Tamiz grande

El tamiz grande es un método (o familia de métodos e ideas relacionadas) en la teoría analítica de números . Es un tipo de tamiz en el que se elimina hasta la mitad de todas las clases residuales de números, a diferencia de los tamices pequeños como el tamiz de Selberg, en el que solo se eliminan unas pocas clases residuales. El método se ha perfeccionado aún más con el tamiz más grande , que elimina un número arbitrario de clases residuales. ^{[ 1 ]}

Nombre

Su nombre proviene de la aplicación original: dado un conjunto $S\subset \{1,\ldots ,N\}$ de tal manera que los elementos de $S$ Se les prohíbe mentir en un conjunto $A_{p}\subset \mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ módulo cada primo $p$ ¿Qué tan grande puede ser? $S$ ¿Estar aquí? $A_{p}$ se considera que es grande, es decir, al menos tan grande como una constante veces $p$ ; si no es así, se habla de un pequeño tamiz .

Historia

La historia temprana del tamiz grande se remonta al trabajo de Yu. B. Linnik en 1941, quien trabajó en el problema del mínimo no residuo cuadrático . Posteriormente, Alfréd Rényi trabajó en él, utilizando métodos de probabilidad. Solo dos décadas después, tras numerosas contribuciones de otros autores, el tamiz grande se formuló de manera más definitiva. Esto ocurrió a principios de la década de 1960, en el trabajo independiente de Klaus Roth y Enrico Bombieri . También fue por esa época cuando se comprendió mejor la conexión con el principio de dualidad. A mediados de la década de 1960, se demostró el teorema de Bombieri-Vinogradov como una aplicación importante de los tamices grandes utilizando estimaciones de los valores medios de los caracteres de Dirichlet . A finales de la década de 1960 y principios de la de 1970, muchos de los ingredientes y estimaciones clave fueron simplificados por Patrick X. Gallagher . ^{[ 2 ]}

Desarrollo

Los métodos de cribado grande se han desarrollado lo suficiente como para ser aplicables también a situaciones de cribado pequeño. Algo se considera comúnmente relacionado con el cribado grande no necesariamente en términos de si está relacionado con el tipo de situación descrita anteriormente, sino más bien, si implica uno de los dos métodos de prueba tradicionalmente utilizados para obtener un resultado de cribado grande:

Desigualdad de Plancherel aproximada

Si un conjunto $S$ está mal distribuido módulo $p$ (en virtud, por ejemplo, de estar excluidos de las clases de congruencia) $A_{p}$ ) entonces los coeficientes de Fourier ${\widehat {f_{p}}}(a)$ de la función característica $f_{p}$ del conjunto $S{\bmod {p}}$ son en promedio grandes. Estos coeficientes pueden elevarse a valores ${\widehat {f}}(a/p)$ de la transformada de Fourier ${\widehat {f}}$ de la función característica $f$ del conjunto $S$ , eso es, ${\widehat {f}}(a/p)={\widehat {f_{p}}}(a).$

Las derivadas de acotación muestran que ${\widehat {f}}(x)$ debe ser grande, en promedio, para todos $x$ números casi racionales de la forma $a/p$ . Grande aquí significa "una constante relativamente grande veces $|S|$ ". Desde $|f|_{2}={\sqrt {|S|}},$ Existe una contradicción con la identidad de Plancherel. $|{\widehat {f}}|_{2}=|f|_{2}$ a menos que $|S|$ es pequeño. (En la práctica, para optimizar los límites, hoy en día se modifica la identidad de Plancherel para convertirla en una igualdad en lugar de derivadas acotadas como se indicó anteriormente).

Principio de dualidad

Se puede demostrar fácilmente un resultado de tamiz grande al observar el siguiente hecho básico del análisis funcional: la norma de un operador lineal (es decir, $\sup _ {v}|Av|_{W}/|v|_{V},\,$

dónde $A$ es un operador de un espacio lineal $V$ a un espacio lineal $W$ ) es igual a la norma de su adjunto, es decir, $\sup _ {w}|A^{*}w|_{V}^{*}/|w|_{W}^{*}.$

Este principio ha llegado a adquirir el nombre de "tamiz grande" en algunos textos matemáticos.

También es posible derivar el tamiz grande a partir de mayorantes al estilo de Selberg (véase Selberg, Obras completas , vol. II, Lecciones sobre tamices).

Véase también

Referencias

^ Gallagher, Patricio (1971). «Un colador más grande» . Acta Aritmética . 18 : 77– 81. doi : 10.4064/aa-18-1-77-81 .
↑ Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 163. Sociedad Matemática Americana. pp. 102–104 . ISBN 9780821898543.

"Tamiz grande" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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Davenport, Harold (2000). Teoría multiplicativa de números . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 74. Revisado y con un prefacio de Hugh L. Montgomery (3.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-95097-4. Zbl 1002.11001 .
Friedlander, Juan ; Iwaniec, Henryk (2010). Ópera de Cribro . Publicaciones del Coloquio AMS. ISBN 978-0-8218-4970-5. Zbl 1226.11099 .
Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de cribado a la teoría de los números . Cambridge University Press. pp. 17–20 . ISBN 0-521-20915-3.
Kowalski, Emmanuel (2008). El tamiz grande y sus aplicaciones . Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88851-6.
Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Vol. 46. Cambridge University Press. pp. 62–73 . ISBN 0-521-41261-7.

[1] Gallagher, Patricio (1971). «Un colador más grande» . Acta Aritmética . 18 : 77– 81. doi : 10.4064/aa-18-1-77-81 .

[2] Tenenbaum, Gérald (2015). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Estudios de posgrado en matemáticas. Vol. 163. Sociedad Matemática Americana. pp. 102–104 . ISBN 9780821898543.

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