Número natural

Los números naturales pueden usarse para responder preguntas como "¿cuántas manzanas hay sobre la mesa?" ^{[ 10 ]} Un número natural usado de esta manera describe una característica de una colección finita de objetos . Esta característica, el tamaño de una colección , se llama cardinalidad y un número natural usado para describirla o medirla es un número cardinal .

Dos colecciones finitas tienen el mismo tamaño o cardinalidad si existe una correspondencia uno a uno entre ellas , lo que significa que los objetos se pueden agrupar en pares (uno de cada colección), con cada objeto en exactamente un par. En la imagen adjunta, cada manzana está emparejada con exactamente una naranja y cada naranja con exactamente una manzana. Por lo tanto, el grupo de manzanas tiene la misma cardinalidad que el grupo de naranjas, o dicho de forma más sencilla, el número de manzanas es el mismo que el número de naranjas.

Debido a que esta igualdad puede establecerse sin contar ni utilizar ninguna noción previa de número, ^{[ 11 ] [ 12 ]} puede formar la definición de un número cardinal. ^{[ 13 ]} En este caso, el número de manzanas, naranjas —y de cualquier otra colección que pudiera emparejarse con cualquiera de los dos grupos— es 3.

Si dos colecciones no tienen la misma cardinalidad, el emparejamiento dejará una de ellas con objetos sin emparejar, lo que permite definir una relación de tamaño entre ellas. Se dice que la colección con todos los objetos emparejados es "más pequeña" y la que tiene objetos sin emparejar es "más grande" que la otra.

Una secuencia es una lista de objetos en un orden específico. Más precisamente, una secuencia es una función que asigna un objeto a cada posición de esa lista. Las posiciones se etiquetan mediante un conjunto bien ordenado ; cada elemento siempre tiene un siguiente elemento claro. ^{[ 14 ]} Todo conjunto bien ordenado tiene un tipo de orden , que es el número ordinal que describe su forma de ordenación. ^{[ 15 ]} Las etiquetas de posición aquí no son recuentos ni tamaños como con los números cardinales, sino simplemente elementos ordenados. ^{[ 16 ]}

Los números naturales son la opción más común para etiquetar secuencias infinitas porque forman el conjunto infinito bien ordenado más simple, con tipo de orden ω. Comienzan en 0 o 1 y continúan en su orden fijo habitual —1, 2, 3, etc.— sin un punto final. Cada número natural etiqueta una posición específica en la secuencia según su posición relativa a las demás. Por ejemplo, 1 es la primera posición, 2 es la posición inmediatamente posterior a 1, y 3 es la posición posterior a 1 y 2, y anterior a 4, 5, etc. Este orden coincide con el orden habitual, donde los números menores preceden a los mayores. Sin embargo, los números naturales son simplemente el ejemplo más conocido; cualquier conjunto bien ordenado funcionaría igualmente bien para indexar una secuencia, por ejemplo, el conjunto de las letras a, b, c, etc. ^{[ 17 ]}

Un numeral es un símbolo o un grupo de símbolos que se utiliza para expresar un número natural por escrito, y un conjunto particular de símbolos con reglas específicas para su uso constituye un sistema numérico . Cada símbolo en un sistema numérico representa un número natural único —denominado su valor— y puede utilizarse solo como numeral o en una secuencia con otros símbolos que, en conjunto, forman un numeral.

El sistema decimal , que utiliza numerales arábigos y reglas de notación posicional, es el estándar universal para representar números naturales en matemáticas y en el uso común. En parte debido a este estándar universal, la distinción entre un número abstracto (un valor) y su símbolo (un numeral) suele ser irrelevante, por lo que a los numerales se les suele llamar simplemente «números». Esto ocurre incluso cuando la distinción es relevante, como con los numerales binarios , que a menudo se denominan «números binarios».

Contar es el proceso de recorrer los números naturales en orden secuencial, comenzando por el 1. Se puede hacer usando solo números (como en "contar hasta 10 ") o aplicando el conteo a objetos (como en "contar los estudiantes en la clase ").

Cuando se aplica a una colección de objetos, el conteo determina la cardinalidad de la colección estableciendo una correspondencia uno a uno entre los objetos y los números naturales. ^{[ 28 ]} Esto implica "etiquetar" consecutivamente cada objeto con un número, manteniendo una partición continua de los objetos etiquetados respecto de los que aún no lo están. ^{[ 29 ]} Los números deben asignarse en orden comenzando por el 1 (por lo que son números ordinales), pero el orden de los objetos elegidos es arbitrario, siempre que cada objeto reciba un único número. El principio de cardinalidad se basa en la comprensión de que el número ordinal asignado al último objeto da el resultado del conteo: el número cardinal de la colección. ^{[ 30 ]}

Los cinco axiomas de Peano son: ^{[ 33 ] [ c ]}

1. 0 es un número natural.
2. Todo número natural tiene un sucesor que también es un número natural.
3. El 0 no es sucesor de ningún número natural.
4. Si el sucesor de${\displaystyle x}$igual al sucesor de${\displaystyle y}$, entonces${\displaystyle x}$igual${\displaystyle y}$.
5. El axioma de inducción : Si una afirmación es verdadera para 0, y si la verdad de esa afirmación para un número implica su verdad para el sucesor de ese número, entonces la afirmación es verdadera para todo número natural.

Estos no son los axiomas originales publicados por Peano, sino que llevan su nombre en su honor. Algunas formas de los axiomas de Peano tienen 1 en lugar de 0. En aritmética ordinaria, el sucesor de${\displaystyle x}$es${\displaystyle x+1}$.

En la teoría de conjuntos, cada número natural n se define como un conjunto específico. Se han propuesto diversas construcciones; sin embargo, la solución estándar (debido a John von Neumann ) ^{[ 34 ]} es:

• Llamada 0 = { } , el conjunto vacío .
• Definimos el sucesor S ( a ) de cualquier conjunto a mediante S ( a ) = a ∪ { a } .
• Por el axioma del infinito , existen conjuntos que contienen el 0 y son cerrados bajo la función sucesora. Dichos conjuntos se denominan inductivos . La intersección de todos los conjuntos inductivos sigue siendo un conjunto inductivo.
• Esta intersección es el conjunto de los números naturales .

Esto produce una definición iterativa de los números naturales llamada ordinales de von Neumann :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}0&&&{}=\{\}&&{}=\varnothing \\1&=0\cup \{0\}&&{}=\{0\}&&=\{\varnothing \}\\2&=1\cup \{1\}&&{}=\{0,1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\3&=2\cup \{2\}&&{}=\{0,1,2\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}\\n&=n-1\cup \{n-1\}&&{}=\{0,1,...,n-1\}&&{}=\{\varnothing ,\{\varnothing \},...,\{\varnothing ,\{\varnothing \},...\}\}\\\end{alignedat}}}$

En esta construcción, cada número natural n es un conjunto que contiene n elementos, donde cada elemento es un número natural menor que n . A partir de esto, los conceptos intuitivos de cardinalidad y orden pueden definirse formalmente como:

• Cardinalidad: un conjunto S tiene n elementos si existe una correspondencia biyectiva o biyección de n a S.
• Orden: n ≤ m si y solo si n es un subconjunto de m .

Otra construcción a veces llamadaLos ordinales de Zermelo ^{[ 35 ]} definen0 = { }y S ( a ) = { a }y ahora son en gran medida solo de interés histórico.

Dado el conjunto${\displaystyle \mathbb {N} }$de los números naturales y la función sucesora${\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$enviando cada número natural al siguiente, suma (${\displaystyle +}$) se define por:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+0&=a&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b)&{\textrm {(2)}}\\\end{aligned}}}$

En las afirmaciones anteriores, (1) define explícitamente la suma para el primer número natural y (2) da una definición recursiva para cada número subsiguiente en términos de definiciones anteriores, como se ilustra a continuación.

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&a+1=a+S(0)=S(a+0)=S(a)\\&a+2=a+S(1)=S(a+1)=S(S(a))\\&a+3=a+S(2)=S(a+2)=S(S(S(a)))\end{alignedat}}}$

De esta forma, la suma puede verse como la aplicación repetida de la función sucesora. Intuitivamente, a + b se evalúa aplicando la función sucesora a tantas veces como sea necesario aplicarla a 0 para producir b .

La estructura algebraica${\displaystyle (\mathbb {N},+)}$es un monoide conmutativo con elemento identidad 0. Es un monoide libre en un generador. Este monoide conmutativo satisface la propiedad de cancelación , por lo que puede incrustarse en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales es el de los enteros . 

Análogamente, dado que la suma ha sido definida, un operador de multiplicación${\displaystyle \times }$se puede definir mediante a × 0 = 0 y a × S( b ) = ( a × b ) + a . Esto convierte${\displaystyle (\mathbb {N} ^{*},\times )}$en un monoide conmutativo libre con elemento identidad  1; un conjunto generador para este monoide es el conjunto de los números primos .

En los números naturales, la suma y la multiplicación son compatibles, lo cual se expresa en la ley distributiva : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Sin embargo${\displaystyle \mathbb {N} }$no es cerrado bajo la resta (es decir, restar un número natural de otro no siempre da como resultado otro número natural); equivalentemente, se puede decir que${\displaystyle \mathbb {N} }$carece de inversos aditivos . Estas propiedades de la suma y la multiplicación significan que${\displaystyle \mathbb {N} }$no es un anillo ; en cambio, es un semianillo (también conocido como rig ). Los semianillos son una generalización algebraica de los anillos donde la multiplicación no es necesariamente conmutativa , aunque la multiplicación en${\displaystyle \mathbb {N} }$es conmutativa.

Si se toman los números naturales como "excluyendo el 0" y "comenzando en 1", las definiciones de + y × son las mismas que las anteriores, excepto que comienzan con a + 1 = S ( a ) y a × 1 = a . Además,${\displaystyle (\mathbb {N^{*}},+)}$no tiene ningún elemento de identidad.

Un orden total en los números naturales se define de modo que a ≤ b si y solo si existe otro número natural c tal que a + c = b . Este orden es compatible con las operaciones aritméticas en el siguiente sentido: si a , b y c son números naturales y a ≤ b , entonces a + c ≤ b + c y a × c ≤ b × c .

Una propiedad importante de los números naturales es que están bien ordenados : todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo. El rango entre conjuntos bien ordenados se expresa mediante un número ordinal ; para los números naturales, este se denota como ω (omega).

Si bien en general no es posible dividir un número natural entre otro y obtener un número natural como resultado, el procedimiento de división con resto o división euclidiana está disponible como sustituto: para cualesquiera dos números naturales a y b con b ≠ 0 existen números naturales q y r tales que

${\displaystyle a=b\times q+r{\text{ y }}r<b.}$

El número q se denomina cociente y r , resto de la división de a entre b . Los números q y r están determinados unívocamente por a y b . Esta división euclidiana es fundamental para diversas propiedades ( divisibilidad ), algoritmos (como el algoritmo euclidiano ) e ideas de la teoría de números.  

Las operaciones de suma (+) y multiplicación (×) sobre números naturales, tal como se definieron anteriormente, tienen varias propiedades algebraicas:

• Cierre bajo la suma y la multiplicación: para todos los números naturales a y b , tanto a + b como a × b son números naturales. ^{[ 36 ]}
• Asociatividad : para todos los números naturales a , b y c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c y a × ( b × c ) = ( a × b ) × c . ^{[ 37 ]}
• Conmutatividad : para todos los números naturales a y b , a + b = b + a y a × b = b × a . ^{[ 38 ]}
• Existencia de elementos identidad : para cada número natural a , a + 0 = a y a × 1 = a .
  • Si se toman los números naturales "excluyendo el 0" y "comenzando en 1", entonces para cada número natural a , a × 1 = a . Sin embargo, no se cumple la propiedad de "existencia de elemento neutro aditivo".
• Distributividad de la multiplicación sobre la suma para todos los números naturales a , b y c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
• No hay divisores de cero distintos de cero : si a y b son números naturales tales que a × b = 0 , entonces a = 0 o b = 0 (o ambos).

En la Europa del siglo XIX, hubo debates matemáticos y filosóficos sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Henri Poincaré afirmó que los axiomas solo pueden demostrarse en su aplicación finita y concluyó que es «el poder de la mente» lo que permite concebir la repetición indefinida del mismo acto. ^{[ 44 ]} Leopold Kronecker resumió su creencia como «Dios creó los números enteros; todo lo demás es obra del hombre». ^{[ d ]}

Los constructivistas vieron la necesidad de mejorar el rigor lógico en los fundamentos de las matemáticas . ^{[ e ]} En la década de 1860, Hermann Grassmann propuso una definición recursiva para los números naturales, afirmando así que no eran realmente naturales, sino una consecuencia de las definiciones. Posteriormente, surgieron dos clases de definiciones formales, que utilizaban la teoría de conjuntos y los axiomas de Peano, respectivamente. Más tarde, se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Las definiciones de números naturales basadas en la teoría de conjuntos fueron iniciadas por Frege . Inicialmente, definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia biunívoca con un conjunto particular. Sin embargo, esta definición resultó conducir a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, el formalismo se modificó de manera que un número natural se define como un conjunto particular, y cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biunívoca con ese conjunto se dice que tiene ese número de elementos. ^{[ 47 ]}

En 1881, Charles Sanders Peirce proporcionó la primera axiomatización de la aritmética de números naturales. ^{[ 48 ] [ 49 ]} En 1888, Richard Dedekind propuso otra axiomatización de la aritmética de números naturales, ^{[ 50 ]} y en  1889, Peano publicó una versión simplificada de los axiomas de Dedekind en su libro Los principios de la aritmética presentados por un nuevo método ( en latín : Arithmetices principia, nova methodo exposita ). Este enfoque ahora se llama aritmética de Peano . Se basa en una axiomatización de las propiedades de los números ordinales : cada número natural tiene un sucesor y cada número natural distinto de cero tiene un único predecesor. La aritmética de Peano es equiconsistente con varios sistemas débiles de teoría de conjuntos . Uno de esos sistemas es ZFC con el axioma del infinito reemplazado por su negación. ^{[ 51 ]} Entre los teoremas que se pueden demostrar en ZFC pero que no se pueden demostrar utilizando los axiomas de Peano se incluye el teorema de Goodstein . ^{[ 52 ]}

Comenzar en 0 o 1 ha sido durante mucho tiempo una cuestión de convención. En 1727, Bernard Le Bovier de Fontenelle argumentó en ambos sentidos: que 0 podía ser un término como en una secuencia 0, 1, 2, ..., pero que 1 era un elemento básico a partir del cual se podían formar otros números mediante sumas repetidas. ^{[ 53 ]} En 1889, Giuseppe Peano usó N para los enteros positivos y comenzó en 1, ^{[ 54 ]} pero luego cambió a usar N ₀ y N ₁ . ^{[ 55 ]} La mayoría de los primeros autores excluyeron el 0, ^{[ 43 ] [ 56 ] [ 57 ]} pero muchos matemáticos como George A. Wentworth , Bertrand Russell , Nicolas Bourbaki , Paul Halmos , Stephen Cole Kleene y John Horton Conway incluyeron el 0. ^{[ 58 ] [ 43 ]} La inclusión del 0 se adoptó más ampliamente en la década de 1960 ^{[ 43 ]} y se formalizó en la ISO 31-11 (1978), que define los números naturales para incluir el 0, una convención que se mantiene en la norma ISO 80000-2 actual . ^{[ 59 ]}