Función integral logarítmica

En matemáticas , la función integral logarítmica o logaritmo integral li( x ) es una función especial . Es relevante en problemas de física y tiene significado en teoría de números . En particular, según el teorema de los números primos , es una muy buena aproximación a la función de conteo de primos , que se define como la cantidad de números primos menores o iguales a un valor dado x .

La integral logarítmica tiene una representación integral definida para todos los números reales positivos x  ≠  1 por la integral definida

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.}$

Aquí, ln denota el logaritmo natural . La función 1/(ln t ) tiene una singularidad en t = 1 , y la integral para x > 1 se interpreta como un valor principal de Cauchy .

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).}$

Sin embargo, la integral logarítmica también puede considerarse una función meromorfa de valores complejos en el dominio complejo. En este caso, es multivaluada con puntos de ramificación en 0 y 1, y los valores entre 0 y 1 definidos por la integral anterior no son compatibles con los valores más allá de 1. La función compleja se muestra en la figura anterior. Los valores en el eje real más allá de 1 son los mismos que los definidos anteriormente, pero los valores entre 0 y 1 están desplazados por iπ de modo que el valor absoluto en 0 es π en lugar de cero. La función compleja también está definida (pero es multivaluada) para números con parte real negativa, pero en el eje real negativo los valores no son reales.

La integral logarítmica desplazada o integral logarítmica euleriana se define como

${\displaystyle \operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).}$

Por ello, la representación integral tiene la ventaja de evitar la singularidad en el dominio de integración.

De forma equivalente,

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).}$

La función li( x ) tiene un único cero positivo; aparece en x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769  ; este número se conoce como la constante de Ramanujan-Soldner .

${\displaystyle \operatorname {li} ({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)}$≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284 

Esto es${\displaystyle -(\Gamma (0,-\ln 2)+i\,\pi )}$dónde${\displaystyle \Gamma (a,x)}$es la función gamma incompleta . Debe entenderse como el valor principal de Cauchy de la función.

La función li( x ) está relacionada con la integral exponencial Ei( x ) mediante la ecuación

${\displaystyle \operatorname {li} (x)={\hbox{Ei}}(\ln x),}$

lo cual es válido para x  >  0. Esta identidad proporciona una representación en serie de li( x ) como

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ para }}u\neq 0\,,}$

donde γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620  es la constante de Euler-Mascheroni . Para la función compleja la fórmula es

${\displaystyle \operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\,,}$

(sin tomar el valor absoluto de u). Una serie de convergencia más rápida de Ramanujan ^{[ 1 ]} es

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\gamma +\ln |\ln x|+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).}$

Nuevamente, para la función compleja meromorfa el término${\displaystyle \ln |\ln u|}$debe ser reemplazado por${\displaystyle \ln \ln u.}$

El comportamiento asintótico tanto para${\displaystyle x\to \infty }$y para${\displaystyle x\to 0^{+}}$es

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).}$

dónde${\displaystyle O}$es la notación O grande . La expansión asintótica completa es

${\displaystyle \operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}$

o

${\displaystyle {\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .}$

Esto proporciona el siguiente comportamiento asintótico más preciso:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).}$

Como desarrollo asintótico, esta serie no es convergente : es una aproximación razonable solo si la serie se trunca en un número finito de términos y solo se emplean valores grandes de x . Este desarrollo se deriva directamente del desarrollo asintótico para la integral exponencial .

Esto implica, por ejemplo, que podemos poner li entre paréntesis como:

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}}$

a pesar de${\displaystyle \ln x\geq 11}$.

La integral logarítmica es importante en la teoría de números , ya que aparece en estimaciones de la cantidad de números primos menores que un valor dado. Por ejemplo, el teorema de los números primos establece que:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {li} (x)}$

dónde${\displaystyle \pi (x)}$denota el número de primos menores o iguales a${\displaystyle x}$.

Suponiendo la hipótesis de Riemann , obtenemos la aún más fuerte: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)}$

De hecho, la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle |\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})}$para cualquier${\displaystyle a>0}$.

Para pequeños${\displaystyle x}$,${\displaystyle \operatorname {li} (x)>\pi (x)}$pero la diferencia cambia de signo un número infinito de veces como${\displaystyle x}$aumenta, y la primera vez que esto sucede es en algún momento entre 10 ¹⁹ y1,4 × 10 ³¹⁶ .

• Jørgen Pedersen Gram
• Número de Skewes
• Lista de integrales de funciones logarítmicas

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. «Capítulo 5» . Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol.  55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima edición original con correcciones (diciembre de 1972); primera  ed.). Washington D. C.; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág.  228. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .   
• Temme, NM (2010), "Integrales exponenciales, logarítmicas, seno y coseno" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 .