Número de Liouville

En teoría de números , un número de Liouville es un número real.${\displaystyle x}$con la propiedad de que, para cada entero positivo${\displaystyle n}$, existe un par de enteros${\displaystyle (p,q)}$con${\displaystyle q>1}$de tal manera que

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

La desigualdad implica que los números de Liouville poseen una excelente secuencia de aproximaciones de números racionales . En 1844, Joseph Liouville demostró una cota que muestra que existe un límite a la precisión con la que los números algebraicos pueden ser aproximados por números racionales, y definió los números de Liouville específicamente de manera que tuvieran aproximaciones racionales mejores que las permitidas por esta cota. Liouville también presentó ejemplos de números de Liouville ^{[ 1 ]} estableciendo así por primera vez la existencia de números trascendentales . ^{[ 2 ]} Uno de estos ejemplos es la constante de Liouville.

${\displaystyle L=0.110001000000000000000001\ldots ,}$

en el cual el${\displaystyle n}$El enésimo dígito después del punto decimal es 1 si${\displaystyle n}$es el factorial de un entero positivo y 0 en caso contrario. Se sabe que π y e , aunque trascendentales, no son números de Liouville. ^{[ 3 ]}

La existencia de los números de Liouville puede demostrarse mediante una construcción explícita.

Para cualquier número entero${\displaystyle b\geq 2}$y cualquier secuencia de números enteros${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$de tal manera que${\displaystyle a_{k}\in \{0,1,2,\ldots ,b-1\}}$a pesar de${\displaystyle k}$y${\displaystyle a_{k}\neq 0}$por infinitos${\displaystyle k}$, define el número

${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}}$.

En el caso especial cuando${\displaystyle b=10}$, y${\displaystyle a_{k}=1}$a pesar de${\displaystyle k}$, el número resultante${\displaystyle x}$Se denomina constante de Liouville:

${\displaystyle L=0.{\color {red}11}000{\color {red}1}00000000000000000{\color {red}1}\ldots }$

Se deduce de la definición de${\displaystyle x}$que su base -${\displaystyle b}$la representación es

${\displaystyle x=(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}\ldots )_{b}}$

donde el${\displaystyle n}$El dígito distinto de cero está en el${\displaystyle n!}$-ésimo lugar.

Dado que esta base-${\displaystyle b}$La representación no es repetitiva, por lo tanto, se deduce que${\displaystyle x}$no es un número racional. Por lo tanto, para cualquier número racional${\displaystyle p/q}$, ${\displaystyle |xp/q|>0}$.

Ahora, para cualquier número entero${\displaystyle n\geq 1}$,${\displaystyle p_{n}}$y${\displaystyle q_{n}}$se puede definir de la siguiente manera:

${\displaystyle q_{n}=b^{n!}\,;\quad p_{n}=q_{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b^{n!-k!}}$.

Entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}0<\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|&=\left|\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}-\sum _{k=1}^{n}{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\right|=\sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {a_{k}}{b^{k!}}}\\[6pt]&\leq \sum _{k=n+1}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k!}}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\infty }{\frac {b-1}{b^{k}}}={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!+2}}}+\cdots \\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}}}+{\frac {b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}}}+\cdots ={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{b^{k}}}\\[6pt]&={\frac {b-1}{b^{(n+1)!}}}\cdot {\frac {b}{b-1}}={\frac {b}{b^{(n+1)!}}}\leq {\frac {b^{n!}}{b^{(n+1)!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n+1)n!-n!}}}={\frac {1}{b^{n(n!)+n!-n!}}}={\frac {1}{b^{(n!)n}}}={\frac {1}{q_{n}^{n}}}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, cualquier tal${\displaystyle x}$es un número de Liouville.

Aquí la prueba demostrará que el número${\displaystyle ~x={\frac {c}{d}}~,}$donde c y d son números enteros y${\displaystyle ~d>0~,}$no puede satisfacer las desigualdades que definen un número de Liouville. Dado que todo número racional puede representarse como tal${\displaystyle ~c/d~,}$La demostración mostrará que ningún número de Liouville puede ser racional .

Más específicamente, esta demostración muestra que para cualquier entero positivo n suficientemente grande que${\displaystyle ~2^{n-1}>d>0~}$[equivalentemente, para cualquier entero positivo]${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~}$)], ningún par de enteros${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$existe que satisface simultáneamente el par de desigualdades de acotación

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Si la afirmación es cierta, entonces se deduce la conclusión deseada.

Sean p y q dos números enteros cualesquiera con${\displaystyle ~q>1~.}$Entonces,

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|=\left|{\frac {\,c\,}{d}}-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}}$

Si${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|=0~,}$entonces

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}=0~,}$

lo que significa que dicho par de números enteros${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$violaría la primera desigualdad en la definición de un número de Liouville, independientemente de cualquier elección de n  .

Si, por otro lado,${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$, entonces, ya que${\displaystyle c\,q-d\,p}$ Si es un número entero, podemos afirmar la desigualdad más precisa.${\displaystyle \left|c\,q-d\,p\right|\geq 1~.}$ De esto se deduce que

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|={\frac {\,|c\,q-d\,p|\,}{d\,q}}\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}}$

Ahora, para cualquier número entero${\displaystyle ~n>1+\log _{2}(d)~,}$La última desigualdad anterior implica

${\displaystyle \left|x-{\frac {\,p\,}{q}}\right|\geq {\frac {1}{\,d\,q\,}}>{\frac {1}{\,2^{n-1}q\,}}\geq {\frac {1}{\;q^{n}\,}}~.}$

Por lo tanto, en el caso${\displaystyle ~\left|c\,q-d\,p\right|>0~}$dicho par de números enteros${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~}$violaría la segunda desigualdad en la definición de un número de Liouville, para algún entero positivo n .

Por lo tanto, para concluir, no hay ningún par de enteros${\displaystyle ~(\,p,\,q\,)~,}$con${\displaystyle ~q>1~,}$que calificaría a tal${\displaystyle ~x=c/d~,}$como un número de Liouville.

Por lo tanto, un número de Liouville no puede ser racional.

Ningún número de Liouville es algebraico. La demostración de esta afirmación procede estableciendo primero una propiedad de los números algebraicos irracionales . Esta propiedad esencialmente dice que los números algebraicos irracionales no pueden ser bien aproximados por números racionales, donde la condición de "buena aproximación" se vuelve más estricta para denominadores mayores. Un número de Liouville es irracional pero no tiene esta propiedad, por lo que no puede ser algebraico y debe ser trascendental. El siguiente lema se conoce generalmente como el teorema de Liouville (sobre la aproximación diofántica) , existiendo varios resultados conocidos como el teorema de Liouville .

Lema: Si${\displaystyle \alpha }$es una raíz irracional de un polinomio irreducible de grado${\displaystyle n>1}$con coeficientes enteros, entonces existe un número real${\displaystyle A>0}$de tal manera que para todos los números enteros${\displaystyle p,q}$con${\displaystyle q>0}$,

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Demostración del lema: Sea${\displaystyle f(x)=\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}x^{k}}$sea ​​un polinomio mínimo con coeficientes enteros, tal que${\displaystyle f(\alpha )=0}$.

Por el teorema fundamental del álgebra ,${\displaystyle f}$tiene como máximo${\displaystyle n}$raíces distintas. Por lo tanto, existe${\displaystyle \delta _{1}>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle 0<|x-\alpha |<\delta _{1}}$obtenemos${\displaystyle f(x)\neq 0}$.

Desde${\displaystyle f}$es un polinomio mínimo de${\displaystyle \alpha }$obtenemos${\displaystyle f'\!(\alpha )\neq 0}$y también${\displaystyle f'}$es continua . Por lo tanto, por el teorema del valor extremo existe${\displaystyle \delta _{2}>0}$y${\displaystyle M>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle |x-\alpha |<\delta _{2}}$obtenemos${\displaystyle 0<|f'\!(x)|\leq M}$.

Ambas condiciones se cumplen para${\displaystyle \delta =\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}}$.

Ahora dejemos${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in (\alpha -\delta ,\alpha +\delta )}$sea ​​un número racional. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}<\alpha }$Por el teorema del valor medio , existe${\displaystyle x_{0}\in \left({\tfrac {p}{q}},\alpha \right)}$de tal manera que

${\displaystyle f'\!(x_{0})={\frac {f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}}{\alpha -{\frac {p}{q}}}}}$

Desde${\displaystyle f(\alpha )=0}$y${\displaystyle f{\bigl (}{\tfrac {p}{q}}{\bigr )}\neq 0}$, ambos lados de esa igualdad son distintos de cero. En particular${\displaystyle |f'\!(x_{0})|>0}$y podemos reorganizarlo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|&={\frac {\left|f(\alpha )-f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}={\frac {\left|f{\bigl (}{\frac {p}{q}}{\bigr )}\right|}{|f'\!(x_{0})|}}\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|}}\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{-k}\,\right|\\[5pt]&={\frac {1}{|f'\!(x_{0})|\,q^{n}}}\,\underbrace {\left|\,\sum _{k\,=\,0}^{n}a_{k}p^{k}q^{n-k}\,\right|} _{\geq \,1}\\&\geq {\frac {1}{Mq^{n}}}>{\frac {A}{q^{n}}}\quad$ :\!0<A<\min \!\left\{\delta \,,{\frac {1}{M}}\right\}\end{aligned}}}

Prueba de la afirmación: Como consecuencia de este lema, sea x un número de Liouville; como se indica en el texto del artículo, x es entonces irracional. Si x es algebraico, entonces, por el lema, existe algún entero n y algún real positivo A tales que para todo p , q

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {A}{q^{n}}}}$

Sea r un entero positivo tal que 1/(2 ^r ) ≤ A y definamos m = r + n . Dado que x es un número de Liouville, existen enteros a , b con b > 1 tales que

${\displaystyle \left|x-{\frac {a}{b}}\right|<{\frac {1}{b^{m}}}={\frac {1}{b^{r+n}}}={\frac {1}{b^{r}b^{n}}}\leq {\frac {1}{2^{r}}}{\frac {1}{b^{n}}}\leq {\frac {A}{b^{n}}},}$

lo cual contradice el lema. Por lo tanto, un número de Liouville no puede ser algebraico y, en consecuencia, debe ser trascendental.

Demostrar que un número dado es un número de Liouville prueba que es trascendental. Sin embargo, no todo número trascendental es un número de Liouville. Los términos en la expansión en fracción continua de todo número de Liouville son ilimitados; mediante un argumento de conteo, se puede demostrar que debe haber una cantidad incontable de números trascendentales que no son de Liouville. Utilizando la expansión explícita en fracción continua de e , se puede demostrar que e es un ejemplo de un número trascendental que no es de Liouville. Mahler demostró en 1953 que π es otro ejemplo de este tipo. ^{[ 4 ]}

Consideremos el número

3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 ceros)1(17 ceros)5(95 ceros)9(599 ceros)2(4319 ceros)6...

donde los dígitos son cero excepto en las posiciones n ! donde el dígito es igual al n -ésimo dígito que sigue al punto decimal en la expansión decimal de π . 

Como se muestra en la sección sobre la existencia de números de Liouville , este número, así como cualquier otro decimal no finito con dígitos distintos de cero en una posición similar, satisface la definición de un número de Liouville. Dado que el conjunto de todas las secuencias de dígitos distintos de cero tiene la cardinalidad del continuo , lo mismo ocurre con el conjunto de todos los números de Liouville.

Además, los números de Liouville forman un subconjunto denso del conjunto de los números reales.

Desde el punto de vista de la teoría de la medida , el conjunto de todos los números de Liouville${\displaystyle L}$es pequeño. Más precisamente, su medida de Lebesgue ,${\displaystyle \lambda (L)}$, es cero. La demostración dada sigue algunas ideas de John C. Oxtoby . ^{[ 5 ] : 8}

Para números enteros positivos${\displaystyle n>2}$y${\displaystyle q\geq 2}$colocar:

${\displaystyle V_{n,q}=\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)}$

entonces

${\displaystyle L\subseteq \bigcup _{q=2}^{\infty }V_{n,q}.}$

Observe que para cada entero positivo${\displaystyle n\geq 2}$y${\displaystyle m\geq 1}$, entonces

${\displaystyle L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }V_{n,q}\cap (-m,m)\subseteq \bigcup \limits _{q=2}^{\infty }\bigcup \limits _{p=-mq}^{mq}\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}},{\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right).}$

Desde

${\displaystyle \left|\left({\frac {p}{q}}+{\frac {1}{q^{n}}}\right)-\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}\right)\right|={\frac {2}{q^{n}}}}$

y${\displaystyle n>2}$entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu (L\cap (-m,\,m))&\leq \sum _{q=2}^{\infty }\sum _{p=-mq}^{mq}{\frac {2}{q^{n}}}=\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {2(2mq+1)}{q^{n}}}\\[6pt]&\leq (4m+1)\sum _{q=2}^{\infty }{\frac {1}{q^{n-1}}}\leq (4m+1)\int _{1}^{\infty }{\frac {dq}{q^{n-1}}}\leq {\frac {4m+1}{n-2}}.\end{aligned}}}$

Ahora

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {4m+1}{n-2}}=0}$

y de ello se deduce que para cada entero positivo${\displaystyle m}$,${\displaystyle L\cap (-m,m)}$tiene medida de Lebesgue cero. En consecuencia, también tiene${\displaystyle L}$.

En cambio, la medida de Lebesgue del conjunto de todos los números reales trascendentales es infinita (ya que el conjunto de los números algebraicos es un conjunto nulo ).

Se podría demostrar aún más: el conjunto de números de Liouville tiene dimensión de Hausdorff 0 (una propiedad estrictamente más fuerte que tener medida de Lebesgue 0).

Para cada entero positivo n , se establece

${\displaystyle ~U_{n}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left\{x\in \mathbb {R} :0<\left|x-{\frac {p}{\,q\,}}\right|<{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right\}=\bigcup \limits _{q=2}^{\infty }~\bigcup \limits _{p=-\infty }^{\infty }~\left({\frac {p}{q}}-{\frac {1}{q^{n}}}~,~{\frac {p}{\,q\,}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\right)\setminus \left\{{\frac {p}{\,q\,}}\right\}~}$

El conjunto de todos los números de Liouville se puede escribir como

${\displaystyle ~L~=~\bigcap \limits _{n=1}^{\infty }U_{n}~=~\bigcap \limits _{n\in \mathbb {N} _{1}}~\bigcup \limits _{q\geqslant 2}~\bigcup \limits _{p\in \mathbb {Z} }\,\left(\,\left(\,{\frac {\,p\,}{q}}-{\frac {1}{\;q^{n}\,}}~,~{\frac {\,p\,}{q}}+{\frac {1}{\;q^{n}\,}}\,\right)\setminus \left\{\,{\frac {\,p\,}{q}}\,\right\}\,\right)~.}$

Cada${\displaystyle ~U_{n}~}$es un conjunto abierto ; ya que su clausura contiene todos los racionales (el${\displaystyle ~p/q~}$a partir de cada intervalo punteado), también es un subconjunto denso de la recta real. Dado que es la intersección de una cantidad numerable de tales conjuntos abiertos densos, L es comeagre , es decir, es un conjunto G _δ denso .

La medida de irracionalidad de Liouville-Roth ( exponente de irracionalidad, exponente de aproximación o constante de Liouville-Roth ) de un número real${\displaystyle x}$es una medida de cuán "cerca" puede ser aproximado por los racionales. Se define adaptando la definición de los números de Liouville: en lugar de requerir la existencia de una secuencia de pares${\displaystyle (p,q)}$que hacen que la desigualdad se cumpla para cada uno${\displaystyle n}$—una secuencia que necesariamente contiene infinitos pares distintos—el exponente de irracionalidad${\displaystyle \mu (x)}$se define como el supremo del conjunto de${\displaystyle n}$para la cual existe tal secuencia infinita, es decir, el conjunto de${\displaystyle n}$de tal manera que${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}}$se satisface con un número infinito de pares enteros${\displaystyle (p,q)}$con${\displaystyle q>0}$. ^{[ 6 ] : 246} Para cualquier valor${\displaystyle n\leq \mu (x)}$, el conjunto infinito de todos los números racionales${\displaystyle p/q}$Satisfacer la desigualdad anterior produce buenas aproximaciones de${\displaystyle x}$. Por el contrario, si${\displaystyle n>\mu (x)}$entonces hay como máximo un número finito de${\displaystyle (p,q)}$con${\displaystyle q>0}$que satisfacen la desigualdad. Si${\displaystyle x}$entonces es un número de Liouville${\displaystyle \mu (x)=\infty }$.

• Número de Brjuno
• constante de Markov
• aproximación diofántica

• El comienzo de los números trascendentales