Función divisora

En matemáticas , y específicamente en teoría de números , una función divisora ​​es una función aritmética relacionada con los divisores de un número entero . Cuando se la denomina función divisora, cuenta la cantidad de divisores de un número entero (incluyendo el 1 y el propio número). Aparece en varias identidades notables, incluyendo relaciones en la función zeta de Riemann y la serie de Eisenstein de formas modulares . Las funciones divisoras fueron estudiadas por Ramanujan , quien proporcionó varias congruencias e identidades importantes ; estas se tratan por separado en el artículo «La suma de Ramanujan» .

Una función relacionada es la función sumatoria del divisor , que, como su nombre indica, es una suma sobre la función divisor.

La función suma de divisores positivos σ _z ( n ), para un número real o complejo z , se define como la suma de las potencias z -ésimas de los divisores positivos de n . Se puede expresar en notación sigma como

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

donde es la abreviatura de " d divide a n ". Las notaciones d ( n ), ν ( n ) y τ ( n ) (para el alemán Teiler = divisores) también se utilizan para denotar σ ₀ ( n ), o la función número de divisores ^{[ 1 ] [ 2 ]} ( OEIS :  A000005 ). Cuando z es 1, la función se llama función sigma o función suma de divisores , ^{[ 1 ] [ 3 ]} y el subíndice a menudo se omite, por lo que σ ( n ) es lo mismo que σ ₁ ( n ) ( OEIS :  A000203 ). ${\displaystyle {d\mid n}}$

La suma de alícuotas s ( n ) de n es la suma de los divisores propios (es decir, los divisores excluyendo a n mismo, OEIS :  A001065 ), y es igual a σ ₁ ( n ) −  n ; la secuencia de alícuotas de n se forma aplicando repetidamente la función de suma de alícuotas.

Por ejemplo, σ ₀ (12) es el número de divisores de 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

mientras que σ ₁ (12) es la suma de todos los divisores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

y la suma alícuota s(12) de divisores propios es:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ ₋₁ ( n ) a veces se denomina índice de abundancia de n , y tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\[6pt]&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\[6pt]&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}$

Los casos x = 2 a 5 se enumeran en OEIS :  A001157 a OEIS :  A001160 , x = 6 a 24 se enumeran en OEIS :  A013954 a OEIS :  A013972 .

For a prime numberp,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

because by definition, the factors of a prime number are 1 and itself. Also, where p_n# denotes the primorial,

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

since n prime factors allow a sequence of binary selection (${\displaystyle p_{i}}$ or 1) from n terms for each proper divisor formed. However, these are not in general the smallest numbers whose number of divisors is a power of two; instead, the smallest such number may be obtained by multiplying together the first nFermi–Dirac primes, prime powers whose exponent is a power of two.^[4]

Clearly, ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ for all ${\displaystyle n>2}$, and ${\displaystyle \sigma _{x}(n)>n}$ for all ${\displaystyle n>1}$, ${\displaystyle x>0}$ .

The divisor function is multiplicative (since each divisor c of the product mn with ${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$ distinctively correspond to a divisor a of m and a divisor b of n), but not completely multiplicative:

${\displaystyle \gcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$

The consequence of this is that, if we write

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

donde r  =  ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n , p _i es el i- ésimo factor primo, y a _i es la máxima potencia de p _i por la cual n es divisible , entonces tenemos: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$

lo cual, cuando x  ≠ 0, es equivalente a la fórmula útil: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$

Cuando x  = 0, es: ^{[ 5 ]}${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Este resultado se puede deducir directamente del hecho de que todos los divisores de están determinados de forma única por las distintas tuplas de enteros con (es decir, elecciones independientes para cada ). ${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})}$${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq a_{i}}$${\displaystyle a_{i}+1}$${\displaystyle x_{i}}$

Por ejemplo, si n es 24, hay dos factores primos ( p₁ es 2; p₂ es 3); teniendo en cuenta que 24 es el producto de _2³ ^× 3¹ ^, a₁ es ₃ y a₂ es 1. Por _{lo tanto ,} podemos calcularlo así: ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$

Los ocho divisores que cuenta esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24.

Euler demostró la notable recurrencia: ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$

donde si ocurre y para , y son pares consecutivos de números pentagonales generalizados ( OEIS :  A001318 , comenzando en el desplazamiento 1). De hecho, Euler demostró esto mediante la diferenciación logarítmica de la identidad en su teorema de los números pentagonales . ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$

Para un entero no cuadrado, n , cada divisor, d , de n se empareja con el divisor n / d de n y es par; para un entero cuadrado, un divisor (a saber, ) no se empareja con un divisor distinto y es impar. De manera similar, el número es impar si y solo si n es un cuadrado o dos cuadrados. ^{[ 9 ]}${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$

También observamos que s ( n ) = σ ( n ) −  n . Aquí s ( n ) denota la suma de los divisores propios de n , es decir, los divisores de n excluyendo a n mismo. Esta función se utiliza para reconocer los números perfectos , que son los n tales que s ( n ) =  n . Si s ( n ) > n , entonces n es un número abundante , y si s ( n ) < n , entonces n es un número deficiente .

Si n es una potencia de 2, , entonces y , lo que hace que n sea casi perfecto . ${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$${\displaystyle s(n)=n-1}$

Como ejemplo, para dos números primos , sea ${\displaystyle p,q:p<q}$

${\displaystyle n=p\,q}$.

Entonces

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

y

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

¿Dónde está la función totiente de Euler ? ${\displaystyle \varphi (n)}$

Luego, las raíces de

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$

expresar p y q en términos de σ ( n ) y φ ( n ) solamente, sin requerir conocimiento de n o , como ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

Además, conocer n y cualquiera de las dos opciones , o bien, y cualquiera de las dos opciones, permite recuperar fácilmente p y q . ${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle p+q}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$

En 1984, Roger Heath-Brown demostró que la igualdad

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

es cierto para infinitos valores de n , véase OEIS :  A005237 .

Por definición: Por inversión de Möbius :$${\displaystyle \sigma =\operatorname {Id} *\mathbf {1} }$$$${\displaystyle \operatorname {Id} =\sigma *\mu }$$

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor son: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1+\max\{\Re (a),0\},}$

donde es la función zeta de Riemann . La serie para d ( n ) =  σ ₀ ( n ) da: ^{[ 10 ]}${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad \Re (s)>1,}$

y una identidad Ramanujan ^{[ 11 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

que es un caso especial de la convolución de Rankin-Selberg .

Una serie de Lambert que involucra la función divisor es: ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {Li} _{-a}(q^{n})}$

para un complejo arbitrario | q | ≤ 1 y  a ( es el polilogaritmo ). Esta suma también aparece como la serie de Fourier de la serie de Eisenstein y los invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass . ${\displaystyle \operatorname {Li} }$

Para , existe una representación explícita en serie con sumas de Ramanujan como : ^{[ 13 ]}${\displaystyle k>0}$${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

El cálculo de los primeros términos muestra sus oscilaciones alrededor del "valor promedio" : ${\displaystyle c_{m}(n)}$${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

En notación de o minúscula , la función divisora ​​satisface la desigualdad: ^{[ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

Más precisamente, Severin Wigert demostró que: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2,}$

abordado tomando los primordios desde ${\displaystyle n}$

${\displaystyle p_{k}\#=e^{(1+o(1))k\log k}.}$^{[ 16 ]}

Por otro lado, dado que hay infinitos números primos , ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

En notación Big-O , Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: ^{[ 17 ] [ 18 ]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

donde es la constante gamma de Euler . Mejorar la cota en esta fórmula se conoce como el problema del divisor de Dirichlet . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante: ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

donde lim sup es el límite superior . Este resultado es el teorema de Grönwall , publicado en 1913 ( Grönwall 1913 ). Su demostración utiliza el tercer teorema de Mertens , que dice que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

donde p denota un número primo. Grönwall también demostró que

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{a}}}=\zeta (a),\quad a>1,}$

¿Dónde se encuentra la función zeta de Riemann ? ${\displaystyle \zeta }$

En 1915, Ramanujan demostró que bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la desigualdad de Robin

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

se cumple para todo n suficientemente grande ( Ramanujan 1997 ). El mayor valor conocido que viola la desigualdad es n = 5040. [ ^{20 ] En} 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todo n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera ( Robin 1984 ). Este es el teorema de Robin y la desigualdad se conoció después de él. Robin demostró además que si la hipótesis de Riemann es falsa, entonces hay un número infinito de valores de n que violan la desigualdad, y se sabe que el más pequeño de tales n > 5040 debe ser superabundante ( Akbary y Friggstad 2009 ). Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para enteros grandes impares y libres de cuadrados, y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad solo para n divisible por la quinta potencia de un primo ( Choie et al. 2007 ).

Robin también demostró, incondicionalmente, que la desigualdad:

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

se cumple para todo n ≥ 3.

Jeffrey Lagarias dio una cota relacionada en 2002, demostrando que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

para cada número natural n > 1, donde es el n -ésimo número armónico , ( Lagarias 2002 ). ${\displaystyle H_{n}}$

• Convoluciones de suma de divisores , enumera algunas identidades que involucran las funciones divisores.
• Función totiente de Euler , función phi de Euler
• Número refactorizable
• Tabla de divisores
• Divisor unitario

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes y la hipótesis de Riemann" (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275 , doi : 10.4169/193009709X470128 , archivado del original (PDF) el 11 de abril de 2014..
• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001
• Bach, Eric ; Shallit, Jeffrey , Teoría algorítmica de números , volumen 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, véase la página 234 en la sección 8.8.
• Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis ; Sondow, Jonathan (2011), "El teorema de Robin, los números primos y una nueva reformulación elemental de la hipótesis de Riemann" (PDF) , INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory , 11 : A33, arXiv : 1110.5078 , Bibcode : 2011arXiv1110.5078C
• Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick (2007), "On Robin's criterion for the Riemann hypothesis", Journal de théorie des nombres de Bordeaux, 19 (2): 357–372, arXiv:math.NT/0604314, doi:10.5802/jtnb.591, ISSN 1246-7405, MR 2394891, S2CID 3207238, Zbl 1163.11059
• Gioia, A. A.; Vaidya, A. M. (1967), "Amicable numbers with opposite parity", The American Mathematical Monthly, 74 (8): 969–973, doi:10.2307/2315280, JSTOR 2315280, MR 0220659
• Grönwall, Thomas Hakon (1913), "Some asymptotic expressions in the theory of numbers", Transactions of the American Mathematical Society, 14 (1): 113–122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Ivić, Aleksandar (1985), The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, A Wiley-Interscience Publication, New York etc.: John Wiley & Sons, pp. 385–440, ISBN 0-471-80634-X, Zbl 0556.10026
• Lagarias, Jeffrey C. (2002), "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis", The American Mathematical Monthly, 109 (6): 534–543, arXiv:math/0008177, doi:10.2307/2695443, ISSN 0002-9890, JSTOR 2695443, MR 1908008, S2CID 15884740
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elementos de la teoría de números , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77081766
• Ramanujan, Srinivasa (1997), "Números altamente compuestos, anotados por Jean-Louis Nicolas y Guy Robin", The Ramanujan Journal , 1 (2): 119– 153, doi : 10.1023/A:1009764017495 , ISSN  1382-4090 , MR  1606180 , S2CID  115619659
• Robin, Guy (1984), "Grandes valores de la función somme des diviseurs et hipothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , Neuvième Série, 63 (2): 187– 213, ISSN  0021-7824 , SEÑOR  0774171
• Williams, Kenneth S. (2011), Teoría de números en el espíritu de Liouville , London Mathematical Society Student Texts, vol. 76, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-17562-3, Zbl  1227.11002

• Weisstein, Eric W. "Función divisor" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "El teorema de Robin" . MathWorld .
• Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias. PDF de un artículo de Huard, Ou, Spearman y Williams. Contiene demostraciones elementales (es decir, que no se basan en la teoría de formas modulares) de convoluciones de sumas de divisores, fórmulas para el número de maneras de representar un número como suma de números triangulares y resultados relacionados.