Conjunto libre de suma

En combinatoria aditiva y teoría de números , se dice que un subconjunto A de un grupo abeliano G es libre de suma si el conjunto suma A + A es disjunto de A. En otras palabras, A es libre de suma si la ecuación${\displaystyle a+b=c}$no tiene solución con${\displaystyle a,b,c\in A}$.

Por ejemplo, el conjunto de los números impares es un subconjunto libre de sumas de los enteros , y el conjunto { N  + 1, ..., 2N } forma un subconjunto grande libre de sumas del conjunto {1, ..., 2N } . El último teorema de Fermat afirma que, para un entero n > 2 dado, el conjunto de todas las potencias n- ^ésimas de los enteros que no son cero es un conjunto libre de sumas.

Algunas preguntas básicas que se han planteado sobre conjuntos libres de suma son:

• ¿Cuántos subconjuntos libres de suma de {1, ..., N } existen para un entero N ? Ben Green ha demostrado ^{[ 1 ]} que la respuesta es${\displaystyle O(2^{N/2})}$, como predice la conjetura de Cameron-Erdős . ^{[ 2 ]}
• ¿Cuántos conjuntos libres de suma contiene un grupo abeliano G ? ^{[ 3 ]}
• ¿Cuál es el tamaño del conjunto libre de suma más grande que contiene un grupo abeliano G ? ^{[ 3 ]}

Se dice que un conjunto libre de sumas es maximal si no es un subconjunto propio de otro conjunto libre de sumas.

Dejar${\displaystyle f:[1,\infty )\to [1,\infty )}$ser definido por${\displaystyle f(n)}$es el número más grande${\displaystyle k}$de tal manera que cualquier conjunto de n enteros distintos de cero tiene un subconjunto libre de suma de tamaño k . La función es subaditiva y, por el lema de subaditividad de Fekete ,${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}}$existe.

Erdős demostró que${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}\geq {\frac {1}{3}}}$y conjeturaron que la igualdad se cumple. ^{[ 4 ]} Esto fue demostrado en 2014 por Eberhard, Green y Manners, quienes dieron una cota superior que coincide con la cota inferior de Erdős salvo una función u orden.${\displaystyle o(n)}$, ${\displaystyle f(n)\leq {\frac {n}{3}}+o(n)}$. ^{[ 5 ]}

Erdős también preguntó si${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+\omega (n)}$para algunos${\displaystyle \omega (n)\rightarrow \infty }$En 2025, Bedert, en una preimpresión, demostró esto dando el límite inferior.${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+c\log \log n}$. ^{[ 6 ] [ 7 ]}

• Teorema de Erdős-Szemerédi
• Secuencia sin suma

• Problema de Erdős 792 - erdosproblems.com