Orden promedio de una función aritmética

En teoría de números , un orden promedio de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que toma los mismos valores "en promedio".

Sea una función aritmética . Decimos que un orden medio de es si tiende a infinito. ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización g}$$${\displaystyle \suma_{n\leqx}f(n)\sim \suma_{n\leqx}g(n)}$$${\estilo de visualización x}$

Lo habitual es elegir una función de aproximación que sea continua y monótona , pero aun así, un orden medio no es, por supuesto, único. ${\estilo de visualización g}$

En los casos en que el límite $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}f(n)=c}$$

existe, se dice que tiene un valor medio ( valor promedio ) . Si además la constante no es cero, entonces la función constante es un orden promedio de . ${\estilo de visualización f}$${\estilo de visualización c}$${\estilo de visualización c}$${\displaystyle g(x)=c}$${\estilo de visualización f}$

• Un orden promedio de d ( n ) , el número de divisores de n , es log n ;
• Un orden promedio de σ ( n ) , la suma de los divisores de n , es n π ²  /  6 ;
• Un orden promedio de φ ( n ) , la función totiente de Euler de n , es 6 n  /  π ² ;
• Un orden promedio de r ( n ) , el número de formas de expresar n como suma de dos cuadrados, es π ;
• El orden medio de representaciones de un número natural como suma de tres cuadrados es 4π n  /  3 ;
• El número promedio de descomposiciones de un número natural en una suma de uno o más números primos consecutivos es n log2 ;
• Un orden promedio de ω ( n ) , el número de factores primos distintos de n , es loglog n ;
• Un orden promedio de Ω( n ) , el número de factores primos de n , es loglog n ;
• El teorema de los números primos es equivalente a la afirmación de que la función de von Mangoldt Λ( n ) tiene orden promedio 1;
• Un valor promedio de μ ( n ) , la función de Möbius , es cero; esto nuevamente es equivalente al teorema de los números primos .

En caso de que sea de la forma para alguna función aritmética , se tiene, ${\estilo de visualización F}$$${\displaystyle F(n)=\sum _{d\mid n}f(d),}$$${\displaystyle f(n)}$

Las identidades generalizadas de la forma anterior se encuentran aquí . Esta identidad a menudo proporciona una forma práctica de calcular el valor medio en términos de la función zeta de Riemann . Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

Para un entero, el conjunto de enteros libres de k - ^{ésima potencia} es ${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle Q_{k}}$$${\displaystyle Q_{k}:=\{n\in \mathbb {Z} \mid n{\text{ no es divisible por }}d^{k}{\text{ para cualquier entero }}d\geq 2\}.}$$

Calculamos la densidad natural de estos números en ℕ, es decir, el valor promedio de , denotado por , en términos de la función zeta . ${\displaystyle 1_{Q_{k}}}$${\displaystyle \delta (n)}$

La función es multiplicativa, y como está acotada por 1, su serie de Dirichlet converge absolutamente en el semiplano , y existe producto de Euler${\estilo de visualización \delta}$${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ $${\displaystyle \sum _{Q_{k}}n^{-s}=\sum _{n}\delta (n)n^{-s}=\prod _{p}\left(1+p^{-s}+\cdots +p^{-s(k-1)}\right)=\prod _{p}\left({\frac {1-p^{-sk}}{1-p^{-s}}}\right)={\frac {\zeta (s)}{\zeta (sk)}}.}$$

Mediante la fórmula de inversión de Möbius , obtenemos donde representa la función de Möbius . De manera equivalente, donde y por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _ {n}\mu (n)n^{-ks},}$$${\estilo de visualización \mu}$$${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (ks)}}=\sum _{n}f(n)n^{-s},}$$${\displaystyle f(n)={\begin{cases}\mu (d)&n=d^{k}\\0&{\text{de lo contrario}},\end{cases}}}$$${\displaystyle {\frac {\zeta(s)}{\zeta(sk)}}=\sum_{n}\left(\sum_{d\midn}f(d)\right)n^{-s}.}$$

Comparando los coeficientes, obtenemos $${\displaystyle \delta(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$$

Usando (1) , obtenemos $${\displaystyle \suma _{d\leq x}\delta (d)=x\suma _{d\leq x}(f(d)/d)+O(x^{1/k}).}$$

Concluimos que para ello utilizamos la relación que se desprende de la fórmula de inversión de Möbius. $${\displaystyle \sum _{\stackrel {n\in Q_{k}}{n\leq x}}1={\frac {x}{\zeta (k)}}+O(x^{1/k}),}$$$${\displaystyle \sum _{n}(f(n)/n)=\sum _{n}f(n^{k})n^{-k}=\sum _{n}\mu (n) n^{-k}={\frac {1}{\zeta (k)}},}$$

En particular, la densidad de los números enteros libres de cuadrados es . ${\textstyle \zeta (2)^{-1}={\frac {6}{\pi ^{2}}}}$

Decimos que dos puntos reticulares son visibles uno desde el otro si no hay ningún punto reticular en el segmento de línea abierto que los une.

Ahora bien, si mcd( a , b ) = d > 1 , entonces escribiendo a = da ² , b = db ² se observa que el punto ( a ² , b ² ) está en el segmento de línea que une (0,0) a ( a , b ) y por lo tanto ( a , b ) no es visible desde el origen. Por lo tanto ( a , b ) es visible desde el origen implica que ( a , b ) = 1. A la inversa, también es fácil ver que mcd( a , b ) = 1 implica que no hay otro punto reticular entero en el segmento que une (0,0) a ( a , b ). Por lo tanto, ( a , b ) es visible desde (0,0) si y solo si mcd( a , b ) = 1.

Tenga en cuenta que es la probabilidad de que un punto aleatorio en el cuadrado sea visible desde el origen. ${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{n}}}$${\displaystyle \{(r,s)\in \mathbb {N} :\max(|r|,|s|)=n\}}$

De esta manera, se puede demostrar que la densidad natural de los puntos visibles desde el origen está dada por el promedio, $${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n\leq N}{\frac {\varphi (n)}{n}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}={\frac {1}{\zeta (2)}}.}$$

${\textstyle {\frac {1}{\zeta (2)}}}$es también la densidad natural de los números libres al cuadrado en ℕ. De hecho, esto no es una coincidencia. Consideremos la red k -dimensional, . La densidad natural de los puntos que son visibles desde el origen es , que es también la densidad natural de los k -ésimos enteros libres en ℕ. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{k}}$${\textstyle {\frac {1}{\zeta (k)}}}$

Consideremos la generalización de : ${\displaystyle d(n)}$$${\displaystyle \sigma _{\alpha }(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }.}$$

Son verdaderas las siguientes: donde . $${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\begin{cases}\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)={\frac {\zeta (\alpha +1)}{\alpha +1}}x^{\alpha +1}+O(x^{\beta })&{\text{if }}\alpha >0,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{-1}(n)=\zeta (2)x+O(\log x)&{\text{if }}\alpha =-1,\\\;\;\sum _{n\leq x}\sigma _{\alpha }(n)=\zeta (-\alpha +1)x+O(x^{\max(0,1+\alpha )})&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \beta =\max(1,\alpha )}$

Esta noción se analiza mejor mediante un ejemplo. De ( es la constante de Euler-Mascheroni ) y tenemos la relación asintótica que sugiere que la función es una mejor opción de orden promedio para que simplemente . $${\displaystyle \sum _{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+o(x)}$$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}\log n=x\log x-x+O(\log x),}$$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}(d(n)-(\log n+2\gamma ))=o(x)\quad (x\to \infty ),}$$${\displaystyle \log n+2\gamma }$${\displaystyle d(n)}$${\displaystyle \log n}$

Sea h ( x ) una función sobre el conjunto de polinomios mónicos sobre F _q . Para definimos ${\displaystyle n\geq 1}$$${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)={\frac {1}{q^{n}}}\sum _{f{\text{ monic}},\deg(f)=n}h(f).}$$

Este es el valor medio (valor promedio) de h en el conjunto de polinomios mónicos de grado n . Decimos que g ( n ) es un orden promedio de h si cuando n tiende a infinito. $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(h)\sim g(n)}$$

En los casos en que existe el límite , se dice que h tiene un valor medio ( valor promedio ) c . $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\text{Ave}}_{n}(h)=c}$$

Sea F _q [ X ] = A el anillo de polinomios sobre el cuerpo finito F _q .

Sea h una función aritmética polinómica (es decir, una función sobre un conjunto de polinomios mónicos sobre A ). Su serie de Dirichlet correspondiente se define como donde para , establece si , y en caso contrario. $${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}h(f)|f|^{-s},}$$${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$${\displaystyle g\neq 0}$${\displaystyle |g|=0}$

La función zeta polinómica es entonces $${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f{\text{ monic}}}|f|^{-s}.}$$

De manera similar a la situación en N , cada serie de Dirichlet de una función multiplicativa h tiene una representación de producto (producto de Euler): donde el producto recorre todos los polinomios mónicos irreducibles P.$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n=0}^{\infty }h(P^{n})\left|P\right|^{-sn}\right),}$$

Por ejemplo, la representación del producto de la función zeta es como para los números enteros: . ${\textstyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}\left(1-\left|P\right|^{-s}\right)^{-1}}$

A diferencia de la función zeta clásica , es una función racional simple: ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}(|f|^{-s})=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{-sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

De manera similar, si f y g son dos funciones aritméticas polinómicas, se define f  *  g , la convolución de Dirichlet de f y g , por donde la suma se extiende sobre todos los divisores mónicos d de  m , o equivalentemente sobre todos los pares ( a , b ) de polinomios mónicos cuyo producto es m . La identidad sigue siendo válida. Por lo tanto, como en la teoría elemental, la serie polinómica de Dirichlet y la función zeta tienen una conexión con la noción de valores medios en el contexto de los polinomios. Los siguientes ejemplos lo ilustran. $${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(m)g\left({\frac {m}{d}}\right)\\&=\sum _{ab=m}f(a)g(b)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Defina como 1 si la k -ésima potencia es libre y 0 en caso contrario. ${\displaystyle \delta (f)}$${\displaystyle f}$

Calculamos el valor promedio de , que es la densidad de los polinomios libres de potencia k en F _q [X] , de la misma manera que en los números enteros. ${\displaystyle \delta }$

Por multiplicidad de : ${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\prod _{P}\left(\sum _{j=0}^{k-1}(|P|^{-js})\right)=\prod _{P}{\frac {1-|P|^{-sk}}{1-|P|^{-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(sk)}}={\frac {1-q^{1-ks}}{1-q^{1-s}}}={\frac {\zeta _{A}(s)}{\zeta _{A}(ks)}}}$$

Denotamos el número de polinomios mónicos de potencia k de grado n , obtenemos ${\displaystyle b_{n}}$$${\displaystyle \sum _{f}{\frac {\delta (f)}{|f|^{s}}}=\sum _{n}\sum _{{\text{def}}f=n}\delta (f)|f|^{-s}=\sum _{n}b_{n}q^{-sn}.}$$

Haciendo la sustitución obtenemos: ${\displaystyle u=q^{-s}}$$${\displaystyle {\frac {1-qu^{k}}{1-qu}}=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}u^{n}.}$$

Finalmente, expanda el lado izquierdo de una serie geométrica y compare los coeficientes en ambos lados, para concluir que ${\displaystyle u^{n}}$$${\displaystyle b_{n}={\begin{cases}q^{n}&n\leq k-1\\q^{n}(1-q^{1-k})&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Por eso, $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\delta )=1-q^{1-k}={\frac {1}{\zeta _{A}(k)}}}$$

Y como no depende de n este es también el valor medio de . ${\displaystyle \delta (f)}$

En F _q [X] , definimos $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=\sum _{f|m,{\text{ monic}}}|f|^{k}.}$$

Calcularemos para . ${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}(\sigma _{k})}$${\displaystyle k\geq 1}$

Primero, observe que donde y . $${\displaystyle \sigma _{k}(m)=h*\mathbb {I} (m)}$$${\displaystyle h(f)=|f|^{k}}$${\displaystyle \mathbb {I} (f)=1\;\;\forall {f}}$

Por lo tanto, $${\displaystyle \sum _{m}\sigma _{k}(m)|m|^{-s}=\zeta _{A}(s)\sum _{m}h(m)|m|^{-s}.}$$

Sustituimos y obtenemos por producto de Cauchy , ${\displaystyle q^{-s}=u}$$${\displaystyle {\text{LHS}}=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\sigma _{k}(m)\right)u^{n},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{RHS}}&=\sum _{n}q^{n(1-s)}\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}h(m)\right)u^{n}\\&=\sum _{n}q^{n}u^{n}\sum _{l}q^{l}q^{lk}u^{l}\\&=\sum _{n}\left(\sum _{j=0}^{n}q^{n-j}q^{jk+j}\right)\\&=\sum _{n}\left(q^{n}\left({\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}\right)\right)u^{n}.\end{aligned}}}$$

Finalmente lo entendemos, $${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}={\frac {1-q^{k(n+1)}}{1-q^{k}}}.}$$

Tenga en cuenta que $${\displaystyle q^{n}{\text{Ave}}_{n}\sigma _{k}=q^{n(k+1)}\left({\frac {1-q^{-k(n+1)}}{1-q^{-k}}}\right)=q^{n(k+1)}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$

Por lo tanto, si establecemos entonces el resultado anterior se lee de manera similar al resultado análogo para los números enteros: ${\displaystyle x=q^{n}}$$${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n,m{\text{ monic}}}\sigma _{k}(m)=x^{k+1}\left({\frac {\zeta (k+1)}{\zeta (kn+k+1)}}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{n\leq x}\sigma _{k}(n)={\frac {\zeta (k+1)}{k+1}}x^{k+1}+O(x^{k})}$$

Sea el número de divisores mónicos de f y sea la suma de todos los mónicos de grado n. donde . ${\displaystyle d(f)}$${\displaystyle D(n)}$${\displaystyle d(f)}$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)^{2}=\left(\sum _{h}|h|^{-s}\right)\left(\sum _{g}|g|^{-s}\right)=\sum _{f}\left(\sum _{hg=f}1\right)|f|^{-s}=\sum _{f}d(f)|f|^{-s}=D_{d}(s)=\sum _{n=0}^{\infty }D(n)u^{n}}$$${\displaystyle u=q^{-s}}$

Desarrollando el lado derecho en series de potencias obtenemos, $${\displaystyle D(n)=(n+1)q^{n}.}$$

Sustituir la ecuación anterior se convierte en: que se asemeja mucho al resultado análogo para números enteros , donde es la constante de Euler . ${\displaystyle x=q^{n}}$$${\displaystyle D(n)=x\log _{q}(x)+x}$$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}d(k)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}})}$${\displaystyle \gamma }$

No se sabe mucho acerca del término de error para los números enteros, mientras que en el caso de los polinomios no existe tal término. Esto se debe a la naturaleza muy simple de la función zeta y a que no tiene ceros. ${\displaystyle \zeta _{A}(s)}$

La función polinomial de von Mangoldt se define por: donde el logaritmo se toma en base a q . $${\displaystyle \Lambda _{A}(f)={\begin{cases}\log |P|&{\text{if }}f=|P|^{k}{\text{ for some prime monic}}P{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Proposición. El valor medio de es exactamente 1 . ${\displaystyle \Lambda _{A}}$

Demostración. Sea m un polinomio mónico y sea la descomposición prima de m . ${\textstyle m=\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}}$

Tenemos, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{f|m}\Lambda _{A}(f)&=\sum _{(i_{1},\ldots ,i_{l})|0\leq i_{j}\leq e_{j}}\Lambda _{A}\left(\prod _{j=1}^{l}P_{j}^{i_{j}}\right)=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\Lambda _{A}(P_{j}^{i})\\&=\sum _{j=1}^{l}\sum _{i=1}^{e_{i}}\log |P_{j}|\\&=\sum _{j=1}^{l}e_{j}\log |P_{j}|=\sum _{j=1}^{l}\log |P_{j}|^{e_{j}}\\&=\log \left|\left(\prod _{i=1}^{l}P_{i}^{e_{i}}\right)\right|\\&=\log(m)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, y lo obtenemos, $${\displaystyle \mathbb {I} \cdot \Lambda _{A}(m)=\log |m|}$$$${\displaystyle \zeta _{A}(s)D_{\Lambda _{A}}(s)=\sum _{m}\log \left|m\right|\left|m\right|^{-s}.}$$

Ahora, $${\displaystyle \sum _{m}|m|^{s}=\sum _{n}\sum _{\deg m=n}u^{n}=\sum _{n}q^{n}u^{n}=\sum _{n}q^{n(1-s)}.}$$

De este modo, $${\displaystyle {\frac {d}{ds}}\sum _{m}|m|^{s}=-\sum _{n}\log(q^{n})q^{n(1-s)}=-\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}\log(q^{n})q^{-ns}=-\sum _{f}\log \left|f\right|\left|f\right|^{-s}.}$$

Lo conseguimos: $${\displaystyle D_{\Lambda _{A}}(s)={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}}$$

Ahora, $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m}\Lambda _{A}(m)|m|^{-s}&=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)q^{-sm}\right)=\sum _{n}\left(\sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)\right)u^{n}\\&={\frac {-\zeta '_{A}(s)}{\zeta _{A}(s)}}={\frac {q^{1-s}\log(q)}{1-q^{1-s}}}\\&=\log(q)\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}u^{n}\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, y dividiendo por obtenemos que, $${\displaystyle \sum _{\deg(m)=n}\Lambda _{A}(m)=q^{n}\log(q),}$$${\displaystyle q^{n}}$$${\displaystyle {\text{Ave}}_{n}\Lambda _{A}(m)=\log(q)=1.}$$

Definamos el análogo polinómico de la función totiente de Euler , , como el número de elementos en el grupo . Tenemos, ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (A/fA)^{*}}$$${\displaystyle \sum _{\deg f=n,f{\text{ monic}}}\Phi (f)=q^{2n}(1-q^{-1}).}$$

• Función sumatoria divisoria
• Orden normal de una función aritmética
• Órdenes extremos de una función aritmética
• Identidades de suma de divisores

• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. Sr.  2445243. Zbl  1159.11001. págs. 347–360
• Gérald Tenenbaum (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Cambridge University Press . pp. 36–55. ISBN. 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .
• Tom M. Apostol (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Springer Undergraduate Texts in Mathematics , ISBN 0-387-90163-9
• Michael Rosen (2000), Teoría de números en campos de funciones , Springer Graduate Texts In Mathematics, ISBN 0-387-95335-3
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2006), Teoría de números multiplicativos , Cambridge University Press, ISBN 978-0521849036
• Michael Baakea; Robert V. Moodyb; Peter AB Pleasantsc (2000), Difracción a partir de puntos de red visibles y enteros libres de potencia k , Discrete Mathematics- Journal