Función aritmética

σ _k ( n ) es la suma de laspotencias k de los divisores positivos de n , incluyendo 1 y n , donde k es un número complejo.

σ ₁ ( n ) , la suma de los divisores (positivos) de n , se suele denotar por σ ( n ) .

Dado que un número positivo elevado a la potencia cero es uno, σ ₀ ( n ) es, por lo tanto, el número de divisores (positivos) de n ; se suele denotar por d ( n ) o τ ( n ) (por el alemán Teiler = divisores).

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

Si se establece k = 0 en el segundo producto, se obtiene $${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ ( n ) , la función totiente de Euler, es el número de enteros positivos no mayores quenque son coprimos conn. $${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J _k ( n ) , la función totiente de Jordan, es el número dek-tuplas de enteros positivos todos menores o iguales anque forman una (k+ 1)-tupla coprima junto conn. Es una generalización de la totiente de Euler, φ ( n ) = J ₁ ( n ). $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

μ ( n ) , la función de Möbius, es importante debido a lade inversión de Möbius. Véase §  Convolución de Dirichlet , más adelante. $${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

Esto implica que μ (1) = 1. (Porque Ω(1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) , la función tau de Ramanujan, se define por suidentidad de función generadora$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

Aunque es difícil decir exactamente qué "propiedad aritmética de n " "expresa", ^{[ 7 ]} ( τ ( n ) es (2 π ) ⁻¹² veces el n th coeficiente de Fourier en la q -expansión de la función discriminante modular ) ^{[ 8 ]} se incluye entre las funciones aritméticas porque es multiplicativa y aparece en identidades que involucran ciertas funciones σ _k ( n ) y r _k ( n ) (porque estas también son coeficientes en la expansión de formas modulares ).

c _q ( n ) , la suma de Ramanujan, es la suma de lasn-ésimas potencias de lasq-ésimasraíces primitivas de la unidad: $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

Aunque se define como una suma de números complejos (irracionales para la mayoría de los valores de q ), es un número entero. Para un valor fijo de n, es multiplicativo en q :

Si q y r son coprimos , entonces${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

La función psi de Dedekind , utilizada en la teoría de funciones modulares , se define mediante la fórmula $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

λ ( n ) , la función de Liouville, se define por $${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

Todos los caracteres de Dirichlet χ ( n ) son completamente multiplicativos. Dos caracteres tienen notaciones especiales:

El carácter principal (mod n ) se denota por χ ₀ ( a ) (o χ ₁ ( a )). Se define como $${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

El carácter cuadrático (mod n ) se denota mediante el símbolo de Jacobi para n impar (no está definido para n par ): $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

En esta fórmula${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$es el símbolo de Legendre , definido para todos los enteros a y todos los primos impares p por $${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

Siguiendo la convención normal para el producto vacío,${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

ω ( n ) , definida anteriormente como el número de primos distintos que dividen a n , es aditiva (véase Función omega prima ).

Ω( n ) , definido anteriormente como el número de factores primos de n contados con multiplicidades, es completamente aditivo (véase Función omega prima ).

Para un primo fijo p , ν _p ( n ) , definido anteriormente como el exponente de la mayor potencia de p que divide a n , es completamente aditivo.

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$, dónde${\displaystyle D(n)}$es la derivada aritmética .

Estas importantes funciones (que no son funciones aritméticas) se definen para argumentos reales no negativos y se utilizan en las distintas formulaciones y demostraciones del teorema de los números primos . Son funciones de suma (véase la sección principal a continuación) de funciones aritméticas que no son ni multiplicativas ni aditivas.

π ( x ), la función de conteo de primos , es la cantidad de primos que no exceden x . Es la función sumatoria de la función característica de los números primos. $${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

Una función relacionada calcula potencias de números primos asignando un peso de 1 a los primos, 1/2 a sus cuadrados, 1/3 a los cubos, etc. Es la función sumatoria de la función aritmética que toma el valor 1/ k para los enteros que son la k -ésima potencia de algún número primo, y el valor 0 para los demás enteros. $${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

ϑ ( x ) y ψ ( x ), las funciones de Chebyshev , se definen como sumas de los logaritmos naturales de los primos que no superan x . $${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$$${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) es la función sumatoria de la función de von Mangoldt que se muestra justo debajo.

Λ( n ) , la función de von Mangoldt, es 0 a menos que el argumento n sea una potencia prima p ^k , en cuyo caso es el logaritmo natural del primo p : $${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n ) , la función de partición, es el número de maneras de representarncomo una suma de enteros positivos, donde dos representaciones con los mismos sumandos en un orden diferente no se cuentan como diferentes: $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

λ ( n ) , la función de Carmichael, es el número positivo más pequeño tal que${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ para todo coprimo con n . Equivalentemente, es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los elementos del grupo multiplicativo de los enteros módulo n .

Para potencias de primos impares y para 2 y 4, λ ( n ) es igual a la función totiente de Euler de n ; para potencias de 2 mayores que 4 es igual a la mitad de la función totiente de Euler de n : $${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$ y para un n general es el mínimo común múltiplo de λ de cada uno de los factores de potencia primos de n : $${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

h ( n ) , la función de número de clases, es el orden delgrupo de clases idealde una extensión algebraica de los racionales condiscriminanten. La notación es ambigua, ya que en general existen muchas extensiones con el mismo discriminante. Véansecuerpos cuadráticosyciclotómicospara ejemplos clásicos.

r _k ( n ) es el número de maneras en quenpuede representarse como la suma dekcuadrados, donde las representaciones que difieren solo en el orden de los sumandos o en los signos de las raíces cuadradas se cuentan como diferentes. $${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

Utilizando la notación de Heaviside para la derivada, la derivada aritmética D ( n ) es una función tal que

• ${\displaystyle D(n)=1}$si n es primo y
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$(la regla del producto )

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$  donde λ es la función de Liouville. ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$   ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$    Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}J_{k}(\delta )=n^{k}.}$   ^{[ 14 ]}

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$    Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$   ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$   ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$   ^{[ 18 ]}

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$    Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$   

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$    Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$   

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$    Inversión de Möbius

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$   

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$   donde λ es la función de Liouville .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$   ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$    Inversión de Möbius

A pesar de${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$  ( Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange ).

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$^{[ 20 ]}

donde el símbolo de Kronecker tiene los valores

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

En la sección sobre números de clase que aparece a continuación, se incluye una fórmula para r ₃ . $${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$ donde ν = ν ₂ ( norte ) . ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}  $${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$ dónde${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$^{[ 24 ]}

Defina la función σ _k ^* ( n ) como ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

Es decir, si n es impar, σ _k ^* ( n ) es la suma de las potencias k de los divisores de n , es decir, σ _k ( n ), y si n es par es la suma de las potencias k de los divisores pares de n menos la suma de las potencias k de los divisores impares de n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$  ^{[ 24 ] [ 26 ]}

Adopte la convención de que τ ( x ) de Ramanujan = 0 si x no es un número entero.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$  ^{[ 27 ]}

Aquí, "convolución" no significa "convolución de Dirichlet", sino que se refiere a la fórmula para los coeficientes del producto de dos series de potencias :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

La secuencia${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$Se denomina convolución o producto de Cauchy de las secuencias a _n y b _n . Estas fórmulas pueden demostrarse analíticamente (véase la serie de Eisenstein ) o mediante métodos elementales. ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$  ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$  ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$  ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$  ^{[ 29 ] [ 32 ]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$  donde τ ( n ) es la función de Ramanujan. ^{[ 33 ] [ 34 ]}  

Dado que σ _k ( n ) (para k natural ) y τ ( n ) son enteros, las fórmulas anteriores pueden utilizarse para demostrar congruencias ^{[ 35 ]} para las funciones. Véase la función tau de Ramanujan para algunos ejemplos.

Amplíe el dominio de la función de partición estableciendo p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$  ^{[ 36 ]}  Esta recurrencia se puede utilizar para calcularp(n).

Peter Gustav Lejeune Dirichlet descubrió fórmulas que relacionan el número de clase h de los cuerpos de números cuadráticos con el símbolo de Jacobi. ^{[ 37 ]}

Un entero D se denomina discriminante fundamental si es el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático. Esto es equivalente a que D ≠ 1 y se cumpla que a) D es libre de cuadrados y D ≡ 1 (mod 4) o b) D ≡ 0 (mod 4), D /4 es libre de cuadrados y D /4 ≡ 2 o 3 (mod 4). ^{[ 38 ]}

Extender el símbolo de Jacobi para que acepte números pares en el "denominador" definiendo el símbolo de Kronecker : $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

Entonces, si D < −4 es un discriminante fundamental ^{[ 39 ] [ 40 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

También hay una fórmula que relaciona r ₃ y h . Nuevamente, sea D un discriminante fundamental, D < −4. Entonces ^{[ 41 ]}$${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

Dejar${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$ Sea el n -ésimo número armónico . Entonces

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$ es cierto para todo número natural n si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera. ^{[ 42 ]}  

La hipótesis de Riemann también es equivalente a la afirmación de que, para todo n > 5040, $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni ). Este es el teorema de Robin .

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$  ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$  ^{[ 44 ]}

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$  ^{[ 45 ]}

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$  ^{[ 46 ]}

En 1965 P Kesava Menon demostró ^{[ 47 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

Esto ha sido generalizado por varios matemáticos. Por ejemplo,

• B. Sury ^{[ 48 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• N. Rao ^{[ 49 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$donde a ₁ , a ₂ , ..., a _s son enteros, mcd( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.
• László Fejes Tóth ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$donde m ₁ y m ₂ son impares, m = mcm( m ₁ , m ₂ ).

De hecho, si f es cualquier función aritmética ^{[ 51 ] [ 52 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$ dónde${\displaystyle *}$significa convolución de Dirichlet.

Sean m y n distintos, impares y positivos. Entonces el símbolo de Jacobi satisface la ley de reciprocidad cuadrática : $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

Sea D ( n ) la derivada aritmética. Entonces, la derivada logarítmica$${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$Consulte la sección Derivada aritmética para obtener más detalles.

Sea λ ( n ) la función de Liouville. Entonces

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$  y

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$  

Sea λ ( n ) la función de Carmichael. Entonces

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$   Más,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

Véase Grupo multiplicativo de enteros módulo n y Raíz primitiva módulo n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$  ^{[ 53 ] [ 54 ]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$  ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$  ^{[ 56 ]} Nótese que   ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$  ^{[ 57 ]}

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$  ^{[ 58 ]}  Compárese esto con1³+ 2³+ 3³+ ... +n³= (1 + 2 + 3 + ... +n)²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$  ^{[ 59 ]}

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$  ^{[ 60 ]}

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$  donde τ ( n ) es la función de Ramanujan. ^{[ 61 ]}