Klaus Roth

Roth nació en el seno de una familia judía en Breslau , Prusia , el 29 de octubre de 1925. Sus padres se instalaron con él en Londres para escapar de la persecución nazi en 1933, y fue criado y educado en el Reino Unido. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Su padre, abogado, había estado expuesto a gases venenosos durante la Primera Guerra Mundial y falleció cuando Roth aún era joven. Roth fue alumno de la St Paul's School de Londres de 1939 a 1943, y junto con el resto de la escuela fue evacuado de Londres a Easthampstead Park durante el Blitz . En la escuela, era conocido por su habilidad tanto en ajedrez como en matemáticas. Intentó unirse al Cuerpo de Entrenamiento Aéreo , pero fue rechazado durante algunos años por ser alemán y luego por carecer de la coordinación necesaria para ser piloto. ^{[ 2 ]}

Roth estudió matemáticas en Peterhouse, Cambridge , y jugó en el primer tablero del equipo de ajedrez de Cambridge, ^{[ 2 ]} finalizando en 1945. ^{[ 3 ]} A pesar de su habilidad en matemáticas, solo obtuvo honores de tercera clase en el Tripos Matemático , debido a su escasa capacidad para realizar exámenes. Su tutor en Cambridge, John Charles Burkill , no apoyaba que Roth continuara en matemáticas, recomendándole en cambio que aceptara "algún trabajo comercial con sesgo estadístico". ^{[ 2 ]} En cambio, se convirtió brevemente en profesor de escuela en Gordonstoun , entre la finalización de sus estudios en Cambridge y el inicio de sus estudios de posgrado. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Mientras estuvo en Gordonstoun, se convirtió en compañero habitual de ajedrez de Robert Forbes Combe , quien ganó el campeonato británico al año siguiente. ^{[ 2 ]}

Por recomendación de Harold Davenport , fue admitido en 1946 en un programa de maestría en matemáticas en el University College London , donde trabajó bajo la supervisión de Theodor Estermann . ^{[ 2 ]} Completó allí una maestría en 1948 y un doctorado en 1950. ^{[ 3 ]} Su disertación fue «Demostración de que casi todos los enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y una cuarta potencia» . ^{[ 4 ]}

Al obtener su maestría en 1948, Roth se convirtió en profesor asistente en el University College London, y en 1950 fue ascendido a profesor titular. ^{[ 5 ]} Sus contribuciones más significativas, sobre aproximación diofántica, secuencias libres de progresión y discrepancia, se publicaron a mediados de la década de 1950, y en 1958 recibió la Medalla Fields, el máximo galardón para los matemáticos. ^{[ 2 ] [ 6 ]} Sin embargo, no fue hasta 1961 que fue ascendido a catedrático. ^{[ 1 ]} Durante este período, continuó trabajando estrechamente con Harold Davenport. ^{[ 2 ]}

Realizó estancias sabáticas en el Instituto Tecnológico de Massachusetts a mediados de la década de 1950 y mediados de la de 1960, y consideró seriamente la posibilidad de emigrar a Estados Unidos. Walter Hayman y Patrick Linstead contrarrestaron esta posibilidad, que veían como una amenaza para las matemáticas británicas, ofreciéndole una cátedra de matemáticas puras en el Imperial College de Londres , y Roth aceptó la cátedra en 1966. ^{[ 2 ]} Mantuvo este puesto hasta su jubilación oficial en 1988. ^{[ 1 ]} Permaneció en el Imperial College como profesor visitante hasta 1996. ^{[ 3 ]}

Las clases de Roth solían ser muy claras, pero a veces podían ser erráticas. ^{[ 2 ]} El Proyecto de Genealogía Matemática lo menciona como el único estudiante de doctorado que tuvo, ^{[ 4 ]} pero uno de ellos, William Chen, quien continuó el trabajo de Roth en teoría de la discrepancia, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Australiana y jefe del departamento de matemáticas de la Universidad Macquarie . ^{[ 7 ]}

En 1955, Roth se casó con Mélèk Khaïry, quien había llamado su atención cuando era estudiante en su primera clase; Khaïry era hija del senador egipcio Khaïry Pacha. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Ella llegó a trabajar para el departamento de psicología del University College London, donde publicó investigaciones sobre los efectos de las toxinas en ratas. ^{[ 8 ]} Al jubilarse Roth, se mudaron a Inverness ; Roth dedicó una habitación de su casa al baile latino, un interés que compartían. ^{[ 2 ] [ 9 ]} Khaïry murió en 2002, y Roth murió en Inverness el 10 de noviembre de 2015 a la edad de 90 años. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} No tuvieron hijos, y Roth dedicó la mayor parte de su patrimonio, más de un millón de libras, a dos organizaciones benéficas de salud "para ayudar a las personas mayores y enfermas que viven en la ciudad de Inverness". Envió la Medalla Fields con un legado menor a Peterhouse. ^{[ 10 ]}

El tema de la aproximación diofántica busca aproximaciones precisas de números irracionales mediante números racionales . La cuestión de cuán precisamente se podían aproximar los números algebraicos se conoció como el problema de Thue-Siegel, después de los avances previos en esta cuestión por parte de Axel Thue y Carl Ludwig Siegel . La precisión de la aproximación se puede medir mediante el exponente de aproximación de un número.${\displaystyle x}$, definido como el número más grande${\displaystyle e}$de tal manera que${\displaystyle x}$tiene infinitas aproximaciones racionales${\displaystyle p/q}$con${\displaystyle |xp/q|<1/q^{e}}$. Si el exponente de aproximación es grande, entonces${\displaystyle x}$tiene aproximaciones más precisas que un número cuyo exponente es menor. El exponente de aproximación más pequeño posible es dos: incluso los números más difíciles de aproximar pueden aproximarse con exponente dos usando fracciones continuas simples . ^{[ 3 ] [ 6 ]} Antes del trabajo de Roth, se creía que los números algebraicos podían tener un exponente de aproximación mayor, relacionado con el grado del polinomio que define el número. ^{[ 2 ]}

En 1955 , Roth publicó lo que hoy se conoce como el teorema de Roth , resolviendo por completo esta cuestión. Su teorema refutó la supuesta relación entre el exponente de aproximación y el grado, y demostró que, en términos del exponente de aproximación, los números algebraicos son los números irracionales que se aproximan con menor precisión. Más precisamente, demostró que para los números algebraicos irracionales, el exponente de aproximación es siempre exactamente dos. ^{[ 3 ]} En una reseña de la obra de Roth presentada por Harold Davenport al Congreso Internacional de Matemáticos en 1958, cuando Roth recibió la Medalla Fields, Davenport calificó este resultado como el "mayor logro" de Roth. ^{[ 6 ]}

Otro resultado llamado " teorema de Roth ", de 1953 , pertenece a la combinatoria aritmética y se refiere a secuencias de enteros sin tres en progresión aritmética . Estas secuencias habían sido estudiadas en 1936 por Paul Erdős y Pál Turán , quienes conjeturaron que debían ser dispersas. ^{[ 11 ] [ a ]} ​​Sin embargo, en 1942, Raphaël Salem y Donald C. Spencer construyeron subconjuntos libres de progresión de los números de${\displaystyle 1}$a${\displaystyle n}$de tamaño proporcional a${\displaystyle n^{1-\varepsilon }}$, por cada${\displaystyle \varepsilon >0}$. ^{[ 12 ]}

Roth reivindicó a Erdős y Turán al demostrar que no es posible que el tamaño de dicho conjunto sea proporcional a${\displaystyle n}$Todo conjunto denso de enteros contiene una progresión aritmética de tres términos. Su demostración utiliza técnicas de la teoría analítica de números, incluido el método del círculo de Hardy-Littlewood, para estimar el número de progresiones en una secuencia dada y mostrar que, cuando la secuencia es suficientemente densa, este número es distinto de cero. ^{[ 2 ] [ 13 ]}

Otros autores reforzaron posteriormente la cota de Roth sobre el tamaño de los conjuntos libres de progresiones. ^{[ 14 ]} Un fortalecimiento en una dirección diferente, el teorema de Szemerédi , muestra que los conjuntos densos de enteros contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. ^{[ 15 ]}

Aunque el trabajo de Roth sobre la aproximación diofántica le valió el mayor reconocimiento, fue su investigación sobre irregularidades de distribución la que (según un obituario de William Chen y Bob Vaughan ) le enorgulleció más. ^{[ 2 ]} Su artículo de 1954 sobre este tema sentó las bases de la teoría moderna de la discrepancia . Se refiere a la ubicación de${\displaystyle n}$puntos en un cuadrado unitario de manera que, para cada rectángulo delimitado entre el origen y un punto del cuadrado, el área del rectángulo se aproxima bien por el número de puntos en él. ^{[ 2 ]}

Roth midió esta aproximación mediante la diferencia al cuadrado entre el número de puntos y${\displaystyle n}$veces el área, y demostró que para un rectángulo elegido al azar el valor esperado de la diferencia al cuadrado es logarítmico en${\displaystyle n}$Este resultado es el mejor posible y mejoró significativamente una cota anterior sobre el mismo problema obtenida por Tatyana Pavlovna Ehrenfest . ^{[ 16 ]} A pesar del trabajo previo de Ehrenfest y Johannes van der Corput sobre el mismo problema, Roth era conocido por jactarse de que este resultado "inició un tema". ^{[ 2 ]}

Algunos de los primeros trabajos de Roth incluyeron un artículo de 1949 sobre sumas de potencias , que mostraba que casi todos los enteros positivos podían representarse como una suma de un cuadrado, un cubo y una cuarta potencia, y un artículo de 1951 sobre las brechas entre números libres de cuadrados , descrito como "bastante sensacional" y "de considerable importancia" respectivamente por Chen y Vaughan. ^{[ 2 ]} Su conferencia inaugural en el Imperial College trató sobre la gran criba : acotar el tamaño de conjuntos de enteros de los cuales se han prohibido muchas clases de congruencia de números módulo números primos . ^{[ 17 ]} Roth había publicado previamente un artículo sobre este problema en 1965 .

Otro de los intereses de Roth fue el problema del triángulo de Heilbronn , que consiste en colocar puntos en un cuadrado para evitar triángulos de área pequeña. Su artículo de 1951 sobre el problema fue el primero en demostrar una cota superior no trivial del área que se puede lograr. Finalmente publicó cuatro artículos sobre este problema, el último en 1976. ^{[ 18 ]} Roth también hizo un progreso significativo en el empaquetamiento de cuadrados en un cuadrado . Si los cuadrados unitarios se empaquetan en un${\displaystyle s\times s}$cuadrado de la manera obvia, paralela al eje, entonces para valores de${\displaystyle s}$que están justo por debajo de un número entero, casi${\displaystyle 2s}$El área puede quedar descubierta. Después de que Paul Erdős y Ronald Graham demostraran que un empaque inclinado más inteligente podría dejar un área significativamente más pequeña, solo${\displaystyle O(s^{7/11})}$, ^{[ 19 ]} Roth y Bob Vaughan respondieron con un artículo de 1978 que demostraba la primera cota inferior no trivial del problema. Como demostraron, para algunos valores de${\displaystyle s}$, el área no cubierta debe ser al menos proporcional a${\displaystyle {\sqrt {s}}}$. ^{[ 2 ] [ 20 ]}

En 1966 , Heini Halberstam y Roth publicaron su libro Sequences , sobre secuencias de enteros . Inicialmente planeado como el primero de una obra de dos volúmenes, sus temas incluían las densidades de sumas de secuencias, límites en el número de representaciones de enteros como sumas de elementos de secuencias, densidad de secuencias cuyas sumas representan todos los enteros, teoría de cribas y el método probabilístico , y secuencias en las que ningún elemento es múltiplo de otro . ^{[ 21 ]} Una segunda edición se publicó en 1983. ^{[ 22 ]}

• Roth, KF (1949). "Demostración de que casi todos los enteros positivos son sumas de un cuadrado, un cubo positivo y una cuarta potencia". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 24 : 4–13 . doi : 10.1112/jlms/s1-24.1.4 . MR 0028336. Zbl 0032.01401 .  
• Roth, KF (1951a). "Sobre un problema de Heilbronn". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 26 (3): 198– 204. doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.198 . MR 0041889 . Zbl 0043.16303 .  
• Roth, KF (1951b). "Sobre las brechas entre los números libres de cuadrados". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 26 (4): 263– 268. doi : 10.1112/jlms/s1-26.4.263 . MR 0043119 . Zbl 0043.04802 .  
• Roth, KF (1953). "Sobre ciertos conjuntos de enteros". Journal of the London Mathematical Society . Segunda serie. 28 : 104–109 . doi : 10.1112/jlms/s1-28.1.104 . MR 0051853. Zbl 0050.04002 .  
• Roth, KF (1954). "Sobre las irregularidades de la distribución". Mathematika . 1 (2): 73– 79. doi : 10.1112/S0025579300000541 . MR 0066435 . Zbl 0057.28604 .  
• Roth, KF (1955). "Aproximaciones racionales a números algebraicos". Mathematika . 2 : 1– 20, 168. doi : 10.1112/S0025579300000644 . MR 0072182 . Zbl 0064.28501 .  
• Roth, KF (1965). " Sobre los grandes tamices de Linnik y Rényi". Mathematika . 12 : 1–9 . doi : 10.1112/S0025579300005088 . MR 0197424. Zbl 0137.25904 .  
• Roth, KF (1976). "Desarrollos en el problema del triángulo de Heilbronn" . Advances in Mathematics . 22 (3): 364– 385. doi : 10.1016/0001-8708(76)90100-6 . MR 0429761. Zbl 0338.52005 .  
• Roth, KF; Vaughan, RC (1978). "Ineficiencia en el empaquetamiento de cuadrados con cuadrados unitarios" . Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 24 (2): 170– 186. doi : 10.1016/0097-3165(78)90005-5 . MR 0487806. Zbl 0373.05026 .  

• Halberstam, Heini ; Roth, Klaus Friedrich (1966). Secuencias . Londres: Clarendon Press.^{[ 21 ]} Una segunda edición fue publicada en 1983 porSpringer-Verlag. ^{[ 22 ]}