Número refactorizable

Un número refactorizable o número tau es un entero n que es divisible por la cantidad de sus divisores , o dicho algebraicamente, n es tal que${\displaystyle \tau (n)\mid n}$con${\displaystyle \tau (n)=\sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{n}(e_{i}+1)}$para${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{e_{i}}}$. Los primeros números refactorizables se enumeran en (secuencia A033950 en el OEIS ) como

1 , 2 , 8 , 9 , 12 , 18 , 24 , 36 , 40 , 56 , 60 , 72 , 80 , 84 , 88 , 96 , 104 , 108 , 128 , 132 , 136 , 152 , 156 , 180 , 184 , 204 , 225 , 228 , 232 , 240 , 248 , 252 , 276 , 288 , 296 , ...

Por ejemplo, 18 tiene 6 divisores (1 y 18, 2 y 9, 3 y 6) y es divisible por 6. Hay infinitos números refactorizables.

Cooper y Kennedy demostraron que los números refactorizables tienen densidad natural cero. Zelinsky demostró que no hay tres enteros consecutivos que puedan ser todos refactorizables. ^{[ 1 ]} Colton demostró que ningún número refactorizable es perfecto . La ecuación${\displaystyle \gcd(n,x)=\tau (n)}$tiene soluciones solo si${\displaystyle n}$es un número refactorizable, donde${\displaystyle \gcd }$es la función máximo común divisor .

Dejar${\displaystyle T(x)}$sea ​​el número de números refactorizables que son como máximo${\displaystyle x}$. El problema de determinar una asintótica para${\displaystyle T(x)}$está abierto. Spiro ha demostrado que${\displaystyle T(x)={\frac {x}{{\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{1-o(1)}}}}$^{[ 2 ]}

Todavía existen problemas sin resolver con respecto a los números refactorizables. Colton preguntó si hay números arbitrariamente grandes.${\displaystyle n}$de tal manera que ambos${\displaystyle n}$y${\displaystyle n+1}$son refactorizables. Zelinsky se preguntó si existe un número refactorizable.${\displaystyle n_{0}\equiv a\mod m}$¿Existe necesariamente?${\displaystyle n>n_{0}}$de tal manera que${\displaystyle n}$es refactorizable y${\displaystyle n\equiv a\mod m}$.

Definidos por primera vez por Curtis Cooper y Robert E. Kennedy ^{[ 3 ],} quienes demostraron que los números tau tienen densidad natural cero, fueron redescubiertos posteriormente por Simon Colton mediante un programa informático que él mismo escribió ("HR"), el cual inventa y evalúa definiciones de diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de números y la teoría de grafos . ^{[ 4 ]} Colton denominó a estos números "refactorizables". Si bien los programas informáticos ya habían descubierto demostraciones anteriormente, este descubrimiento fue uno de los primeros casos en que un programa informático descubrió una idea nueva o previamente desconocida. Colton demostró numerosos resultados sobre los números refactorizables, mostrando que existían infinitos y probando diversas restricciones de congruencia en su distribución. Colton fue alertado posteriormente de que Kennedy y Cooper ya habían investigado el tema.

• Función divisora