Equiconsistencia

En lógica matemática , dos teorías son equiconsistentes si la consistencia de una implica la consistencia de la otra, y viceversa . En este caso, en términos generales, son "igual de consistentes".

En general, no es posible demostrar la consistencia absoluta de una teoría T. En su lugar, solemos tomar una teoría S , que se cree consistente, e intentamos demostrar la afirmación más débil de que si S es consistente, entonces T también debe serlo. Si logramos esto, decimos que T es consistente con respecto a S. Si S también es consistente con respecto a T , decimos que S y T son equiconsistentes .

En lógica matemática, las teorías formales se estudian como objetos matemáticos . Dado que algunas teorías son lo suficientemente potentes como para modelar diferentes objetos matemáticos, es natural preguntarse sobre su propia consistencia .

A principios del siglo XX, Hilbert propuso un programa cuyo objetivo final era demostrar, mediante métodos matemáticos, la consistencia de las matemáticas. Dado que la mayoría de las disciplinas matemáticas pueden reducirse a la aritmética , el programa pronto se convirtió en el establecimiento de la consistencia de la aritmética mediante métodos formalizables dentro de la propia aritmética.

Los teoremas de incompletitud de Gödel demuestran que el programa de Hilbert no puede realizarse: si una teoría consistente y computacionalmente enumerable es lo suficientemente fuerte como para formalizar su propia metamatemática (sea o no una prueba), es decir, lo suficientemente fuerte como para modelar un fragmento débil de aritmética ( la aritmética de Robinson es suficiente), entonces la teoría no puede probar su propia consistencia. Existen algunas salvedades técnicas sobre los requisitos que debe cumplir la declaración formal que representa la afirmación metamatemática "La teoría es consistente", pero el resultado es que si una teoría (suficientemente fuerte) puede probar su propia consistencia, entonces o bien no hay forma computable de identificar si una afirmación es siquiera un axioma de la teoría o no, o bien la teoría misma es inconsistente (en cuyo caso puede probar cualquier cosa, incluidas afirmaciones falsas como su propia consistencia).

En vista de esto, en lugar de la consistencia absoluta, se suele considerar la consistencia relativa: Sean S y T teorías formales. Supongamos que S es una teoría consistente. ¿Se deduce que T también lo es? Si es así, entonces T es consistente con respecto a S. Dos teorías son equiconsistentes si cada una es consistente con respecto a la otra.

Si T es consistente con respecto a S , pero no se sabe si S es consistente con respecto a T , entonces decimos que S tiene mayor fuerza de consistencia que T. Al discutir estos temas de fuerza de consistencia, es necesario abordar cuidadosamente la metateoría en la que se desarrolla la discusión. Para teorías a nivel de aritmética de segundo orden , el programa de matemáticas inversas tiene mucho que aportar. Los problemas de fuerza de consistencia son una parte habitual de la teoría de conjuntos , ya que esta es una teoría computable que ciertamente puede modelar la mayor parte de las matemáticas. El conjunto de axiomas más utilizado en la teoría de conjuntos se llama ZFC . Cuando se dice que una proposición de la teoría de conjuntos A es equiconsistente con otra B , lo que realmente se afirma es que en la metateoría ( aritmética de Peano en este caso) se puede demostrar que las teorías ZFC+ A y ZFC+ B son equiconsistentes. Por lo general, se puede adoptar la aritmética recursiva primitiva como la metateoría en cuestión, pero incluso si la metateoría es ZFC o una extensión de ella, la noción es significativa. El método de forzamiento permite demostrar que las teorías ZFC, ZFC+CH y ZFC+¬CH son todas equiconsistentes (donde CH denota la hipótesis del continuo ).

Al analizar fragmentos de ZFC o sus extensiones (por ejemplo, ZF, teoría de conjuntos sin el axioma de elección, o ZF+AD, teoría de conjuntos con el axioma de determinación ), las nociones descritas anteriormente se adaptan en consecuencia. Así, ZF es equiconsistente con ZFC, como demostró Gödel.

La fuerza de consistencia de numerosas proposiciones combinatorias puede calibrarse mediante cardinales grandes . Por ejemplo:

• La negación de la hipótesis de Kurepa es equiconsistente con la existencia de un cardinal inaccesible ,
• la inexistencia de especial${\displaystyle \omega _{2}}$- Los árboles de Aronszajn son equiconsistentes con la existencia de un cardinal de Mahlo ,
• la inexistencia de${\displaystyle \omega _{2}}$- Los árboles de Aronszajn son equiconsistentes con la existencia de un cardinal débilmente compacto . ^{[ 1 ]}

• Gran propiedad cardinal

• Akihiro Kanamori (2003). El Infinito Superior . Saltador. ISBN 3-540-00384-3