valoración p-ádica

En teoría de números , la valoración p - ádica u orden p -ádico de un entero n es el exponente de la potencia más alta del número primo p que divide a n . Se denota . Equivalentemente, es el exponente a que aparece en la factorización prima de . ${\displaystyle \nu_{p}(n)}$${\displaystyle \nu_{p}(n)}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización n}$

La valoración p -ádica es una valoración y da lugar a un análogo del valor absoluto habitual . Mientras que la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto habitual da lugar a los números reales , la completitud de los números racionales con respecto al valor absoluto -ádico da lugar a los números p -ádicos . ^[1]${\displaystyle \mathbb {R}}$${\estilo de visualización p}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}_{p}}$

Sea p un número primo .

La valoración p -ádica de un entero se define como ${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} _{0}:p^{k}\mid n\}&{\text{si }}n\neq 0\\\infty &{\text{si }}n=0,\end{cases}}}$

donde denota el conjunto de números naturales (incluido el cero) y denota divisibilidad de por . En particular, es una función . ^[2]${\displaystyle \mathbb {N} _ {0}}$${\displaystyle m\mid n}$${\estilo de visualización n}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle \nu_{p}}$${\displaystyle \nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} _{0}\cup \{\infty \}}$

Por ejemplo, , , y desde . ${\displaystyle \nu _ {2}(-12)=2}$${\displaystyle \nu _{3}(-12)=1}$${\displaystyle \nu _ {5}(-12)=0}$${\displaystyle |{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}}$

La notación se utiliza a veces para significar . ^[3]${\displaystyle p^{k}\paralelo n}$${\displaystyle k=\nu_{p}(n)}$

Si es un entero positivo, entonces ${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle \nu_{p}(n)\leq \log_{p}n}$;

Esto se desprende directamente de . ${\displaystyle n\geq p^{\nu _ {p}(n)}}$

La valoración p -ádica se puede extender a los números racionales como la función

${\displaystyle \nu_{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$^{[4] [5]}

definido por

${\displaystyle \nu_{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu_{p}(r)-\nu_{p}(s).}$

Por ejemplo, y desde entonces . ${\displaystyle \nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3}$${\displaystyle \nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2}$${\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}}$

Algunas propiedades son:

${\displaystyle \nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

Además, si , entonces ${\displaystyle \nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)}$

${\displaystyle \nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}}$

donde es el mínimo (es decir, el menor de los dos). ${\estilo de visualización \min}$

La fórmula de Legendre muestra que . ${\displaystyle \nu _{p}(n!)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}}}$

Para cualquier entero positivo n , y entonces . ${\displaystyle n={\frac {n!}{(n-1)!}}}$${\displaystyle \nu _{p}(n)=\nu _{p}(n!)-\nu _{p}((n-1)!)}$

Por lo tanto, . ${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\infty {}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Esta suma infinita se puede reducir a . ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(n)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {n-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

Esta fórmula se puede extender a valores enteros negativos para obtener:

${\displaystyle \nu {}_{p}(n)=\sum _{i=1}^{\lfloor {\log _{p}{(|n|)}\rfloor {}}}{{\bigg (}\lfloor {\frac {|n|}{p^{i}}}\rfloor {}-\lfloor {\frac {|n|-1}{p^{i}}}\rfloor {}{\bigg )}}}$

El valor absoluto p -ádico (o norma p -ádica, ^[6] aunque no es una norma en el sentido de análisis) en es la función ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

${\displaystyle |\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle |r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.}$

Por lo tanto, para todos y por ejemplo, y${\displaystyle |0|_{p}=p^{-\infty }=0}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle |{-12}|_{2}=2^{-2}={\frac {1}{4}}}$${\displaystyle {\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.}$

El valor absoluto p -ádico satisface las siguientes propiedades.

De la multiplicatividad se sigue que para las raíces de la unidad y y en consecuencia también La subaditividad se sigue de la desigualdad del triángulo no arquimediano . ${\displaystyle |rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}}$${\displaystyle |1|_{p}=1=|-1|_{p}}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle |{-r}|_{p}=|r|_{p}.}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}}$ ${\displaystyle |r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)}$

La elección de la base p en la exponenciación no supone ninguna diferencia para la mayoría de las propiedades, pero respalda la fórmula del producto: ${\displaystyle p^{-\nu _{p}(r)}}$

${\displaystyle \prod _{0,p}|r|_{p}=1}$

donde se toma el producto de todos los primos p y el valor absoluto usual, denotado . Esto se deduce simplemente de tomar la factorización prima : cada factor de potencia primo contribuye con su recíproco a su valor absoluto p -ádico, y luego el valor absoluto arquimediano usual los cancela a todos. ${\displaystyle |r|_{0}}$${\displaystyle p^{k}}$

Se puede formar un espacio métrico en el conjunto con una métrica ( no arquimediana , invariante en la traslación ).${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

definido por

${\displaystyle d(r,s)=|r-s|_{p}.}$

La finalización de con respecto a esta métrica conduce al conjunto de números p -ádicos. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

• número p -ádico
• Valoración (álgebra)
• Propiedad de Arquímedes
• Multiplicidad (matemáticas)
• Teorema de Ostrowski
• Fórmula de Legendre para la valoración -ádica de${\displaystyle p}$${\displaystyle n!}$
• Lema de elevación del exponente , para la valoración -ádica de${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{n}-b^{n}}$