Número primo

Un número primo es un número natural mayor que 1 que no es producto de dos números naturales menores. Un número natural mayor que 1 que no es primo se denomina número compuesto . Por ejemplo, 5 es primo porque las únicas formas de escribirlo como producto, 1 × 5 o 5 × 1 , incluyen el 5 mismo. Sin embargo, 4 es compuesto porque es un producto (2 × 2) en el que ambos números son menores que 4. Los números primos son fundamentales en la teoría de números debido al teorema fundamental de la aritmética : todo número natural mayor que 1 es primo o puede factorizarse como un producto de primos único salvo por su orden.

La propiedad de ser primo se llama primalidad . Un método simple pero lento para comprobar la primalidad de un número dado ,${\displaystyle n}$ llamado división por tanteo , comprueba si es múltiplo${\displaystyle n}$ de cualquier entero entre 2 y . Los${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ algoritmos más rápidos incluyen la prueba de primalidad de Miller-Rabin , que es rápida pero tiene una pequeña probabilidad de error, y la prueba de primalidad AKS , que siempre produce la respuesta correcta en tiempo polinomial pero es demasiado lenta para ser práctica. Existen métodos particularmente rápidos para números de formas especiales, como los números de Mersenne , y estos se han utilizado para encontrar números primos grandes .

Hay infinitos números primos, como demostró Euclides alrededor del año 300 a. C. No se conoce ninguna fórmula simple que separe los números primos de los números compuestos. Sin embargo, la distribución de los primos dentro de los números naturales en grandes cantidades puede modelarse estadísticamente. El primer resultado en esa dirección es el teorema de los números primos , demostrado a finales del siglo XIX, que dice, aproximadamente, que la probabilidad de que un número grande elegido al azar sea primo es inversamente proporcional a su número de dígitos, es decir, a su logaritmo .

Varias cuestiones históricas relacionadas con los números primos siguen sin resolverse. Entre ellas se encuentran la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par mayor que 2 puede expresarse como la suma de dos primos, y la conjetura de los primos gemelos , que plantea que existen infinitos pares de primos que difieren en dos. Estas cuestiones impulsaron el desarrollo de diversas ramas de la teoría de números, centradas en aspectos analíticos o algebraicos de los mismos. Los primos se utilizan en diversas rutinas de la informática , como la criptografía de clave pública , que se basa en la dificultad de factorizar números grandes en sus factores primos. En álgebra abstracta , los objetos que se comportan de forma generalizada como los números primos incluyen los elementos primos y los ideales primos .

Un número natural (1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.) se llama número primo (o primo ) si es mayor que 1 y no puede escribirse como el producto de dos números naturales menores. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman números compuestos . ^{[ 1 ]} En otras palabras, ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ es primo si ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ los elementos no pueden dividirse en grupos más pequeños de igual tamaño de más de un elemento, ^{[ 2 ]} o si no es posible ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ puntos en una cuadrícula rectangular que tenga más de un punto de ancho y más de un punto de alto. ^{[ 3 ]} Por ejemplo, entre los números del 1 al 6, los números 2, 3 y 5 son los números primos, ^{[ 4 ]} ya que no hay otros números que los dividan exactamente (sin resto). 1 no es primo, ya que está específicamente excluido en la definición. 4 = 2 × 2 y 6 = 2 × 3 son ambos números compuestos.

Los divisores de un número natural son los${\displaystyle n}$ números naturales que lo dividen exactamente . Todo número${\displaystyle n}$ natural tiene como divisor tanto al 1 como a sí mismo. Si tiene cualquier otro divisor, no puede ser primo. Esto lleva a una definición equivalente de números primos: son los números con exactamente dos divisores positivos . Esos dos son el 1 y el número mismo. Como el 1 tiene solo un divisor, él mismo, no es primo según esta definición. ^{[ 5 ]} Otra forma de expresar lo mismo es que un número ^es primo si${\displaystyle n}$ es mayor que uno y si ninguno de los números lo divide exactamente . ^[ 6 ^]${\displaystyle 2,3,\dots ,n-1}$${\displaystyle n}$

Los primeros 25 números primos (todos los números primos menores que 100) son: ^{[ 7 ]}

2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 (secuencia A000040 en el OEIS ).

Ningún número par mayor que${\displaystyle n}$ 2 es primo porque cualquier número de este tipo puede expresarse como el producto . Por${\displaystyle 2\times n/2}$ lo tanto, todo número primo distinto de 2 es un número impar y se denomina primo impar . ^{[ 8 ]} De manera similar, cuando se escriben en el sistema decimal habitual , todos los números primos mayores que 5 terminan en 1, 3, 7 o 9. Los números que terminan con otros dígitos son todos compuestos: los números decimales que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8 son pares, y los números decimales que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. ^{[ 9 ]}

El conjunto de todos los números primos se denota a veces por (una P mayúscula en negrita ) ^{[ 10 ]} o por (una P mayúscula en negrita en pizarra ). ^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

Desde alrededor del 1550 a. C., el Papiro Matemático de Rhind contiene expansiones de fracciones egipcias de diferentes formas para fracciones con denominadores primos y compuestos. ^{[ a ] ​​[ 12 ]} Sin embargo, los registros más antiguos que se conservan del estudio de los números primos provienen de los antiguos matemáticos griegos , quienes los llamaban prōtos arithmòs ( πρῶτος ἀριθμὸς ). Los Elementos de Euclides (c. 300 a. C.) demuestran la infinitud de los primos y el teorema fundamental de la aritmética , y muestran cómo construir un número perfecto a partir de un primo de Mersenne. ^{[ 13 ]} Otra invención griega, la Criba de Eratóstenes , todavía se utiliza para construir listas de primos. ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Alrededor del año 1000 d. C., el matemático islámico Ibn al-Haytham (Alhazen) descubrió el teorema de Wilson , que caracteriza a los números primos como aquellos que dividen${\displaystyle n}$ exactamente a .${\displaystyle (n-1)!+1}$ También conjeturó que todos los números pares perfectos provienen de la construcción de Euclides utilizando primos de Mersenne, pero no pudo demostrarlo. ^{[ 16 ]} Otro matemático islámico, Ibn al-Banna' al-Marrakushi , observó que la criba de Eratóstenes se puede acelerar considerando solo los divisores primos hasta la raíz cuadrada del límite superior. ^{[ 15 ]} Fibonacci llevó las innovaciones de las matemáticas islámicas a Europa. Su libro Liber Abaci (1202) fue el primero en describir la división por tanteo para comprobar la primalidad, utilizando nuevamente divisores solo hasta la raíz cuadrada. ^{[ 15 ]}

En 1640 Pierre de Fermat enunció (sin demostración) el pequeño teorema de Fermat (demostrado posteriormente por Leibniz y Euler ). ^{[ 17 ]} Fermat también investigó la primalidad de los números de Fermat ⁠ ⁠${\displaystyle 2^{2^{n}}+1}$ , ^{[ 18 ]} y Marin Mersenne estudió los primos de Mersenne, números primos de la forma con ⁠ ⁠ también primo. ^{[ 19 ]} Christian Goldbach formuló la conjetura de Goldbach , que todo número par es la suma de dos primos, en una carta de 1742 a Euler. ^{[ 20 ]} Euler demostró la conjetura de Alhazen (ahora el teorema de Euclides-Euler ) de que todos los números pares perfectos pueden construirse a partir de primos de Mersenne. ^{[ 13 ]} Introdujo métodos del análisis matemático en esta área en sus demostraciones de la infinitud de los primos y la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos ⁠ ⁠ . ^{[ 21 ]} A principios del siglo XIX, Legendre y Gauss conjeturaron que cuando ⁠ ⁠ tiende a infinito, el número de primos hasta ⁠ ⁠ es asintótico a ⁠ ⁠ , donde es el logaritmo natural de ⁠ ⁠ . Una consecuencia más débil de esta alta densidad de primos fue el postulado de Bertrand , que para cada hay un primo entre ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ , demostrado en 1852 por Pafnuty Chebyshev . ^{[ 22 ]} Las ideas de Bernhard Riemann en su artículo de 1859 sobre la función zeta esbozaron un esquema para demostrar la conjetura de Legendre y Gauss. Aunque la hipótesis de Riemann, estrechamente relacionada , sigue sin demostrarse, el esquema de Riemann fue completado en 1896 por Hadamard y de la Vallée Poussin , y el resultado se conoce ahora como el teorema de los números primos . ^{[ 23} ] Otro resultado importante del siglo XIX fue el teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , que establece que ciertas progresiones aritméticas contienen infinitos números primos. ^{[ 24 ]}${\displaystyle 2^{p}-1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x/\log x}$${\displaystyle \log x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2n}$^]

Muchos matemáticos han trabajado en pruebas de primalidad para números mayores que aquellos en los que la división por tanteo es prácticamente aplicable. Los métodos restringidos a formas numéricas específicas incluyen la prueba de Pépin para los números de Fermat (1877), ^{[ 25 ]} el teorema de Proth (c. 1878), ^{[ 26 ]} la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer (originada en 1856) y la prueba de primalidad generalizada de Lucas . ^{[ 15 ]}

Desde 1951, todos los primos más grandes conocidos se han encontrado utilizando estas pruebas en computadoras . ^{[ b ]} La búsqueda de primos cada vez mayores ha generado interés fuera de los círculos matemáticos, a través de la Gran Búsqueda de Primos de Mersenne en Internet y otros proyectos de computación distribuida . ^{[ 7 ] [ 28 ]} La idea de que los números primos tenían pocas aplicaciones fuera de las matemáticas puras ^{[ c ]} se hizo añicos en la década de 1970 cuando se inventaron la criptografía de clave pública y el criptosistema RSA , utilizando los números primos como base. ^{[ 31 ]}

La creciente importancia práctica de las pruebas de primalidad y factorización computarizadas condujo al desarrollo de métodos mejorados capaces de manejar grandes cantidades de forma no restringida. ^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]} La teoría matemática de los números primos también avanzó con el teorema de Green-Tao (2004) que establece que existen progresiones aritméticas arbitrariamente largas de números primos, y la demostración de Yitang Zhang (2013) de que existen infinitos huecos primos de tamaño acotado. ^{[ 34 ]}

La mayoría de los primeros griegos ni siquiera consideraban al 1 como un número, ^{[ 35 ] [ 36 ]} por lo que no podían considerar su primalidad. Algunos eruditos en la tradición griega y posteriormente romana, incluidos Nicómaco , Jámblico , Boecio y Casiodoro , también consideraban los números primos como una subdivisión de los números impares, por lo que tampoco consideraban al ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ como primo. Sin embargo, Euclides y la mayoría de los demás matemáticos griegos consideraban al ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ como primo. Los matemáticos islámicos medievales siguieron en gran medida a los griegos al considerar al 1 como no un número. ^{[ 35 ]} En la Edad Media y el Renacimiento, los matemáticos comenzaron a tratar al 1 como un número, y en el siglo XVII algunos de ellos lo incluyeron como el primer número primo. ^{[ 37 ]} A mediados del siglo XVIII, Christian Goldbach enumeró al 1 como primo en su correspondencia con Leonhard Euler ; ^{[ 38 ]} Sin embargo, el propio Euler no consideraba al 1 como primo. ^{[ 39 ]} Muchos matemáticos del siglo XIX todavía consideraban al 1 como primo, ^{[ 40 ]} y Derrick Norman Lehmer incluyó el 1 en su lista de primos menores de diez millones publicada en 1914. ^{[ 41 ]} Las listas de primos que incluían el 1 continuaron publicándose hasta 1956. ^{[ 42 ] [ 43 ]} Sin embargo, a principios del siglo XX los matemáticos comenzaron a estar de acuerdo en que el 1 no debía figurar como primo, sino en su propia categoría especial como una " unidad ". ^{[ 40 ]}

Si el 1 se considerara un número primo, muchas afirmaciones que involucran primos tendrían que reformularse de forma incómoda. Por ejemplo, el teorema fundamental de la aritmética tendría que reformularse en términos de factorizaciones en primos mayores que 1, porque cada número tendría múltiples factorizaciones con cualquier número de copias de 1. ^{[ 40 ] [ 44 ]} De manera similar, la criba de Eratóstenes no funcionaría correctamente si tratara el 1 como un primo, porque eliminaría todos los múltiplos de 1 (es decir, todos los demás números) y produciría solo el número 1. ^{[ 43 ]} Algunas otras propiedades más técnicas de los números primos tampoco se cumplen para el número 1: por ejemplo, las fórmulas para la función totiente de Euler o para la función suma de divisores son diferentes para los números primos que para el 1. ^{[ 45 ]}

Escribir un número como producto de números primos se llama factorización prima del número. ^{[ 46 ]} Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}50&=2\times 5\times 5\\&=2\times 5^{2}.\end{aligned}}}$

Los términos del producto se denominan factores primos . Un mismo factor primo puede aparecer más de una vez; este ejemplo tiene dos copias del factor primo. Cuando un número primo aparece varias veces, se puede utilizar la exponenciación para agrupar varias copias del mismo número primo: por ejemplo, en la segunda forma de escribir el producto anterior, denota el cuadrado o segunda potencia de ⁠ ⁠ . ^{[ 46 ]}${\displaystyle 5.}$${\displaystyle 5^{2}}$${\displaystyle 5}$

La importancia central de los números primos para la teoría de números y las matemáticas en general radica en el teorema fundamental de la aritmética . ^{[ 47 ]} Este teorema establece que todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de uno o más números primos. Más aún, este producto es único en el sentido de que dos factorizaciones primas cualesquiera del mismo número tendrán la misma cantidad de copias de los mismos primos, aunque su orden puede ser diferente. ^{[ 48 ]} Por lo tanto, aunque existen muchas maneras diferentes de encontrar una factorización utilizando un algoritmo de factorización de enteros , todas deben producir el mismo resultado. Los primos pueden considerarse, por lo tanto, los "bloques de construcción básicos" de los números naturales. ^{[ 49 ]}

Algunas pruebas de la unicidad de las factorizaciones primas se basan en el lema de Euclides : Si ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ es un número primo y ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ divide un producto de enteros ⁠ ⁠ y entonces ⁠ ⁠ divide a ⁠ ⁠ o ⁠ ⁠ divide a ⁠ ⁠ (o ambos). ^{[ 50 ]} Recíprocamente, si un número ⁠ ⁠ tiene la propiedad de que cuando divide un producto siempre divide al menos un factor del producto, entonces ⁠ ⁠ debe ser primo. ^{[ 51 ]}${\displaystyle ab}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b,}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$${\displaystyle b}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Hay infinitos números primos. Otra forma de decirlo es que la secuencia

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,...}$

La infinitud de los números primos es infinita. Esta afirmación se conoce como el teorema de Euclides en honor al antiguo matemático griego Euclides , ya que se le atribuye la primera demostración conocida. Se conocen muchas más demostraciones de la infinitud de los números primos, incluyendo una demostración analítica de Euler , la demostración de Goldbach basada en los números de Fermat , ^{[ 52 ]} la demostración de Furstenberg utilizando topología general , ^{[ 53 ]} y la demostración de Kummer por contradicción . ^{[ 54 ] [ 55 ]}

La demostración de Euclides muestra que toda lista finita de primos es incompleta. ^{[ 56 ]} La idea clave es multiplicar los primos de cualquier lista dada y sumar Si la lista consta de los primos, esto da el número ${\displaystyle 1.}$${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n},}$

${\displaystyle N=1+p_{1}\cdot p_{2}\cdots p_{n}.}$

Por el teorema fundamental de la aritmética, ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ tiene una factorización prima.

${\displaystyle N=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdots p'_{m}}$

con uno o más factores primos. ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ es divisible exactamente por cada uno de estos factores, pero ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ tiene un resto de uno cuando se divide por cualquiera de los números primos de la lista dada, por lo que ninguno de los factores primos de ⁠ ⁠${\displaystyle N}$ puede estar en la lista dada. Como no existe una lista finita de todos los números primos, debe haber infinitos primos.

Los números formados al sumar uno a los productos de los primos más pequeños se llaman números euclidianos . ^{[ 57 ]} Los primeros cinco de ellos son primos, pero el sexto,

${\displaystyle 1+{\big (}2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13{\big )}=30031=59\cdot 509,}$

es un número compuesto.

No se conoce ninguna fórmula eficiente para los números primos. Por ejemplo, no existe ningún polinomio no constante , ni siquiera en varias variables, que solo tome valores primos. ^{[ 58 ]} Sin embargo, existen numerosas expresiones que sí codifican todos los números primos, o solo los primos. Una posible fórmula se basa en el teorema de Wilson y genera el número 2 muchas veces y todos los demás primos exactamente una vez. ^{[ 59 ]} También existe un conjunto de ecuaciones diofánticas en nueve variables y un parámetro con la siguiente propiedad: el parámetro es primo si y solo si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto puede utilizarse para obtener una única fórmula con la propiedad de que todos sus valores positivos son primos. ^{[ 58 ]}

Otros ejemplos de fórmulas generadoras de números primos provienen del teorema de Mills y de un teorema de Wright . Estos afirman que existen constantes reales y tales que ${\displaystyle A>1}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor {\text{ and }}\left\lfloor 2^{\cdots ^{2^{2^{\mu }}}}\right\rfloor }$

son primos para cualquier número natural ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ en la primera fórmula, y cualquier número de exponentes en la segunda fórmula. ^{[ 60 ]} Aquí representa la función piso , el entero más grande menor o igual al número en cuestión. Sin embargo, estos no son útiles para generar primos, ya que los primos deben generarse primero para poder calcular los valores de ⁠ ⁠ o ^{[ 58 ]}${\displaystyle \lfloor {}\cdot {}\rfloor }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu .}$

Se han planteado muchas conjeturas que giran en torno a los números primos. A menudo con una formulación elemental, muchas de estas conjeturas han resistido la demostración durante décadas: los cuatro problemas de Landau de 1912 siguen sin resolverse. ^{[ 61 ]} Una de ellas es la conjetura de Goldbach , que afirma que todo entero par ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ mayor que ⁠ ⁠${\displaystyle 2}$ puede escribirse como una suma de dos primos. ^{[ 62 ]} A partir de 2014, esta conjetura ha sido verificada para todos los números hasta ^{[ 63 ]} Se han demostrado afirmaciones más débiles que esta; por ejemplo, el teorema de Vinogradov dice que todo entero impar suficientemente grande puede escribirse como una suma de tres primos. ^{[ 64 ]} El teorema de Chen dice que todo número par suficientemente grande puede expresarse como la suma de un primo y un semiprimo (el producto de dos primos). ^{[ 65 ]} Además, cualquier entero par mayor que 10 puede escribirse como la suma de seis primos. ^{[ 66 ]} La rama de la teoría de números que estudia tales cuestiones se llama teoría aditiva de números . ^{[ 67 ]}${\displaystyle n=4\cdot 10^{18}.}$

Otro tipo de problema se refiere a las brechas de primos , las diferencias entre primos consecutivos. La existencia de brechas de primos arbitrariamente grandes se puede ver al notar que la secuencia consta de números compuestos, para cualquier número natural ^{[ 68 ]} Sin embargo, las brechas de primos grandes ocurren mucho antes de lo que muestra este argumento. ^{[ 69 ]} Por ejemplo, la primera brecha de primos de longitud 8 está entre los primos 89 y 97, ^{[ 70 ]} mucho menor que Se conjetura que hay infinitos primos gemelos , pares de primos con diferencia 2; esta es la conjetura de los primos gemelos . La conjetura de Polignac afirma de manera más general que para cada entero positivo hay infinitos pares de primos consecutivos que difieren en ^{[ 71 ]} La conjetura de Andrica , ^{[ 71 ]} la conjetura de Brocard , ^{[ 72 ]} la conjetura de Legendre , ^{[ 73 ]} y la conjetura de Oppermann ^{[ 72 ]} sugieren que las mayores brechas entre primos de 1 a ⁠ ⁠ deberían ser como máximo aproximadamente un resultado que se sabe que se deriva de la hipótesis de Riemann, mientras que la conjetura de Cramér, mucho más fuerte, establece el tamaño de brecha más grande en ⁠ ⁠ . ^{[ 71 ]} Las brechas de primos se pueden generalizar a ⁠ ⁠ -tuplas de primos , patrones en las diferencias entre más de dos números primos. Su infinitud y densidad son el tema de la primera conjetura de Hardy-Littlewood , que puede motivarse por la heurística de que los números primos se comportan de manera similar a una secuencia aleatoria de números con una densidad dada por el teorema de los números primos. ^{[ 74 ]}${\displaystyle n!+2,n!+3,\dots ,n!+n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle 8!=40320.}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle 2k.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {n}},}$${\displaystyle O((\log n)^{2})}$${\displaystyle k}$

La teoría analítica de números estudia la teoría de números a través del prisma de las funciones continuas , los límites , las series infinitas y las matemáticas relacionadas con lo infinito y lo infinitesimal .

Esta área de estudio comenzó con Leonhard Euler y su primer resultado importante: la solución al problema de Basilea . El problema pedía el valor de la suma infinita que hoy se reconoce como el valor de la función zeta de Riemann . Esta función está estrechamente relacionada con los números primos y con uno de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas: la hipótesis de Riemann . Euler demostró que ⁠ ⁠ . ^{[ 75 ]} El recíproco de este número, ⁠ ⁠ , es la probabilidad límite de que dos números aleatorios seleccionados uniformemente de un amplio rango sean primos relativos (no tengan factores comunes). ^{[ 76 ]}${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\dots ,}$${\displaystyle \zeta (2)}$${\displaystyle \zeta (2)=\pi ^{2}/6}$${\displaystyle 6/\pi ^{2}}$

La distribución de los números primos en el amplio conjunto, como la cuestión de cuántos primos son menores que un umbral grande dado, se describe mediante el teorema de los números primos , pero no se conoce ninguna fórmula eficiente para el -ésimo${\displaystyle n}$ primo . El teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas , en su forma básica, afirma que los polinomios lineales

${\displaystyle p(n)=a+bn}$

con enteros relativamente primos y toman ${\displaystyle a}$infinitos valores primos${\displaystyle b}$ . Aunque se han formulado conjeturas sobre las proporciones de primos en polinomios de grado superior, siguen sin probarse, y se desconoce si existe un polinomio cuadrático que (para argumentos enteros) sea primo infinitas veces .

La demostración de Euler de que existen infinitos números primos considera las sumas de los recíprocos de los números primos,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots +{\frac {1}{p}}.}$

Euler demostró que, para cualquier número real arbitrario ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ , existe un primo ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ para el cual esta suma es mayor que ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ . ^{[ 77 ]} Esto demuestra que hay infinitos primos, porque si hubiera un número finito de primos, la suma alcanzaría su valor máximo en el primo más grande en lugar de crecer más allá de cada  ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ . La tasa de crecimiento de esta suma se describe con mayor precisión mediante el segundo teorema de Mertens . ^{[ 78 ]} Para comparar, la suma

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}}$

no crece hasta el infinito cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ tiende al infinito (véase el problema de Basilea ). En este sentido, los números primos aparecen con más frecuencia que los cuadrados de los números naturales, aunque ambos conjuntos son infinitos. ^{[ 79 ]} El teorema de Brun establece que la suma de los recíprocos de primos gemelos ,

${\displaystyle \left({{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}}\right)+\left({{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}}\right)+\left({{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}}\right)+\cdots ,}$

es finito. Debido al teorema de Brun, no es posible utilizar el método de Euler para resolver la conjetura de los primos gemelos , que afirma que existen infinitos primos gemelos. ^{[ 79 ]}

La función de conteo de primos se define como el número de primos no mayores que ⁠ ⁠ . ^{[ 80 ]} Por ejemplo, ⁠ ⁠ , ya que hay cinco primos menores o iguales a 11. Métodos como el algoritmo de Meissel-Lehmer pueden calcular valores exactos de más rápido de lo que sería posible enumerar cada primo hasta ⁠ ⁠ . ^{[ 81 ]} El teorema de los números primos establece que es asintótico a ⁠ ⁠ , que se denota como ${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (11)=5}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n/\log n}$

${\displaystyle \pi (n)\sim {\frac {n}{\log n}},}$

y significa que la razón de a la fracción de la derecha se aproxima a 1 a medida que ⁠ ⁠ crece hacia el infinito. ^{[ 82 ]} Esto implica que la probabilidad de que un número elegido al azar menor que ⁠ ⁠ sea primo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de dígitos en  ⁠ ⁠ . ^{[ 83 ]} También implica que el ⁠ ⁠ -ésimo número primo es proporcional a ^{[ 84 ]} y, por lo tanto, que el tamaño promedio de una brecha prima es proporcional a ⁠ ⁠ . ^{[ 69 ]} Una estimación más precisa para viene dada por la integral logarítmica desplazada ^{[ 82 ]}${\displaystyle \pi (n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n\log n}$${\displaystyle \log n}$${\displaystyle \pi (n)}$

${\displaystyle \pi (n)\sim \operatorname {Li} (n)=\int _{2}^{n}{\frac {dt}{\log t}}.}$

An arithmetic progression is a finite or infinite sequence of numbers such that consecutive numbers in the sequence all have the same difference.^[85] This difference is called the modulus of the progression.^[86] For example,

${\displaystyle 3,12,21,30,39,...,}$

is an infinite arithmetic progression with modulus 9. In an arithmetic progression, all the numbers have the same remainder when divided by the modulus; in this example, the remainder is 3. Because both the modulus 9 and the remainder 3 are multiples of 3, so is every element in the sequence. Therefore, this progression contains only one prime number, 3 itself. In general, the infinite progression

${\displaystyle a,a+q,a+2q,a+3q,\dots }$

can have more than one prime only when its remainder ⁠${\displaystyle a}$⁠ and modulus ⁠${\displaystyle q}$⁠ are relatively prime. If they are relatively prime, Dirichlet's theorem on arithmetic progressions asserts that the progression contains infinitely many primes.^[87]

Primes in the arithmetic progressions modulo 9. Each row of the thin horizontal band shows one of the nine possible progressions mod 9, with prime numbers marked in red. The progressions of numbers that are 0, 3, or 6 mod 9 contain at most one prime number (the number 3); the remaining progressions of numbers that are 1, 2, 4, 5, 7, and 8 mod 9 have infinitely many prime numbers, with similar numbers of primes in each progression.

The Green–Tao theorem shows that there are arbitrarily long finite arithmetic progressions consisting only of primes.^[34][88]

Euler noted that the function

${\displaystyle n^{2}-n+41}$

yields prime numbers for ⁠${\displaystyle 1\leq n\leq 40}$⁠, although composite numbers appear among its later values.^[89][90] The search for an explanation for this phenomenon led to the deep algebraic number theory of Heegner numbers and the class number problem.^[91] The Hardy–Littlewood conjecture F predicts the density of primes among the values of quadratic polynomials with integer coefficients in terms of the logarithmic integral and the polynomial coefficients. No quadratic polynomial has been proven to take infinitely many prime values.^[92]

La espiral de Ulam ^{[ 93 ]} organiza los números naturales en una cuadrícula bidimensional, formando espirales concéntricas alrededor del origen, con los números primos resaltados. Visualmente, los primos parecen agruparse en ciertas diagonales y no en otras, lo que sugiere que algunos polinomios cuadráticos toman valores primos con más frecuencia que otros. ^{[ 92 ]}

El matemático ruso Viktor Bunyakovsky conjeturó en 1857 que cualquier polinomio de una variable con coeficientes enteros produciría infinitos números primos en la secuencia . Un polinomio debe cumplir las condiciones de que su coeficiente principal sea positivo, sea irreducible sobre los racionales y el valor de dicha secuencia no tenga ningún factor común mayor que 1. Esta conjetura fue generalizada por la hipótesis H del matemático polaco Andrzej Schinzel , y posteriormente extendida a polinomios de varias variables en la conjetura de Dickson y luego en la conjetura de Bateman-Horn . ^{[ 94 ]}${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(1),f(2),f(3),\dots }$

Una de las preguntas sin resolver más famosas de las matemáticas, que data de 1859, y uno de los Problemas del Premio del Milenio , es la hipótesis de Riemann , que pregunta dónde se encuentran los ceros de la función zeta de Riemann . Esta función es una función analítica en los números complejos . ^{[ 95 ]} Para números complejos con parte real mayor que uno, es igual a una suma infinita sobre todos los enteros y a un producto infinito sobre los números primos. Esta igualdad entre una suma y un producto, descubierta por Euler, se llama producto de Euler . ^{[ 96 ]} El producto de Euler se puede derivar del teorema fundamental de la aritmética y muestra la estrecha conexión entre la función zeta y los números primos. ^{[ 97 ]} Esto lleva a otra prueba de que hay infinitos números primos: si solo hubiera un número finito, entonces la igualdad suma-producto también sería válida en ⁠ ⁠ , pero la suma divergiría (es la serie armónica ⁠ ⁠ ) mientras que el producto sería finito, una contradicción. ^{[ 98 ]}${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle s}$$${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}.}$$${\displaystyle s=1}$${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dots }$

La hipótesis de Riemann establece que los ceros de la función zeta son todos números pares negativos o números complejos con parte real igual a 1/2. ^{[ 99 ]} La demostración original del teorema de los números primos se basó en una forma débil de esta hipótesis, que no hay ceros con parte real igual a 1, ^{[ 100 ] [ 101 ]} aunque se han encontrado otras demostraciones más elementales. ^{[ 102 ]} La función de conteo de primos puede expresarse mediante la fórmula explícita de Riemann como una suma en la que cada término proviene de uno de los ceros de la función zeta; el término principal de esta suma es la integral logarítmica, y los términos restantes hacen que la suma fluctúe por encima y por debajo del término principal. ^{[ 103 ]} En este sentido, los ceros controlan la regularidad con que se distribuyen los números primos. Si la hipótesis de Riemann es cierta, estas fluctuaciones serán pequeñas, y la distribución asintótica de los números primos dada por el teorema de los números primos también se cumplirá en intervalos mucho más cortos (de longitud aproximadamente la raíz cuadrada de ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ para intervalos cercanos a un número ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ ). ^{[ 101 ]}

La aritmética modular modifica la aritmética usual usando solo los números ⁠ ⁠${\displaystyle \{0,1,2,\dots ,n-1\}}$ , para un número natural ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ llamado módulo. Cualquier otro número natural puede ser mapeado en este sistema reemplazándolo por su resto después de la división por ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . ^{[ 104 ]} Las sumas, diferencias y productos modulares se calculan realizando el mismo reemplazo por el resto en el resultado de la suma, diferencia o producto usual de enteros. ^{[ 105 ]} La igualdad de enteros corresponde a la congruencia en la aritmética modular: ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ son congruentes (escrito mod ⁠ ⁠ ) cuando tienen el mismo resto después de la división por ⁠ ⁠ . ^{[ 106 ]} En este sistema de números, la división por todos los números distintos de cero es posible si y solo si el módulo es primo. Por ejemplo, con el número primo 7 como módulo, la división por 3 es posible: ⁠ ⁠ , porque al eliminar los denominadores multiplicando ambos lados por 3 se obtiene la fórmula válida ⁠ ⁠ . Sin embargo, con el módulo compuesto 6, la división por 3 es imposible. No hay una solución válida para : al eliminar los denominadores multiplicando por 3, el lado izquierdo se convierte en 2, mientras que el lado derecho se convierte en 0 o 3. En la terminología del álgebra abstracta , la capacidad de realizar la división significa que la aritmética modular módulo un número primo forma un cuerpo o, más específicamente, un cuerpo finito , mientras que otros módulos solo dan un anillo , pero no un cuerpo. ^{[ 107 ]}${\displaystyle x\equiv y}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2/3\equiv 3{\bmod {7}}}$${\displaystyle 2\equiv 9{\bmod {7}}}$${\displaystyle 2/3\equiv x{\bmod {6}}}$

Se pueden formular varios teoremas sobre números primos utilizando aritmética modular. Por ejemplo, el pequeño teorema de Fermat establece que si (mod ⁠ ⁠ ), entonces (mod ⁠ ⁠ ). ^{[ 108 ]} Sumando esto sobre todas las opciones de ⁠ ⁠ se obtiene la ecuación ${\displaystyle a\not \equiv 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \sum _{a=1}^{p-1}a^{p-1}\equiv (p-1)\cdot 1\equiv -1{\pmod {p}},}$

válido siempre que ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ sea primo. La conjetura de Giuga dice que esta ecuación también es una condición suficiente para que ⁠ ⁠${\displaystyle p}$ sea primo. ^{[ 109 ]} El teorema de Wilson dice que un entero es primo si y solo si el factorial es congruente con módulo ⁠ ⁠ . Para un número compuesto  ⁠ ⁠ esto no puede cumplirse, ya que uno de sus factores divide tanto a n como a ⁠ ⁠ , y por lo tanto es imposible. ^{[ 110 ]}${\displaystyle p>1}$${\displaystyle (p-1)!}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n=r\cdot s}$${\displaystyle (n-1)!}$${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$

El orden -ádico${\displaystyle p}$ de un entero es el número de copias de en la factorización prima de . El mismo concepto se puede extender de enteros a números racionales definiendo el orden -ádico de una fracción como . El valor absoluto -ádico de cualquier número racional se define entonces como . Multiplicar un entero por su valor absoluto -ádico cancela los factores de en su factorización, dejando solo los otros primos. Así como la distancia entre dos números reales se puede medir por el valor absoluto de su diferencia, la distancia entre dos números racionales se puede medir por su distancia -ádica , el valor absoluto -ádico de su diferencia . Para esta definición de distancia, dos números están cerca (tienen una distancia pequeña) cuando su diferencia es divisible por una potencia alta de ⁠ ⁠ . De la misma manera que los números reales pueden formarse a partir de los números racionales y sus distancias, añadiendo valores límite adicionales para formar un cuerpo completo , los números racionales con la distancia ⁠ ⁠ -ádica pueden extenderse a un cuerpo completo diferente, los números ⁠ ⁠ -ádicos . ^{[ 111 ] [ 112 ]}${\displaystyle \nu _{p}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m/n}$${\displaystyle \nu _{p}(m)-\nu _{p}(n)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |q|_{p}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \vert q\vert _{p}=p^{-\nu _{p}(q)}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

Esta imagen de un orden, valor absoluto y cuerpo completo derivado de ellos puede generalizarse a cuerpos de números algebraicos y sus valoraciones (ciertos mapeos del grupo multiplicativo del cuerpo a un grupo aditivo totalmente ordenado , también llamados órdenes), valores absolutos (ciertos mapeos multiplicativos del cuerpo a los números reales, también llamados normas ), ^{[ 111 ]} y lugares (extensiones a cuerpos completos en los que el cuerpo dado es un conjunto denso , también llamados completaciones). ^{[ 113 ]} La extensión de los números racionales a los números reales , por ejemplo, es un lugar en el que la distancia entre números es el valor absoluto usual de su diferencia. El mapeo correspondiente a un grupo aditivo sería el logaritmo del valor absoluto, aunque esto no cumple todos los requisitos de una valoración. Según el teorema de Ostrowski , salvo una noción natural de equivalencia, los números reales y los números -ádicos${\displaystyle p}$ , con sus órdenes y valores absolutos, son las únicas valoraciones, valores absolutos y lugares en los números racionales. ^{[ 111 ]} El principio local-global permite resolver ciertos problemas sobre los números racionales mediante la combinación de soluciones de cada uno de sus lugares, lo que subraya nuevamente la importancia de los primos para la teoría de números. ^{[ 114 ]}

Un anillo conmutativo es una estructura algebraica donde se definen la suma, la resta y la multiplicación. Los números enteros son un anillo, y los números primos en los enteros se han generalizado a anillos de dos maneras diferentes: elementos primos y elementos irreducibles . Un elemento de un${\displaystyle p}$ anillo se llama${\displaystyle R}$ primo si es distinto de cero, no tiene inverso multiplicativo (es decir, no es una unidad ) y satisface el siguiente requisito: siempre que divida el${\displaystyle p}$ producto de dos elementos de , también divide al menos a uno de o . Un elemento es irreducible si no es ni una unidad ni el producto de otros dos elementos que no son unidades. En el anillo de los enteros, los elementos primos e irreducibles forman el mismo conjunto .${\displaystyle xy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \{\dots ,-11,-7,-5,-3,-2,2,3,5,7,11,\dots \}\,.}$

En un anillo arbitrario, todos los elementos primos son irreducibles. Lo contrario no se cumple en general, pero sí para dominios de factorización únicos . ^{[ 115 ]}

El teorema fundamental de la aritmética sigue siendo válido (por definición) en dominios de factorización única. Un ejemplo de tal dominio son los enteros gaussianos ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ , el anillo de números complejos de la forma donde ⁠ ⁠ denota la unidad imaginaria y ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ son enteros arbitrarios. Sus elementos primos se conocen como primos gaussianos . No todo número que es primo entre los enteros sigue siendo primo en los enteros gaussianos; por ejemplo, el número 2 se puede escribir como un producto de los dos primos gaussianos y ⁠ ⁠ . Los primos racionales (los elementos primos en los enteros) congruentes con 3 mod 4 son primos gaussianos, pero los primos racionales congruentes con 1 mod 4 no lo son. ^{[ 116 ]} Esto es una consecuencia del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados , que establece que un primo impar ⁠ ⁠ se puede expresar como la suma de dos cuadrados, ⁠ ⁠ , y por lo tanto factorizable como ⁠ ⁠ , exactamente cuando ⁠ ⁠ es 1 mod 4. ^{[ 117 ]}${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle 1-i}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy)}$${\displaystyle p}$

No todos los anillos son dominios de factorización única. Por ejemplo, en el anillo de números (para enteros ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ ) el número tiene dos factorizaciones ⁠ ⁠ , donde ninguno de los cuatro factores puede reducirse más, por lo que no tiene una factorización única. Para extender la factorización única a una clase más grande de anillos, la noción de un número puede reemplazarse por la de un ideal , un subconjunto de los elementos de un anillo que contiene todas las sumas de pares de sus elementos y todos los productos de sus elementos con elementos del anillo. Los ideales primos , que generalizan los elementos primos en el sentido de que el ideal principal generado por un elemento primo es un ideal primo, son una herramienta y objeto de estudio importante en álgebra conmutativa , teoría algebraica de números y geometría algebraica . Los ideales primos del anillo de enteros son los ideales ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... El teorema fundamental de la aritmética se generaliza al teorema de Lasker-Noether , que expresa cada ideal en un anillo conmutativo noetheriano como una intersección de ideales primarios , que son las generalizaciones apropiadas de las potencias primas . ^{[ 118 ]}${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 21}$${\displaystyle 21=3\cdot 7=(1+2{\sqrt {-5}})(1-2{\sqrt {-5}})}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle (2)}$${\displaystyle (3)}$${\displaystyle (5)}$${\displaystyle (7)}$${\displaystyle (11)}$

El espectro de un anillo es un espacio geométrico cuyos puntos son los ideales primos del anillo. ^{[ 119 ]} La geometría aritmética también se beneficia de esta noción, y existen muchos conceptos tanto en geometría como en teoría de números. Por ejemplo, la factorización o ramificación de ideales primos cuando se elevan a un cuerpo de extensión , un problema básico de la teoría algebraica de números, guarda cierta semejanza con la ramificación en geometría . Estos conceptos pueden incluso ayudar en cuestiones de teoría de números que se ocupan exclusivamente de enteros. Por ejemplo, los ideales primos en el anillo de enteros de cuerpos de números cuadráticos se pueden usar para demostrar la reciprocidad cuadrática , una afirmación que se refiere a la existencia de raíces cuadradas módulo números primos enteros. ^{[ 120 ]} Los primeros intentos de demostrar el Último Teorema de Fermat llevaron a la introducción por parte de Kummer de los primos regulares , números primos enteros relacionados con el fallo de la factorización única en los enteros ciclotómicos . ^{[ 121 ]} La cuestión de cuántos números primos enteros se factorizan en un producto de múltiples ideales primos en un cuerpo numérico algebraico se aborda mediante el teorema de densidad de Chebotarev , que (cuando se aplica a los enteros ciclotómicos) tiene como caso especial el teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas. ^{[ 122 ]}

En la teoría de grupos finitos, los teoremas de Sylow implican que, si una potencia de un número primo divide el orden de un grupo , entonces el grupo tiene un subgrupo de orden . Por el teorema de Lagrange , cualquier grupo de orden primo es un grupo cíclico , y por el teorema de Burnside, cualquier grupo cuyo orden sea divisible solo por dos primos es resoluble . ^{[ 123 ]}${\displaystyle p^{n}}$${\displaystyle p^{n}}$

Durante mucho tiempo, la teoría de números en general, y el estudio de los números primos en particular, se consideraron el ejemplo canónico de las matemáticas puras, sin aplicaciones fuera de las matemáticas ^{[ c ]} salvo el uso de dientes de engranajes con números primos para distribuir el desgaste de manera uniforme. ^{[ 124 ]} En particular, teóricos de números como el matemático británico G. H. Hardy se enorgullecían de realizar un trabajo que no tenía absolutamente ninguna importancia militar. ^{[ 125 ]}

Esta visión de la pureza de la teoría de números se hizo añicos en la década de 1970, cuando se anunció públicamente que los números primos podían usarse como base para la creación de algoritmos de criptografía de clave pública . ^{[ 31 ]} Estas aplicaciones han llevado a un estudio significativo de algoritmos para computación con números primos, y en particular de pruebas de primalidad , métodos para determinar si un número dado es primo. La rutina de prueba de primalidad más básica, la división por ensayo, es demasiado lenta para ser útil para números grandes. Un grupo de pruebas de primalidad modernas es aplicable a números arbitrarios, mientras que hay pruebas más eficientes disponibles para números de tipos especiales. La mayoría de las pruebas de primalidad solo dicen si su argumento es primo o no. Las rutinas que también proporcionan un factor primo de argumentos compuestos (o todos sus factores primos) se llaman algoritmos de factorización . Los números primos también se usan en computación para sumas de verificación , tablas hash y generadores de números pseudoaleatorios .

El método más básico para comprobar la primalidad de un entero dado se${\displaystyle n}$ llama división por tanteo . Este método divide a por${\displaystyle n}$ cada entero desde 2 hasta la raíz cuadrada de .${\displaystyle n}$ Cualquier entero que divida a de forma exacta${\displaystyle n}$ establece que ${\displaystyle n}$es compuesto ; de lo contrario , es primo . Los enteros mayores que la raíz cuadrada no necesitan comprobarse porque, siempre que , uno${\displaystyle n=a\cdot b}$ de los dos factores y es${\displaystyle a}$ menor o igual que la raíz cuadrada de . Otra optimización es comprobar solo los primos como factores en este rango . ^{[ 126 ]} Por ejemplo, para comprobar si 37 es primo, este método lo divide por los primos en el rango de 2 a ⁠ ⁠ , que son 2, 3 y 5. Cada división produce un resto distinto de cero, por lo que 37 es efectivamente primo. ${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {37}}}$

Aunque este método es sencillo de describir, resulta poco práctico para comprobar la primalidad de enteros grandes, ya que el número de pruebas que realiza crece exponencialmente en función del número de dígitos de estos enteros. ^{[ 127 ]} Sin embargo, la división por tanteo se sigue utilizando, con un límite menor que la raíz cuadrada en el tamaño del divisor, para descubrir rápidamente números compuestos con factores pequeños, antes de aplicar métodos más complejos a los números que superan este filtro. ^{[ 128 ]}

Antes de la llegada de las computadoras, era común imprimir tablas matemáticas que enumeraban todos los números primos o factorizaciones primas hasta un límite dado. ^{[ 129 ]} El método más antiguo conocido para generar una lista de números primos se llama la criba de Eratóstenes. ^{[ 130 ]} La animación muestra una variante optimizada de este método. ^{[ 131 ]} Otro método de cribado más eficiente asintóticamente para el mismo problema es la criba de Atkin . ^{[ 132 ]} En matemáticas avanzadas, la teoría de cribas aplica métodos similares a otros problemas. ^{[ 133 ]}

Algunas de las pruebas modernas más rápidas para determinar si un número arbitrario dado es primo${\displaystyle n}$ son algoritmos probabilísticos (o de Monte Carlo ), lo que significa que tienen una pequeña probabilidad aleatoria de producir una respuesta incorrecta. ^{[ 134 ]} Por ejemplo, la prueba de primalidad de Solovay-Strassen en${\displaystyle p}$ un número dado elige un número al${\displaystyle a}$ azar de 2 a y utiliza la exponenciación modular para comprobar si es divisible por . ^{[ d ]} Si es así, responde que sí y, de lo contrario, responde que no. Si realmente es primo , siempre responderá que sí, pero si es compuesto, entonces responde que sí con una probabilidad como máximo de 1/2 y que no con una probabilidad de al menos 1/2. ^{[ 135 ]} Si esta prueba se repite ⁠ ⁠ veces en el mismo número, la probabilidad de que un número compuesto pueda pasar la prueba cada vez es como máximo ⁠ ⁠ . Debido a que esta disminuye exponencialmente con el número de pruebas, proporciona una alta confianza (aunque no certeza) de que un número que pasa la prueba repetida es primo. Por otro lado, si la prueba alguna vez falla, entonces el número es ciertamente compuesto. ^{[ 136 ]} Un número compuesto que pasa dicha prueba se llama pseudoprimo . ^{[ 135 ]}${\displaystyle p-2}$${\displaystyle a^{(p-1)/2}\pm 1}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 1/2^{n}}$

En contraste, algunos otros algoritmos garantizan que su respuesta siempre será correcta: los números primos siempre se determinarán como primos y los compuestos siempre se determinarán como compuestos. Por ejemplo, esto es cierto para la división por tanteo. Los algoritmos con salida correcta garantizada incluyen tanto algoritmos deterministas (no aleatorios), como la prueba de primalidad AKS , ^{[ 137 ]} y algoritmos aleatorios de Las Vegas donde las elecciones aleatorias hechas por el algoritmo no afectan su respuesta final, como algunas variaciones de la prueba de primalidad de curva elíptica . ^{[ 134 ]} Cuando el método de curva elíptica concluye que un número es primo, proporciona un certificado de primalidad que se puede verificar rápidamente. ^{[ 138 ]} La prueba de primalidad de curva elíptica es la más rápida en la práctica de las pruebas de primalidad correctas garantizadas, pero solo tiene argumentos heurísticos para su rápido rendimiento en lugar de pruebas rigurosas. Se ha demostrado que la prueba de primalidad AKS se ejecuta en tiempo polinomial , pero con un exponente polinomial mayor, lo que la hace más lenta en la práctica que la prueba de curva elíptica. ^{[ 139 ]} Estos métodos se pueden utilizar para generar grandes números primos aleatorios, generando y probando números aleatorios hasta encontrar uno que sea primo; al hacer esto, una prueba probabilística más rápida puede eliminar rápidamente la mayoría de los números compuestos antes de que se utilice un algoritmo de corrección garantizada para verificar que los números restantes son primos. ^{[ e ]}

La siguiente tabla enumera algunas de estas pruebas. Su tiempo de ejecución se da en términos de ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , el número a probar y, para algoritmos probabilísticos, el número ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ de pruebas realizadas. Además, es un número positivo arbitrariamente pequeño, y log es el logaritmo en una base no especificada. La notación O grande significa que cada límite de tiempo debe multiplicarse por un factor constante para convertirlo de unidades adimensionales a unidades de tiempo; este factor depende de detalles de implementación como el tipo de computadora utilizada para ejecutar el algoritmo, pero no de los parámetros de entrada ⁠ ⁠ y ⁠ ⁠ . ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

Además de las pruebas mencionadas que se aplican a cualquier número natural, algunos números de una forma especial pueden someterse a pruebas de primalidad más rápidamente. Por ejemplo, la prueba de primalidad de Lucas-Lehmer puede determinar si un número de Mersenne (uno menos que una potencia de dos ) es primo, de forma determinista, en el mismo tiempo que una sola iteración de la prueba de Miller-Rabin. ^{[ 144 ]} Por eso, desde 1992 (a octubre de 2024), el primo más grande conocido siempre ha sido un primo de Mersenne. ^{[ 145 ]} Se conjetura que existen infinitos primos de Mersenne. ^{[ 146 ]}

La siguiente tabla muestra los números primos más grandes conocidos de diversos tipos. Algunos de estos primos se han encontrado utilizando computación distribuida . En 2009, el proyecto Great Internet Mersenne Prime Search recibió un premio de 100 000 dólares estadounidenses por descubrir primero un primo con al menos 10 millones de dígitos. ^{[ 147 ]} La Electronic Frontier Foundation también ofrece 150 000 y 250 000 dólares estadounidenses por primos con al menos 100 millones de dígitos y 1000 millones de dígitos, respectivamente. ^{[ 148 ]}

Dado un entero compuesto ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , la tarea de proporcionar uno (o todos) los factores primos se denomina factorización de ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ . Es significativamente más difícil que la prueba de primalidad, ^{[ 156 ]} y aunque se conocen muchos algoritmos de factorización, son más lentos que los métodos de prueba de primalidad más rápidos. La división por tanteo y el algoritmo rho de Pollard se pueden utilizar para encontrar factores muy pequeños de ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ , ^{[ 128 ]} y la factorización de curva elíptica puede ser efectiva cuando ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ tiene factores de tamaño moderado. ^{[ 157 ]} Los métodos adecuados para números arbitrariamente grandes que no dependen del tamaño de sus factores incluyen la criba cuadrática y la criba de campo numérico general . Al igual que con la prueba de primalidad, también hay algoritmos de factorización que requieren que su entrada tenga una forma especial, incluida la criba de campo numérico especial . ^{[ 158 ]} A diciembre de 2019, el número más grande conocido que ha sido factorizado por un algoritmo de propósito general es RSA-240 , que tiene 240 dígitos decimales (795 bits) y es el producto de dos primos grandes. ^{[ 159 ]}

El algoritmo de Shor puede factorizar cualquier número entero en un número polinomial de pasos en una computadora cuántica . ^{[ 160 ]} Sin embargo, la tecnología actual solo puede ejecutar este algoritmo para números muy pequeños. Hasta octubre de 2012, el número más grande que se había factorizado con una computadora cuántica que ejecutaba el algoritmo de Shor era 21. ^{[ 161 ]}

Varios algoritmos de criptografía de clave pública , como RSA y el intercambio de claves Diffie-Hellman , se basan en números primos grandes (los primos de 2048 bits son comunes). ^{[ 162 ]} RSA se basa en la suposición de que es mucho más fácil (es decir, más eficiente) realizar la multiplicación de dos números (grandes) ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ que calcular ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ (supuestos coprimos ) si solo se conoce el producto . ^{[ 31 ]} El intercambio de claves Diffie-Hellman se basa en el hecho de que existen algoritmos eficientes para la exponenciación modular (calcular ⁠ ⁠ ), mientras que la operación inversa (el logaritmo discreto ) se considera un problema difícil. ^{[ 163 ]}${\displaystyle xy}$${\displaystyle a^{b}{\bmod {c}}}$

Los números primos se utilizan frecuentemente en tablas hash . Por ejemplo, el método original de Carter y Wegman para el hash universal se basaba en el cálculo de funciones hash mediante la elección de funciones lineales aleatorias módulo números primos grandes. Carter y Wegman generalizaron este método al hash${\displaystyle k}$ independiente mediante el uso de polinomios de grado superior, también módulo números primos grandes. ^{[ 164 ]} Además de en la función hash, los números primos se utilizan para el tamaño de la tabla hash en tablas hash basadas en sondeo cuadrático para asegurar que la secuencia de sondeo cubra toda la tabla. ^{[ 165 ]}

Algunos métodos de suma de verificación se basan en las matemáticas de los números primos. Por ejemplo, las sumas de verificación utilizadas en los Números Estándar Internacionales de Libro se definen tomando el resto del número módulo 11, un número primo. Debido a que 11 es primo, este método puede detectar tanto errores de un solo dígito como transposiciones de dígitos adyacentes. ^{[ 166 ]} Otro método de suma de verificación, Adler-32 , utiliza la aritmética módulo 65521, el mayor número primo menor que ⁠ ⁠${\displaystyle 2^{16}}$ . ^{[ 167 ]} Los números primos también se utilizan en generadores de números pseudoaleatorios, incluidos los generadores congruenciales lineales ^{[ 168 ]} y el Mersenne Twister . ^{[ 169 ]}

Los números primos son de vital importancia para la teoría de números, pero también tienen muchas aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, como el álgebra abstracta y la geometría elemental. Por ejemplo, es posible colocar números primos de puntos en una cuadrícula bidimensional de manera que no haya tres en línea recta , o de manera que cada triángulo formado por tres de los puntos tenga un área grande . ^{[ 170 ]} Otro ejemplo es el criterio de Eisenstein , una prueba para determinar si un polinomio es irreducible basada en la divisibilidad de sus coeficientes por un número primo y su cuadrado. ^{[ 171 ]}

El concepto de número primo es tan importante que se ha generalizado de diferentes maneras en diversas ramas de las matemáticas. Generalmente, "primo" indica minimalidad o indescomponibilidad, en un sentido apropiado. Por ejemplo, el cuerpo primo de un cuerpo dado es su subcuerpo más pequeño que contiene tanto 0 como 1. Es el cuerpo de los números racionales o un cuerpo finito con un número primo de elementos, de ahí su nombre. ^{[ 172 ]} A menudo, al usar la palabra primo se pretende un segundo significado adicional, a saber, que cualquier objeto puede descomponerse, esencialmente de forma única, en sus componentes primos. Por ejemplo, en la teoría de nudos , un nudo primo es un nudo que es indescomponible en el sentido de que no puede escribirse como la suma conexa de dos nudos no triviales. Cualquier nudo puede expresarse de forma única como una suma conexa de nudos primos. ^{[ 173 ]} La descomposición prima de 3-variedades es otro ejemplo de este tipo. ^{[ 174 ]}

Más allá de las matemáticas y la informática, los números primos tienen posibles conexiones con la mecánica cuántica y se han utilizado metafóricamente en las artes y la literatura. También se han empleado en biología evolutiva para explicar los ciclos de vida de las cigarras .

Los primos de Fermat son primos de la forma

${\displaystyle F_{k}=2^{2^{k}}+1,}$

con un entero no negativo .${\displaystyle k}$ [ ^{175 ] Reciben} su nombre de Pierre de Fermat , quien conjeturó que todos estos números son primos. Los primeros cinco de estos números – 3, 5, 17, 257 y 65,537 – son primos, [ ^{176 ] pero} es compuesto y también lo son todos los demás números de Fermat que se han verificado hasta 2017. ^{[ 177 ]} Un -gono regular es construible usando regla y compás si y solo si los factores primos impares de ( si los hay) son primos de Fermat distintos. ^{[ 176 ]} Asimismo, un ⁠ ⁠ -gono regular puede construirse usando regla, compás y trisectriz de ángulos si y solo si los factores primos de ⁠ ⁠ son cualquier número de copias de 2 o 3 junto con un conjunto (posiblemente vacío) de primos de Pierpont distintos , primos de la forma ⁠ ⁠ . ^{[ 178 ]}${\displaystyle F_{5}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{a}3^{b}+1}$

Es posible particionar cualquier polígono convexo en polígonos convexos más pequeños de ${\displaystyle n}$^igual área e igual perímetro, cuando es${\displaystyle n}$ una potencia de un número primo , pero esto no se conoce para otros valores de . ${\displaystyle n}$^{[ 179} ]

A partir del trabajo de Hugh Montgomery y Freeman Dyson en la década de 1970, matemáticos y físicos han especulado que los ceros de la función zeta de Riemann están conectados a los niveles de energía de los sistemas cuánticos . ^{[ 180 ] [ 181 ]} Los números primos también son significativos en la ciencia de la información cuántica , gracias a estructuras matemáticas como bases mutuamente imparciales y medidas simétricas con valores de operador positivo e información completa . ^{[ 182 ] [ 183 ]}

La estrategia evolutiva empleada por las cigarras del género Magicicada utiliza números primos. ^{[ 184 ]} Estos insectos pasan la mayor parte de su vida como larvas bajo tierra. Solo pupan y emergen de sus madrigueras después de 7, 13 o 17 años, momento en el que vuelan, se reproducen y mueren tras unas pocas semanas como máximo. Los biólogos teorizan que la duración de estos ciclos reproductivos, que son números primos, ha evolucionado para evitar que los depredadores se sincronicen con ellos. ^{[ 185 ] [ 186 ]} En contraste, se hipotetiza que los periodos multianuales entre la floración en las plantas de bambú son números suaves , que solo tienen números primos pequeños en sus factorizaciones. ^{[ 187 ]}

Los números primos han influido en muchos artistas y escritores. El compositor francés Olivier Messiaen utilizó números primos para crear música amétrica a través de «fenómenos naturales». En obras como La Nativité du Seigneur (1935) y Quatre études de rythme (1949-1950), emplea simultáneamente motivos con duraciones dadas por diferentes números primos para crear ritmos impredecibles: los primos 41, 43, 47 y 53 aparecen en el tercer estudio, «Neumes rythmiques». Según Messiaen, esta forma de componer estaba «inspirada en los movimientos de la naturaleza, movimientos de duraciones libres y desiguales». ^{[ 188 ]}

En su novela de ciencia ficción Contacto , el científico Carl Sagan sugirió que la factorización prima podría usarse como un medio para establecer planos de imagen bidimensionales en comunicaciones con extraterrestres, una idea que había desarrollado informalmente con el astrónomo estadounidense Frank Drake en 1975. ^{[ 189 ]} En la novela El curioso incidente del perro a medianoche de Mark Haddon , el narrador organiza las secciones de la historia por números primos consecutivos como una forma de transmitir el estado mental de su personaje principal, un adolescente con talento matemático y síndrome de Asperger . ^{[ 190 ]} Los números primos se usan como metáfora de la soledad y el aislamiento en la novela La soledad de los números primos de Paolo Giordano , en la que se los retrata como "marginados" entre los enteros. ^{[ 191 ]} La película de atracos Sneakers de 1992 presenta un método ficticio para factorizar rápidamente números grandes en primos, rompiendo así los sistemas de cifrado informático. ^{[ 192 ] [ 193 ] [ 194 ]}