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Grupo ordenado linealmente

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G dotado de un orden total "≤" que es invariante bajo tra...

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En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un grupo linealmente ordenado o totalmente ordenado es un grupo G dotado de un orden total "≤" que es invariante bajo traslaciones . Esto puede tener diferentes significados. Decimos que ( G , ≤) es un:

  • grupo ordenado por la izquierda si ≤ es invariante por la izquierda, es decir , a  ≤ b implica ca ≤ cb para todo a , b , c en G ,     
  • grupo ordenado por la derecha si ≤ es invariante por la derecha, es decir, a  ≤ b implica ac ≤ bc para todo a , b , c en G ,     
  • grupo biordenado si ≤ es bi-invariante, es decir, es invariante tanto a la izquierda como a la derecha.

Se dice que un grupo G es ordenable por la izquierda (o por la derecha , o biordenable ) si existe un orden invariante por la izquierda (o por la derecha, o biordenable) en G. Una condición necesaria simple para que un grupo sea ordenable por la izquierda es que no tenga elementos de orden finito; sin embargo, esta no es una condición suficiente. Es equivalente que un grupo sea ordenable por la izquierda o por la derecha; sin embargo, existen grupos ordenables por la izquierda que no son biordenables.

Definiciones adicionales

En esta sección,≤{\displaystyle \leq }es un orden invariante por la izquierda en un grupoGRAMO{\displaystyle G}con elemento de identidadmi{\displaystyle e}Todo lo dicho se aplica a órdenes invariantes por la derecha con las modificaciones obvias. Nótese que≤{\displaystyle \leq }ser invariante por la izquierda es equivalente al orden≤′{\displaystyle \leq '}definido porgramo≤′h{\displaystyle g\leq 'h}si y solo sih−1≤gramo−1{\displaystyle h^{-1}\leq g^{-1}}ser invariante por la derecha. En particular, que un grupo sea ordenable por la izquierda es lo mismo que ser ordenable por la derecha.

En analogía con los números ordinarios, llamamos elementogramo≠mi{\displaystyle g\not =e}de un grupo ordenado positivo simi≤gramo{\displaystyle e\leq g}El conjunto de elementos positivos en un grupo ordenado se llama cono positivo , y a menudo se denota conGRAMO+{\displaystyle G_{+}}; la notación ligeramente diferenteGRAMO+{\displaystyle G^{+}}se utiliza para el cono positivo junto con el elemento identidad. [ 1 ]

El cono positivoGRAMO+{\displaystyle G_{+}}caracteriza el orden≤{\displaystyle \leq }; en efecto, por invariancia izquierda vemos quegramo≤h{\displaystyle g\leq h}si y solo sigramo−1h∈GRAMO+{\displaystyle g^{-1}h\in G_{+}}. De hecho, un grupo ordenado por la izquierda puede definirse como un grupoGRAMO{\displaystyle G}junto con un subconjuntoPAG{\displaystyle P}que cumplen las dos condiciones que:

  1. paragramo,h∈PAG{\displaystyle g,h\in P}también tenemosgramoh∈PAG{\displaystyle gh\in P};
  2. dejarPAG−1={gramo−1∣gramo∈PAG}{\displaystyle P^{-1}=\{g^{-1}\mid g\in P\}}, entoncesGRAMO{\displaystyle G}es la unión disjunta dePAG,PAG−1{\displaystyle P,P^{-1}}y{mi}{\displaystyle \{e\}}.

El pedido≤PAG{\displaystyle \leq _{P}}asociado conPAG{\displaystyle P}se define porgramo≤PAGh⇔gramo−1h∈PAG{\displaystyle g\leq _{P}h\Leftrightarrow g^{-1}h\in P}; la primera condición equivale a la invariancia izquierda y la segunda a que el orden esté bien definido y sea total. El cono positivo de≤PAG{\displaystyle \leq _{P}}esPAG{\displaystyle P}.

El orden invariante por la izquierda≤{\displaystyle \leq }es bi-invariante si y solo si es invariante por conjugación, es decir sigramo≤h{\displaystyle g\leq h}entonces para cualquierincógnita∈GRAMO{\displaystyle x\in G}tenemosincógnitagramoincógnita−1≤incógnitahincógnita−1{\displaystyle xgx^{-1}\leq xhx^{-1}}Asimismo, esto equivale a que el cono positivo sea estable bajo automorfismos internos .

Sia∈GRAMO{\displaystyle a\in G}, entonces el valor absoluto dea{\displaystyle a}, denotado por|a|{\displaystyle |a|}, se define como:|a|:={a,si a≥0,a−1,de lo contrario.{\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\text{si }}a\geq 0,\\a^{-1},&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}} Si además el grupoGRAMO{\displaystyle G}es abeliano , entonces para cualquiera,b∈GRAMO{\displaystyle a,b\in G}Se satisface una desigualdad triangular :|a+b|≤|a|+|b|{\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}. [ 2 ]

Ejemplos

Cualquier grupo ordenable por la izquierda o por la derecha es libre de torsión , es decir, no contiene elementos de orden finito aparte de la identidad. Por el contrario, FW Levi demostró que un grupo abeliano libre de torsión es biordenable; [ 3 ] esto sigue siendo cierto para grupos nilpotentes [ 4 ] pero existen grupos finitamente presentados y libres de torsión que no son ordenables por la izquierda.

grupos ordenados arquimedianos

Otto Hölder demostró que todo grupo arquimediano (un grupo biordenado que satisface una propiedad arquimediana ) es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo de los números reales ( Fuchs & Salce 2001 , p. 61) . Si escribimos el grupo arquimediano lo multiplicativamente, esto se puede demostrar considerando la completación de Dedekind . GRAMO^{\displaystyle {\widehat {G}}}del cierre de un grupo lo bajonorte{\displaystyle n}raíces n. Dotamos a este espacio con la topología usual de un orden lineal, y entonces se puede demostrar que para cadagramo∈GRAMO^{\displaystyle g\in {\widehat {G}}}los mapas exponencialesgramo⋅:(R,+)→(GRAMO^,⋅):límiteiqi∈Q↦límiteigramoqi{\displaystyle g^{\cdot }:(\mathbb {R} ,+)\to ({\widehat {G}},\cdot ):\lim _{i}q_{i}\in \mathbb {Q} \mapsto \lim _{i}g^{q_{i}}}son isomorfismos de grupos topológicos bien definidos que preservan o invierten el orden . Completar un grupo lo puede ser difícil en el caso no arquimediano. En estos casos, se puede clasificar un grupo por su rango , que está relacionado con el tipo de orden de la secuencia más grande de subgrupos convexos.

Otros ejemplos

Los grupos libres son ordenables por la izquierda. De manera más general, esto también se aplica a los grupos de Artin de ángulo recto . [ 5 ] Los grupos de Braid también son ordenables por la izquierda. [ 6 ]

El grupo dado por la presentación⟨a,b|a2ba2b−1,b2ab2a−1⟩{\displaystyle \langle a,b|a^{2}ba^{2}b^{-1},b^{2}ab^{2}a^{-1}\rangle }es libre de torsión pero no ordenable por la izquierda; [ 7 ] tenga en cuenta que es un grupo cristalográfico tridimensional (puede realizarse como el grupo generado por dos medias vueltas deslizadas con ejes ortogonales y la misma longitud de traslación), y es el mismo grupo que se demostró que es un contraejemplo a la conjetura de la unidad . Más generalmente, el tema de la ordenabilidad de los grupos de 3-variedades es interesante por su relación con varios invariantes topológicos. [ 8 ] Existe un grupo de 3-variedades que es ordenable por la izquierda pero no biordenable [ 9 ] (de hecho, no satisface la propiedad más débil de ser localmente indicable).

Los grupos ordenables por la izquierda también han atraído interés desde la perspectiva de los sistemas dinámicos, ya que se sabe que un grupo numerable es ordenable por la izquierda si y solo si actúa sobre la recta real mediante homeomorfismos. [ 10 ] Los no ejemplos relacionados con este paradigma son los retículos en grupos de Lie de rango superior ; se sabe que (por ejemplo) los subgrupos de índice finito enSLnorte(Z){\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}no son ordenables por la izquierda; [ 11 ] en 2020 se anunció una amplia generalización de esto. [ 12 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Deroin, Navas & Rivas 2014 , 1.1.1.
  2. ↑ Para grupos abelianos, véase la definición 6 en Melnikov, Alexander G. (2010). Computable ordered abelian groups and fields . Programs, proofs, processes. 6th conference on computability in Europe, CiE 2010. Lecture Notes in Computer Science. Vol.  6158. Ponta Delgada, Azores, Portugal: Springer. pp. 321–330 . 
  3. ↑ Levi 1942 .
  4. ↑ Deroin, Navas & Rivas 2014 , 1.2.1.
  5. ↑ Duchamp, Gérard; Thibon, Jean-Yves (1992). "Ordenaciones simples para grupos parcialmente conmutativos libres". International Journal of Algebra and Computation . 2 (3): 351– 355. doi : 10.1142/S0218196792000219 . Zbl 0772.20017 . 
  6. ^ Dehornoy, Patricio; Dynnikov, Iván; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2002). ¿Por qué se pueden pedir las trenzas? . París: Société Mathématique de France. pag. xiii + 190. ISBN  2-85629-135-X.
  7. ↑ Deroin, Navas & Rivas 2014 , 1.4.1.
  8. ^ Boyer, Steven; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2005). "Grupos de 3 colectores que se pueden pedir" . Anales del Instituto Fourier . 55 (1): 243– 288. arXiv : matemáticas/0211110 . doi : 10.5802/aif.2098 . Zbl 1068.57001 . 
  9. ↑ Bergman, George (1991). "Grupos ordenables por la derecha que no son localmente indicables" . Pacific Journal of Mathematics . 147 (2): 243– 248. doi : 10.2140/pjm.1991.147.243 . Zbl 0677.06007 . 
  10. ↑ Deroin, Navas y Rivas 2014 , Proposición 1.1.8.
  11. ↑ Witte, Dave (1994). "Los grupos aritméticos de rango \(\mathbb{Q}\) superior no pueden actuar sobre \(1\)-variedades". Actas de la Sociedad Matemática Americana . 122 (2): 333– 340. doi : 10.2307/2161021 . JSTOR 2161021 . Zbl 0818.22006 .  
  12. ↑ Deroin, Bertrand; Hurtado, Sebastian (2020). "No ordenabilidad izquierda de retículos en grupos de Lie semisimples de rango superior". arXiv : 2008.10687 [ math.GT ].

Referencias

  • Deroin, Bertrand; Navas, Andrés; Rivas, Cristóbal (2014). "Grupos, órdenes y dinámicas". arXiv : 1408.5805 [ matemáticas.GT ].
  • Levi, FW (1942), "Grupos ordenados.", Proc. Indian Acad. Sci. , A16 (4) 256: 256– 263, doi : 10.1007/BF03174799 , S2CID 198139979 
  • Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715 
  • Ghys, É. (2001), "Grupos que actúan sobre el círculo", L'Enseignement Mathématique , 47 : 329– 407
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