Secuencia de Van der Corput

Una secuencia de van der Corput es un ejemplo de la secuencia unidimensional más simple de baja discrepancia sobre el intervalo unitario ; fue descrita por primera vez en 1935 por el matemático holandés JG van der Corput . Se construye invirtiendo la representación en base n de la secuencia de números naturales (1, 2, 3, …).

El${\displaystyle b}$representación -aria del entero positivo${\displaystyle n\geq 1}$es $${\displaystyle n~=~\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{k}~=~d_{0}(n)b^{0}+\cdots +d_{L-1}(n)b^{L-1},}$$ dónde${\displaystyle b}$es la base en la que el número${\displaystyle n}$está representado y${\displaystyle 0\leq d_{k}(n)<b;}$es decir, el${\displaystyle k}$-ésimo dígito en el${\displaystyle b}$expansión -aria de${\displaystyle n.}$ El${\displaystyle n}$El -ésimo número en la secuencia de van der Corput es $${\displaystyle g_{b}(n)~=~\sum _{k=0}^{L-1}d_{k}(n)b^{-k-1}~=~d_{0}(n)b^{-1}+\cdots +d_{L-1}(n)b^{-L}.}$$

Por ejemplo, para obtener la secuencia decimal de van der Corput, comenzamos dividiendo los números del 1 al 9 en décimas (${\displaystyle x/10}$), luego cambiamos el denominador a 100 para comenzar a dividir en centésimas (${\displaystyle x/100}$En cuanto al numerador, comenzamos con todos los números de dos dígitos del 10 al 99, pero en orden inverso de dígitos. Por lo tanto, obtendremos los numeradores agrupados por el último dígito. Primero, todos los numeradores de dos dígitos que terminan en 1, por lo que los siguientes numeradores son 01, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91. Luego, los numeradores que terminan en 2, por lo que son 02, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92. Y después, los numeradores que terminan en 3: 03, 13, 23, y así sucesivamente...

Así comienza la secuencia $${\displaystyle \left\{{\tfrac {1}{10}},{\tfrac {2}{10}},{\tfrac {3}{10}},{\tfrac {4}{10}},{\tfrac {5}{10}},{\tfrac {6}{10}},{\tfrac {7}{10}},{\tfrac {8}{10}},{\tfrac {9}{10}},{\tfrac {1}{100}},{\tfrac {11}{100}},{\tfrac {21}{100}},{\tfrac {31}{100}},{\tfrac {41}{100}},{\tfrac {51}{100}},{\tfrac {61}{100}},{\tfrac {71}{100}},{\tfrac {81}{100}},{\tfrac {91}{100}},{\tfrac {2}{100}},{\tfrac {12}{100}},{\tfrac {22}{100}},{\tfrac {32}{100}},\ldots \right\},}$$ o en representación decimal:

0,1, 0,2, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6, 0,7, 0,8, 0,9, 0,01, 0,11, 0,21, 0,31, 0,41, 0,51, 0,61, 0,71, 0,81, 0,91, 0,02, 0,12, 0,22, 0,32, …,

Lo mismo se puede hacer para el sistema numérico binario , y la secuencia binaria de van der Corput es

0,1 ₂ , 0,01 ₂ , 0,11 ₂ , 0,001 ₂ , 0,101 ₂ , 0,011 ₂ , 0,111 ₂ , 0,0001 ₂ , 0,1001 ₂ , 0,0101 ₂ , 0,1101 ₂ , 0,0011 ₂ , 0,1011 ₂ , 0,0111 ₂ , 0,1111 ₂ , …

o, equivalentemente, $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{4}},{\tfrac {1}{8}},{\tfrac {5}{8}},{\tfrac {3}{8}},{\tfrac {7}{8}},{\tfrac {1}{16}},{\tfrac {9}{16}},{\tfrac {5}{16}},{\tfrac {13}{16}},{\tfrac {3}{16}},{\tfrac {11}{16}},{\tfrac {7}{16}},{\tfrac {15}{16}},\ldots .}$$

Los elementos de la sucesión de van der Corput (en cualquier base) forman un conjunto denso en el intervalo unitario; es decir, para cualquier número real en${\displaystyle [0,1]}$Existe una subsecuencia de la secuencia de van der Corput que converge a ese número. Además, están equidistribuidas en el intervalo unitario.

• Permutación de inversión de bits : permutación que invierte números binarios. 
• Construcciones de secuencias de baja discrepancia – Tipo de secuencia matemática Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento 
• Secuencia de Halton : tipo de secuencia numérica utilizada en estadística , una generalización natural de la secuencia de van der Corput a dimensiones superiores. 

• van der Corput, JG (1935), "Verteilungsfunktionen (Erste Mitteilung)" (PDF) , Actas de la Koninklijke Akademie van Wetenschappen te Amsterdam (en alemán), 38 : 813–821 , Zbl 0012.34705 
• Kuipers, L.; Niederreiter, H. (2005) [1974], Distribución uniforme de secuencias , Publicaciones de Dover , p.  129.158, ISBN 0-486-45019-8, Zbl 0281.10001 

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