Teorema de incrustación de Hahn

En matemáticas , especialmente en el área del álgebra abstracta que trata sobre estructuras ordenadas en grupos abelianos , el teorema de inmersión de Hahn proporciona una descripción simple de todos los grupos abelianos linealmente ordenados . Recibe su nombre de Hans Hahn . ^{[ 1 ]}

El teorema establece que todo grupo abeliano linealmente ordenado G puede incrustarse como un subgrupo ordenado del grupo aditivo.${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$dotado de un orden lexicográfico , donde${\displaystyle \mathbb {R} }$es el grupo aditivo de los números reales (con su orden estándar), Ω es el conjunto de clases de equivalencia arquimedianas de G , y${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$es el conjunto de todas las funciones de Ω a${\displaystyle \mathbb {R} }$que desaparecen fuera de un conjunto bien ordenado .

Sea 0 el elemento identidad de G. Para cualquier elemento no nulo g de G , exactamente uno de los elementos g o −g es mayor que 0; denotemos este elemento por | g |. Dos elementos no nulos g y h de G son arquimedianos equivalentes si existen números naturales N y M tales que N | g | > | h | y M | h | > | g |. Intuitivamente, esto significa que ni g ni h son "infinitesimales" con respecto al otro. El grupo G es arquimediano si todos los elementos no nulos son arquimedianos equivalentes. En este caso, Ω es un conjunto unitario , por lo que    ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\Omega }}$es simplemente el grupo de los números reales. Entonces, el teorema de incrustación de Hahn se reduce al teorema de Hölder , que establece que un grupo abeliano linealmente ordenado es arquimediano si y solo si es un subgrupo del grupo aditivo ordenado de los números reales.

Gravett (1956) ofrece una declaración y demostración claras del teorema. ^{[ 2 ]} Los trabajos de Clifford (1954) ^{[ 3 ]} y Hausner y Wendel (1952) ^{[ 4 ]} proporcionan otra demostración. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Véase también Fuchs y Salce (2001 , p. 62) . 

• grupo arquimediano

• Fuchs, László; Salce, Luigi (2001), Modules over non-Noetherian domains , Mathematical Surveys and Monographs, vol.  84, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-1963-0, MR 1794715 
• Ehrlich, Philip (1995), "Hahn's "Über die nichtarchimedischen Grössensysteme" and the Origins of the Modern Theory of Magnitudes and Numbers to Measure Them", en Hintikka, Jaakko (ed.), From Dedekind to Gödel: Essays on the Development of the Foundations of Mathematics (PDF) , Kluwer Academic Publishers, pp. 165–213 , archivado del original (PDF) el 27-10-2014 , recuperado el 27-03-2015. 
• Hahn, H. (1907), "Über die nichtarchimedischen Größensysteme.", Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien, Mathematisch - Naturwissenschaftliche Klasse (Wien. Ber.) (en alemán), 116 : 601– 655