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Combinatoria aritmética

En matemáticas , la combinatoria aritmética es un campo que se encuentra en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico...

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En matemáticas , la combinatoria aritmética es un campo que se encuentra en la intersección de la teoría de números , la combinatoria , la teoría ergódica y el análisis armónico .

Alcance

La combinatoria aritmética se ocupa de las estimaciones combinatorias asociadas a las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación y división). La combinatoria aditiva es el caso especial en el que solo intervienen las operaciones de suma y resta.

Ben Green explica la combinatoria aritmética en su reseña de "Combinatoria aditiva" de Tao y Vu . [ 1 ]

Resultados importantes

Teorema de Szemerédi

El teorema de Szemerédi es un resultado de combinatoria aritmética sobre progresiones aritméticas en subconjuntos de los enteros. En 1936, Erdős y Turán conjeturaron [ 2 ] que todo conjunto de enteros A con densidad natural positiva contiene una progresión aritmética de k términos para cada k . Esta conjetura, que se convirtió en el teorema de Szemerédi, generaliza el enunciado del teorema de van der Waerden .

Teorema de Green-Tao y sus extensiones

El teorema de Green-Tao , demostrado por Ben Green y Terence Tao en 2004, [ 3 ] afirma que la sucesión de números primos contiene progresiones aritméticas de longitud arbitraria . En otras palabras, existen progresiones aritméticas de primos con k términos, donde k puede ser cualquier número natural. La demostración es una extensión del teorema de Szemerédi .

En 2006, Terence Tao y Tamar Ziegler extendieron el resultado para abarcar progresiones polinómicas. [ 4 ] Más precisamente, dados cualesquiera polinomios enteros P 1 ,..., P k en un desconocido m, todos con término constante 0, existen infinitos enteros x , m tales que x  + P 1 ( m ), ..., x + P k ( m ) son simultáneamente primos. El caso especial cuando los polinomios son m , 2 m , ..., km implica el resultado anterior de que existen progresiones aritméticas de primos de longitud k .   

Teorema de Breuillard-Green-Tao

El teorema de Breuillard-Green-Tao, demostrado por Emmanuel Breuillard , Ben Green y Terence Tao en 2011, [ 5 ] proporciona una clasificación completa de los grupos aproximados . Este resultado puede considerarse una versión no abeliana del teorema de Freiman y una generalización del teorema de Gromov sobre grupos de crecimiento polinomial .

Ejemplo

Si A es un conjunto de N enteros, ¿cuán grande o pequeño puede ser el conjunto suma?

A+A:={incógnita+y:incógnita,y∈A},{\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}

el conjunto de diferencias

A−A:={incógnita−y:incógnita,y∈A},{\displaystyle AA:=\{xy:x,y\in A\},}

y el conjunto de productos

A⋅A:={incógnitay:incógnita,y∈A}{\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}

¿Y cómo se relacionan los tamaños de estos conjuntos? (No confundir: los términos conjunto de diferencias y conjunto de productos pueden tener otros significados).

Extensiones

Los conjuntos que se estudian también pueden ser subconjuntos de estructuras algebraicas distintas de los números enteros, por ejemplo, grupos , anillos y cuerpos . [ 6 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ Green, Ben (julio de 2009). "Reseñas de libros: Combinatoria aditiva, por Terence C. Tao y Van H. Vu" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 46 (3): 489– 497. doi : 10.1090/s0273-0979-09-01231-2 .
  2. ↑ Erdős, Paul ; Turán, Paul (1936). "Sobre algunas secuencias de enteros" (PDF) . Journal of the London Mathematical Society . 11 (4): 261–264 . doi : 10.1112/jlms/s1-11.4.261 . MR 1574918 . .
  3. ↑ Green, Ben ; Tao, Terence (2008). "Los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas". Annals of Mathematics . 167 (2): 481– 547. arXiv : math.NT/0404188 . doi : 10.4007 / annals.2008.167.481 . MR 2415379. S2CID 1883951 .  .
  4. ↑ Tao, Terence ; Ziegler, Tamar (2008). "Los números primos contienen progresiones polinómicas arbitrariamente largas". Acta Mathematica . 201 (2): 213– 305. arXiv : math/0610050 . doi : 10.1007/s11511-008-0032-5 . MR 2461509. S2CID 119138411 .  .
  5. ^ Breuillard, Emmanuel ; Verde, Ben ; Tao, Terence (2012). "La estructura de grupos aproximados". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 116 : 115–221 . arXiv : 1110.5008 . doi : 10.1007/s10240-012-0043-9 . SEÑOR 3090256 . S2CID 119603959 .  .
  6. ↑ Bourgain, Jean ; Katz, Nets ; Tao, Terence (2004). "Una estimación suma-producto en campos finitos y aplicaciones". Geometric and Functional Analysis . 14 (1): 27– 57. arXiv : math/0301343 . doi : 10.1007/s00039-004-0451-1 . MR 2053599. S2CID 14097626 .  

Referencias

  • Łaba, Izabella (2008). "Del análisis armónico a la combinatoria aritmética" . Bull. Amer. Math. Soc . 45 (1): 77– 115. doi : 10.1090/S0273-0979-07-01189-5 .
  • Combinatoria aditiva y ciencias de la computación teórica. Archivado el 4 de marzo de 2016 en Wayback Machine , Luca Trevisan, SIGACT News, junio de 2009.
  • Bibak, Khodakhast (2013). «Combinatoria aditiva con vistas a la informática y la criptografía». En Borwein, Jonathan M.; Shparlinski, Igor E.; Zudilin, Wadim (eds.). Teoría de números y campos relacionados: En memoria de Alf van der Poorten . Vol.  43. Nueva York: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. pp. 99–128 . arXiv : 1108.3790 . doi : 10.1007 /978-1-4614-6642-0_4 . ISBN  978-1-4614-6642-0. S2CID 14979158 . 
  • Problemas abiertos en combinatoria aditiva , E Croot, V Lev
  • De agujas giratorias a la estabilidad de ondas: conexiones emergentes entre combinatoria, análisis y EDP , Terence Tao , AMS Notices, marzo de 2001
  • Tao, Terence ; Vu, Van H. (2006). Combinatoria aditiva . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. Vol.  105. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-85386-9. SEÑOR 2289012 . Zbl 1127.11002 .  
  • Granville, Andrew ; Nathanson, Melvyn B.; Solymosi, József , eds. (2007). Combinatoria aditiva . Actas y apuntes de clase de CRM. Vol.  43. Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-4351-2. Zbl 1124.11003 . 
  • Mann, Henry (1976). Teoremas de adición: Los teoremas de adición de la teoría de grupos y la teoría de números (Reimpresión corregida de la  edición de Wiley de 1965). Huntington, Nueva York: Robert E. Krieger Publishing Company. ISBN 0-88275-418-1.
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría aditiva de números: las bases clásicas . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  164. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-XMR 1395371 .​ 
  • Nathanson, Melvyn B. (1996). Teoría aditiva de números: problemas inversos y geometría de conjuntos suma . Textos de posgrado en matemáticas . Vol.  165. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94655-1. MR 1477155 . 

Lecturas adicionales

  • Algunos aspectos destacados de la combinatoria aritmética , recursos de Terence Tao
  • Combinatoria aditiva: Invierno de 2007 , K Soundararajan
  • Las primeras conexiones entre la combinatoria aditiva y la informática , Luca Trevisan
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