Orden normal de una función aritmética

En teoría de números , un orden normal de una función aritmética es una función más simple o mejor entendida que "usualmente" toma los mismos valores o valores muy aproximados.

Sea f una función de los números naturales . Decimos que g es un orden normal de f si para cada ε  > 0, las desigualdades

${\displaystyle (1-\varepsilon )g(n)\leq f(n)\leq (1+\varepsilon )g(n)}$

se cumple para casi todos los n : es decir, si la proporción de n ≤ x para la que esto no se cumple tiende a 0 cuando x tiende a infinito.

Es convencional asumir que la función de aproximación g es continua y monótona .

• El teorema de Hardy-Ramanujan : el orden normal de ω( n ), el número de factores primos distintos de n , es log(log( n ));
• El orden normal de Ω( n ), el número de factores primos de n contados con multiplicidad , es log(log( n ));
• El orden normal de log( d ( n )), donde d ( n ) es el número de divisores de n , es log(2) log(log( n )).

• Orden promedio de una función aritmética
• Función divisoria
• Órdenes extremos de una función aritmética
• Desigualdad de Turán-Kubilius

• Hardy, GH ; Ramanujan, S. (1917). "El número normal de factores primos de un número n". Quart. J. Math . 48 : 76–92. JFM  46.0262.03.
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Introducción a la teoría de números . Revisado por DR Heath-Brown y JH Silverman . Prólogo de Andrew Wiles . (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press . ISBN 978-0-19-921986-5. Sr.  2445243. Zbl  1159.11001.. pág. 473
• Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004), Manual de teoría de números II , Dordrecht: Kluwer Academic, p. 332, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl1079.11001 ​
• Tenenbaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge studies in advanced mathematics. Vol. 46. Traducido de la segunda edición francesa por CBThomas. Cambridge University Press . pp. 299–324. ISBN 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .

• Weisstein, Eric W. "Orden normal". MundoMatemático .