle p}$ is 1 mod 4.^[112]

Not every ring is a unique factorization domain. For instance, in the ring of numbers ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ (for integers ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$) the number ${\displaystyle 21}$ has two factorizations ${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$, where neither of the four factors can be reduced any further, so it does not have a unique factorization. In order to extend unique factorization to a larger class of rings, the notion of a number can be replaced with that of an ideal, a subset of the elements of a ring that contains all sums of pairs of its elements, and all products of its elements with ring elements. Prime ideals, which generalize prime elements in the sense that the principal ideal generated by a prime element is a prime ideal, are an important tool and object of study in commutative algebra, algebraic number theory and algebraic geometry. The prime ideals of the ring of integers are the ideals (0), (2), (3), (5), (7), (11), ... The fundamental theorem of arithmetic generalizes to the Lasker–Noether theorem, which expresses every ideal in a Noetherian commutative ring as an intersection of primary ideals, which are the appropriate generalizations of prime powers.^[113]

The spectrum of a ring is a geometric space whose points are the prime ideals of the ring.^[114] Arithmetic geometry also benefits from this notion, and many concepts exist in both geometry and number theory. For example, factorization or ramification of prime ideals when lifted to an extension field, a basic problem of algebraic number theory, bears some resemblance with ramification in geometry. These concepts can even assist with in number-theoretic questions solely concerned with integers. For example, prime ideals in the ring of integers of quadratic number fields can be used in proving quadratic reciprocity, a statement that concerns the existence of square roots modulo integer prime numbers.^[115] Early attempts to prove Fermat's Last Theorem led to Kummer's introduction of regular primes, integer prime numbers connected with the failure of unique factorization in the cyclotomic integers.^[116] The question of how many integer prime numbers factor into a product of multiple prime ideals in an algebraic number field is addressed by Chebotarev's density theorem, which (when applied to the cyclotomic integers) has Dirichlet's theorem on primes in arithmetic progressions as a special case.^[117]

In the theory of finite groups the Sylow theorems imply that, if a power of a prime number ${\displaystyle p^{n}}$ divides the order of a group, then the group has a subgroup of order ${\displaystyle p^{n}}$. By Lagrange's theorem, any group of prime order is a cyclic group, and by Burnside's theorem any group whose order is divisible by only two primes is solvable.^[118]

For a long time, number theory in general, and the study of prime numbers in particular, was seen as the canonical example of pure mathematics, with no applications outside of mathematics^[b] other than the use of prime numbered gear teeth to distribute wear evenly.^[119] In particular, number theorists such as British mathematician G. H. Hardy prided themselves on doing work that had absolutely no military significance.^[120]

This vision of the purity of number theory was shattered in the 1970s, when it was publicly announced that prime numbers could be used as the basis for the creation of public-key cryptography algorithms.^[32] These applications have led to significant study of algorithms for computing with prime numbers, and in particular of primality testing, methods for determining whether a given number is prime. The most basic primality testing routine, trial division, is too slow to be useful for large numbers. One group of modern primality tests is applicable to arbitrary numbers, while more efficient tests are available for numbers of special types. Most primality tests only tell whether their argument is prime or not. Routines that also provide a prime factor of composite arguments (or all of its prime factors) are called factorization algorithms. Prime numbers are also used in computing for checksums, hash tables, and pseudorandom number generators.

The most basic method of checking the primality of a given integer ${\displaystyle n}$ is called trial division. This method divides ${\displaystyle n}$ by each integer from 2 up to the square root of ${\displaystyle n}$. Any such integer dividing ${\displaystyle n}$ evenly establishes ${\displaystyle n}$ as composite; otherwise it is prime. Integers larger than the square root do not need to be checked because, whenever ${\displaystyle n=a\cdot b}$, one of the two factors ${\displaystyle a}$ and ${\displaystyle b}$ is less than or equal to the square root of ${\displaystyle n}$. Another optimization is to check only primes as factors in this range.^[121] For instance, to check whether 37 is prime, this method divides it by the primes in the range from 2 to ${\displaystyle {\sqrt {37}}}$, which are 2, 3, and 5. Each division produces a nonzero remainder, so 37 is indeed prime.

Although this method is simple to describe, it is impractical for testing the primality of large integers, because the number of tests that it performs grows exponentially as a function of the number of digits of these integers.^[122] However, trial division is still used, with a smaller limit than the square root on the divisor size, to quickly discover composite numbers with small factors, before using more complicated methods on the numbers that pass this filter.^[123]

Before computers, mathematical tables listing all of the primes or prime factorizations up to a given limit were commonly printed.^[124] The oldest known method for generating a list of primes is called the sieve of Eratosthenes.^[125] The animation shows an optimized variant of this method.^[126] Another more asymptotically efficient sieving method for the same problem is the sieve of Atkin.^[127] In advanced mathematics, sieve theory applies similar methods to other problems.^[128]

Some of the fastest modern tests for whether an arbitrary given number ${\displaystyle n}$ is prime are probabilistic (or Monte Carlo) algorithms, meaning that they have a small random chance of producing an incorrect answer.^[129] For instance the Solovay–Strassen primality test on a given number ${\displaystyle p}$ chooses a number ${\displaystyle a}$ randomly from ${\displaystyle 2}$ through ${\displaystyle p-2}$ and uses modular exponentiation to check whether ${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$ is divisible by ${\displaystyle p}$.^[c] If so, it answers yes and otherwise it answers no. If ${\displaystyle p}$ really is prime, it will always answer yes, but if ${\displaystyle p}$ is composite then it answers yes with probability at most 1/2 and no with probability at least 1/2.^[130] If this test is repeated ${\displaystyle n}$ times on the same number, the probability that a composite number could pass the test every time is at most ${\displaystyle 1/2^{n}}$. Because this decreases exponentially with the number of tests, it provides high confidence (although not certainty) that a number that passes the repeated test is prime. On the other hand, if the test ever fails, then the number is certainly composite.^[131] A composite number that passes such a test is called a pseudoprime.^[130]

In contrast, some other algorithms guarantee that their answer will always be correct: primes will always be determined to be prime and composites will always be determined to be composite. For instance, this is true of trial division. The algorithms with guaranteed-correct output include both deterministic (non-random) algorithms, such as the AKS primality test,^[132] and randomized Las Vegas algorithms where the random choices made by the algorithm do not affect its final answer, such as some variations of elliptic curve primality proving.^[129] When the elliptic curve method concludes that a number is prime, it provides primality certificate that can be verified quickly.^[133] The elliptic curve primality test is the fastest in practice of the guaranteed-correct primality tests, but its runtime analysis is based on heuristic arguments rather than rigorous proofs. The AKS primality test has mathematically proven time complexity, but is slower than elliptic curve primality proving in practice.^[134] These methods can be used to generate large random prime numbers, by generating and testing random numbers until finding one that is prime; when doing this, a faster probabilistic test can quickly eliminate most composite numbers before a guaranteed-correct algorithm is used to verify that the remaining numbers are prime.^[d]

The following table lists some of these tests. Their running time is given in terms of ${\displaystyle n}$, the number to be tested and, for probabilistic algorithms, the number ${\displaystyle k}$ of tests performed. Moreover, ${\displaystyle \varepsilon }$ is an arbitrarily small positive number, and log is the logarithm to an unspecified base. The big O notation means that each time bound should be multiplied by a constant factor to convert it from dimensionless units to units of time; this factor depends on implementation details such as the type of computer used to run the algorithm, but not on the input parameters ${\displaystyle n}$ and ${\displaystyle k}$.

In addition to the aforementioned tests that apply to any natural number, some numbers of a special form can be tested for primality more quickly. For example, the Lucas–Lehmer primality test can determine whether a Mersenne number (one less than a power of two) is prime, deterministically, in the same time as a single iteration of the Miller–Rabin test.^[139] This is why since 1992 (as of December 2018^[update]) the largest known prime has always been a Mersenne prime.^[140] It is conjectured that there are infinitely many Mersenne primes.^[141]

The following table gives the largest known primes of various types. Some of these primes have been found using distributed computing. In 2009, the Great Internet Mersenne Prime Search project was awarded a US$100,000 prize for first discovering a prime with at least 10 million digits.^[142] The Electronic Frontier Foundation also offers $150,000 and $250,000 for primes with at least 100 million digits and 1 billion digits, respectively.^[143]

Given a composite integer ${\displaystyle n}$, the task of providing one (or all) prime factors is referred to as factorization of ${\displaystyle n}$. It is significantly more difficult than primality testing,^[150] and although many factorization algorithms are known, they are slower than the fastest primality testing methods. Trial division and Pollard's rho algorithm can be used to find very small factors of ${\displaystyle n}$,^[123] and elliptic curve factorization can be effective when ${\displaystyle n}$ has factors of moderate size.^[151] Methods suitable for arbitrary large numbers that do not depend on the size of its factors include the quadratic sieve and general number field sieve. As with primality testing, there are also factorization algorithms that require their input to have a special form, including the special number field sieve.^[152] As of December 2019^[update] the largest number known to have been factored by a general-purpose algorithm is RSA-240, which has 240 decimal digits (795 bits) and is the product of two large primes.^[153]

Shor's algorithm can factor any integer in a polynomial number of steps on a quantum computer.^[154] However, current technology can only run this algorithm for very small numbers. As of October 2012^[update] the largest number that has been factored by a quantum computer running Shor's algorithm is 21.^[155]

Several public-key cryptography algorithms, such as RSA and the Diffie–Hellman key exchange, are based on large prime numbers (2048-bit primes are common).^[156] RSA relies on the assumption that it is much easier (that is, more efficient) to perform the multiplication of two (large) numbers ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ than to calculate ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ (assumed coprime) if only the product ${\displaystyle xy}$ is known.^[32] The Diffie–Hellman key exchange relies on the fact that there are efficient algorithms for modular exponentiation (computing ${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$), while the reverse operation (the discrete logarithm) is thought to be a hard problem.^[157]

Prime numbers are frequently used for hash tables. For instance the original method of Carter and Wegman for universal hashing was based on computing hash functions by choosing random linear functions modulo large prime numbers. Carter and Wegman generalized this method to ${\displaystyle k}$-independent hashing by using higher-degree polynomials, again modulo large primes.^[158] As well as in the hash function, prime numbers are used for the hash table size in quadratic probing based hash tables to ensure that the probe sequence covers the whole table.^[159]

Some checksum methods are based on the mathematics of prime numbers. For instance the checksums used in International Standard Book Numbers are defined by taking the rest of the number modulo 11, a prime number. Because 11 is prime this method can detect both single-digit errors and transpositions of adjacent digits.^[160] Another checksum method, Adler-32, uses arithmetic modulo 65521, the largest prime number less than ${\displaystyle 2^{16}}$.^[161] Prime numbers are also used in pseudorandom number generators including linear congruential generators^[162] and the Mersenne Twister.^[163]

Prime numbers are of central importance to number theory but also have many applications to other areas within mathematics, including abstract algebra and elementary geometry. For example, it is possible to place prime numbers of points in a two-dimensional grid so that no three are in a line, or so that every triangle formed by three of the points has large area.^[164] Another example is Eisenstein's criterion, a test for whether a polynomial is irreducible based on divisibility of its coefficients by a prime number and its square.^[165]

The concept of a prime number is so important that it has been generalized in different ways in various branches of mathematics. Generally, "prime" indicates minimality or indecomposability, in an appropriate sense. For example, the prime field of a given field is its smallest subfield that contains both 0 and 1. It is either the field of rational numbers or a finite field with a prime number of elements, whence the name.^[166] Often a second, additional meaning is intended by using the word prime, namely that any object can be, essentially uniquely, decomposed into its prime components. For example, in knot theory, a prime knot is a knot that is indecomposable in the sense that it cannot be written as the connected sum of two nontrivial knots. Any knot can be uniquely expressed as a connected sum of prime knots.^[167] The prime decomposition of 3-manifolds is another example of this type.^[168]

Beyond mathematics and computing, prime numbers have potential connections to quantum mechanics, and have been used metaphorically in the arts and literature. They have also been used in evolutionary biology to explain the life cycles of cicadas.

Fermat primes are primes of the form

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

with ${\displaystyle k}$ a nonnegative integer.^[169] They are named after Pierre de Fermat, who conjectured that all such numbers are prime. The first five of these numbers – 3, 5, 17, 257, and 65,537 – are prime,^[170] but ${\displaystyle F_{5}}$ is composite and so are all other Fermat numbers that have been verified as of 2017.^[171] A regular ${\displaystyle n}$-gon is constructible using straightedge and compass if and only if the odd prime factors of ${\displaystyle n}$ (if any) are distinct Fermat primes.^[170] Likewise, a regular ${\displaystyle n}$-gon may be constructed using straightedge, compass, and an angle trisector if and only if the prime factors of ${\displaystyle n}$ are any number of copies of 2 or 3 together with a (possibly empty) set of distinct Pierpont primes, primes of the form ${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$.^[172]

It is possible to partition any convex polygon into ${\displaystyle n}$ smaller convex polygons of equal area and equal perimeter, when ${\displaystyle n}$ is a power of a prime number, but this is not known for other values of ${\displaystyle n}$.^[173]

Beginning with the work of Hugh Montgomery and Freeman Dyson in the 1970s, mathematicians and physicists have speculated that the zeros of the Riemann zeta function are connected to the energy levels of quantum systems.^[174][175] Prime numbers are also significant in quantum information science, thanks to mathematical structures such as mutually unbiased bases and symmetric informationally complete positive-operator-valued measures.^[176][177]

The evolutionary strategy used by cicadas of the genus Magicicada makes use of prime numbers.^[178] These insects spend most of their lives as grubs underground. They only pupate and then emerge from their burrows after 7, 13 or 17 years, at which point they fly about, breed, and then die after a few weeks at most. Biologists theorize that these prime-numbered breeding cycle lengths have evolved in order to prevent predators from synchronizing with these cycles.^[179][180] In contrast, the multi-year periods between flowering in bamboo plants are hypothesized to be smooth numbers, having only small prime numbers in their factorizations.^[181]

Prime numbers have influenced many artists and writers. The French composer Olivier Messiaen used prime numbers to create ametrical music through "natural phenomena". In works such as La Nativité du Seigneur (1935) and Quatre études de rythme (1949–50), he simultaneously employs motifs with lengths given by different prime numbers to create unpredictable rhythms: the primes 41, 43, 47 and 53 appear in the third étude, "Neumes rythmiques". According to Messiaen this way of composing was "inspired by the movements of nature, movements of free and unequal durations".^[182]

In his science fiction novel Contact, scientist Carl Sagan suggested that prime factorization could be used as a means of establishing two-dimensional image planes in communications with aliens, an idea that he had first developed informally with American astronomer Frank Drake in 1975.^[183] In the novel The Curious Incident of the Dog in the Night-Time by Mark Haddon, the narrator arranges the sections of the story by consecutive prime numbers as a way to convey the mental state of its main character, a mathematically gifted teen with Asperger syndrome.^[184] Prime numbers are used as a metaphor for loneliness and isolation in the Paolo Giordano novel The Solitude of Prime Numbers, in which they are portrayed as "outsiders" among integers.^[185]

• "Prime number". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
• Caldwell, Chris, The Prime Pages at primes.utm.edu.
• Prime Numbers on In Our Time at the BBC
• Plus teacher and student package: prime numbers from Plus, the free online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge.

• Prime factors calculator can factorize any positive integer up to 20 digits.
• Fast Online primality test with factorization makes use of the Elliptic Curve Method (up to thousand-digits numbers, requires Java).
• Huge database of prime numbers
• Prime Numbers up to 1 trillion Archived 2021-02-27 at the Wayback Machine