Función divisoria

En matemáticas , y específicamente en teoría de números , una función divisora ​​es una función aritmética relacionada con los divisores de un número entero . Cuando se la denomina función divisora, cuenta el número de divisores de un número entero (incluidos 1 y el número mismo). Aparece en varias identidades notables, incluidas las relaciones en la función zeta de Riemann y la serie de formas modulares de Eisenstein. Ramanujan estudió las funciones divisoras y dio varias congruencias e identidades importantes ; estas se tratan por separado en el artículo La suma de Ramanujan .

Una función relacionada es la función sumatoria del divisor , que, como su nombre lo indica, es una suma sobre la función divisor.

La función suma de divisores positivos σ _z ( n ), para un número real o complejo z , se define como la suma de las z ésimas potencias de los divisores positivos de n . Se puede expresar en notación sigma como

${\displaystyle \sigma _{z}(n)=\sum _{d\mid n}d^{z}\,\!,}$

donde es la abreviatura de " d divide n ". Las notaciones d ( n ), ν( n ) y τ( n ) (para el alemán Teiler = divisores) también se utilizan para denotar σ ₀ ( n ), o la función de número de divisores ^{[1] [2]} ( OEIS : A000005 ). Cuando z es 1, la función se llama función sigma o función suma de divisores , ^{[1] [3]} y el subíndice se omite a menudo, por lo que σ( n ) es lo mismo que σ ₁ ( n ) ( OEIS : A000203 ). ${\displaystyle {d\mid n}}$

La suma alícuota s ( n ) de n es la suma de los divisores propios (es decir, los divisores excluyendo al propio n , OEIS : A001065 ), y es igual a σ ₁ ( n ) −  n ; la secuencia alícuota de n se forma aplicando repetidamente la función suma alícuota.

Por ejemplo, σ ₀ (12) es el número de divisores de 12:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

mientras que σ ₁ (12) es la suma de todos los divisores:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

y la suma alícuota s(12) de divisores propios es:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

σ _-1 ( n ) a veces se denomina índice de abundancia de n y tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma _{1}(12)}{12}}\end{alineado}}}$

Los casos x = 2 a 5 se enumeran en OEIS : A001157 a OEIS : A001160 , x = 6 a 24 se enumeran en OEIS : A013954 a OEIS : A013972 .

Para un número primo p ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

porque por definición, los factores de un número primo son 1 y él mismo. Además, donde p _n # denota el primordio ,

$Estilo de visualización: sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}}$

ya que n factores primos permiten una secuencia de selección binaria ( o 1) de n términos para cada divisor propio formado. Sin embargo, estos no son en general los números más pequeños cuyo número de divisores es una potencia de dos ; en cambio, el número más pequeño de este tipo puede obtenerse multiplicando juntos los primeros n primos de Fermi-Dirac , potencias primas cuyo exponente es una potencia de dos. ^[4]$estilo de visualización p_{i}}$

Está claro que, para todos , y por todos , . ${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$${\displaystyle n>2}$$Estilo de visualización: sigma _{x}(n)>n$${\estilo de visualización n>1}$${\displaystyle x>0}$

La función divisor es multiplicativa (ya que cada divisor c del producto mn con corresponde distintivamente a un divisor a de m y un divisor b de n ), pero no completamente multiplicativa : ${\displaystyle \mcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \mcd(a,b)=1\Longrightarrow \sigma _{x}(ab)=\sigma _{x}(a)\sigma _{x}(b).}$

La consecuencia de esto es que, si escribimos

${\displaystyle n=\prod_{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

donde r  =  ω ( n ) es el número de factores primos distintos de n , p _i es el i ésimo factor primo, y a _i es la potencia máxima de p _i por la cual n es divisible , entonces tenemos: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}\left(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}\right).}$

que, cuando x  ≠ 0, es equivalente a la fórmula útil: ^[5]

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}.}$

Cuando x  = 0, es: ^[5]$estilo de visualización sigma _{0}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

Este resultado se puede deducir directamente del hecho de que todos los divisores de están determinados de forma única por las distintas tuplas de números enteros con (es decir, elecciones independientes para cada uno ). ${\estilo de visualización n}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{i},...,x_{r})}$${\displaystyle 0\leq x_{i}\leq a_{i}}$$estilo de visualización a_{i}+1$$Estilo de visualización x_{i}}$

Por ejemplo, si n es 24, hay dos factores primos ( p ₁ es 2; p ₂ es 3); notando que 24 es el producto de 2 ³ × 3 ¹ , a ₁ es 3 y a ₂ es 1. Por lo tanto podemos calcular de la siguiente manera: ${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$

${\displaystyle \sigma _{0}(24)=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}$

Los ocho divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 y 24.

Euler demostró la notable recurrencia: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(n)&=\sigma _{1}(n-1)+\sigma _{1}(n-2)-\sigma _{1}(n-5)-\sigma _{1}(n-7)+\sigma _{1}(n-12)+\sigma _{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum _{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma _{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}$

donde si ocurre y para , y son pares consecutivos de números pentagonales generalizados ( OEIS : A001318 , comenzando en el desplazamiento 1). De hecho, Euler demostró esto mediante la diferenciación logarítmica de la identidad en su teorema del número pentagonal . ${\displaystyle \sigma _{1}(0)=n}$${\displaystyle \sigma _{1}(x)=0}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)}$

Para un entero no cuadrado, n , cada divisor, d , de n está emparejado con el divisor n / d de n y es par; para un entero cuadrado, un divisor (a saber ) no está emparejado con un divisor distinto y es impar. De manera similar, el número es impar si y solo si n es un cuadrado o el doble de un cuadrado. ^[9]${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle {\sqrt {n}}}$${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$

También notamos que s ( n ) = σ ( n ) −  n . Aquí s ( n ) denota la suma de los divisores propios de n , es decir, los divisores de n excluyendo al propio n . Esta función se utiliza para reconocer números perfectos , que son los n tales que s ( n ) =  n . Si s ( n ) > n , entonces n es un número abundante , y si s ( n ) < n , entonces n es un número deficiente .

Si n es una potencia de 2 , entonces y , lo que hace que n sea casi perfecto . ${\displaystyle n=2^{k}}$${\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1}$${\displaystyle s(n)=n-1}$

A modo de ejemplo, para dos primos , sea ${\displaystyle p,q:p<q}$

${\displaystyle n=p\,q}$.

Entonces

${\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}$

${\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}$

y

${\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}$

${\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}$

¿Dónde está la función totiente de Euler ? ${\displaystyle \varphi (n)}$

Entonces, las raíces de

${\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}$

expresar p y q en términos de σ ( n ) y φ ( n ) solamente, sin requerir conocimiento de n o , como ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}$

${\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}$

Además, conocer n y o , o, alternativamente, y o permite una fácil recuperación de p y q . ${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$${\displaystyle p+q}$${\displaystyle \sigma (n)}$${\displaystyle \varphi (n)}$

En 1984, Roger Heath-Brown demostró que la igualdad

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\sigma _{0}(n+1)}$

es cierto para infinitos valores de n , véase OEIS : A005237 .

Dos series de Dirichlet que involucran la función divisor son: ^[10]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$

donde es la función zeta de Riemann . La serie para d ( n ) =  σ ₀ ( n ) da: ^[10]${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$

y una identidad Ramanujan ^[11]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}$

que es un caso especial de la convolución de Rankin-Selberg .

Una serie de Lambert que involucra la función divisor es: ^[12]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$

para complejos arbitrarios | q | ≤ 1 y  a . Esta suma también aparece como la serie de Fourier de la serie de Eisenstein y los invariantes de las funciones elípticas de Weierstrass .

Para , existe una representación de serie explícita con sumas de Ramanujan como: ^[13]${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle c_{m}(n)}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {c_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}$

El cálculo de los primeros términos de muestra sus oscilaciones alrededor del "valor medio" : ${\displaystyle c_{m}(n)}$${\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}$

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}$

En notación minúscula , la función divisor satisface la desigualdad: ^{[14] [15]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}\varepsilon >0,\quad d(n)=o(n^{\varepsilon }).}$

Más precisamente, Severin Wigert demostró que: ^[15]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)}{\log n/\log \log n}}=\log 2.}$

Por otra parte, como hay infinitos números primos , ^[15]

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2.}$

En notación Big-O , Peter Gustav Lejeune Dirichlet demostró que el orden promedio de la función divisor satisface la siguiente desigualdad: ^{[16] [17]}

${\displaystyle {\mbox{for all }}x\geq 1,\sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}$

donde es la constante gamma de Euler . La mejora del límite en esta fórmula se conoce como problema del divisor de Dirichlet . ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle O({\sqrt {x}})}$

El comportamiento de la función sigma es irregular. La tasa de crecimiento asintótico de la función sigma se puede expresar mediante: ^[18]

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\,\log \log n}}=e^{\gamma },}$

donde lim sup es el límite superior . Este resultado es el teorema de Grönwall , publicado en 1913 (Grönwall 1913). Su demostración utiliza el tercer teorema de Mertens , que dice que:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\log n}}\prod _{p\leq n}{\frac {p}{p-1}}=e^{\gamma },}$

donde p denota un número primo.

En 1915, Ramanujan demostró que bajo el supuesto de la hipótesis de Riemann , la desigualdad de Robin

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni )

se cumple para todos los n suficientemente grandes (Ramanujan 1997). El mayor valor conocido que viola la desigualdad es n = 5040 . En 1984, Guy Robin demostró que la desigualdad es verdadera para todos los n > 5040 si y solo si la hipótesis de Riemann es verdadera (Robin 1984). Este es el teorema de Robin y la desigualdad se hizo conocida después de él. Robin además demostró que si la hipótesis de Riemann es falsa entonces hay un número infinito de valores de n que violan la desigualdad, y se sabe que el más pequeño de tales n > 5040 debe ser superabundante (Akbary y Friggstad 2009). Se ha demostrado que la desigualdad se cumple para números enteros grandes impares y libres de cuadrados, y que la hipótesis de Riemann es equivalente a la desigualdad solo para n divisible por la quinta potencia de un primo (Choie et al. 2007).

Robin también demostró, incondicionalmente, que la desigualdad:

${\displaystyle \ \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+{\frac {0.6483\ n}{\log \log n}}}$

se cumple para todos los n ≥ 3.

Jeffrey Lagarias propuso un límite relacionado en 2002, al demostrar que la hipótesis de Riemann es equivalente a la afirmación de que:

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n})}$

para cada número natural n > 1, donde es el n- ésimo número armónico , (Lagarias 2002). ${\displaystyle H_{n}}$

• Convoluciones de suma de divisores , enumera algunas identidades que involucran las funciones divisoras
• Función totiente de Euler , función phi de Euler
• Número refactorizable
• Tabla de divisores
• Divisor unitario

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Números superabundantes y la hipótesis de Riemann" (PDF) , American Mathematical Monthly , 116 (3): 273–275, doi :10.4169/193009709X470128, archivado desde el original (PDF) el 2014-04-11.
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• Evaluación elemental de ciertas sumas de convolución que involucran funciones divisorias PDF de un artículo de Huard, Ou, Spearman y Williams. Contiene pruebas elementales (es decir, que no se basan en la teoría de formas modulares) de convoluciones de suma de divisores, fórmulas para la cantidad de formas de representar un número como suma de números triangulares y resultados relacionados.