Función de von Mangoldt

En matemáticas , la función de von Mangoldt es una función aritmética que recibe su nombre del matemático alemán Hans von Mangoldt . Es un ejemplo de una función aritmética importante que no es ni multiplicativa ni aditiva .

La función de von Mangoldt, denotada por Λ( n ) , se define como

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{si }}n=p^{k}{\text{ para algún primo }}p{\text{ y entero }}k\geq 1,\\0&{\text{en caso contrario.}}\end{cases}}}$

Los valores de Λ( n ) para los primeros nueve números enteros positivos (es decir, números naturales) son

${\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}$

que está relacionada con (secuencia A014963 en la OEIS ).

La función de von Mangoldt satisface la identidad ^{[1] [2]}

${\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}$

La suma se toma sobre todos los números enteros d que dividen a n . Esto se demuestra por el teorema fundamental de la aritmética , ya que los términos que no son potencias de primos son iguales a 0. Por ejemplo, considere el caso n = 12 = 2 ² × 3. Entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}$

Por inversión de Möbius , tenemos

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}$

y usando la regla del producto para el logaritmo obtenemos ^{[2] [3] [4]}

${\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}$

Para todos , tenemos ^[5]${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \sum_{n\leqx}{\frac {\Lambda(n)}{n}}=\log x+O(1).}$

Además, existen constantes positivas c ₁ y c ₂ tales que

${\displaystyle \psi(x)\leq c_{1}x,}$

para todos , y ${\displaystyle x\geq 1}$

${\displaystyle \psi(x)\geq c_{2}x,}$

para todos los x suficientemente grandes .

La función de von Mangoldt juega un papel importante en la teoría de las series de Dirichlet y, en particular, en la función zeta de Riemann . Por ejemplo, se tiene

${\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}$

La derivada logarítmica es entonces ^[6]

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Estos son casos especiales de una relación más general en la serie de Dirichlet. Si uno tiene

${\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}$

para una función completamente multiplicativa f ( n ) , y la serie converge para Re( s ) > σ ₀ , entonces

${\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}$

converge para Re( s ) > σ ₀ .

La segunda función de Chebyshev ψ ( x ) es la función sumatoria de la función de von Mangoldt: ^[7]

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}$

Fue introducido por Pafnuty Chebyshev, quien lo utilizó para demostrar que el verdadero orden de la función de conteo de primos es . Von Mangoldt proporcionó una prueba rigurosa de una fórmula explícita para ψ ( x ) que implica una suma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann . Esta fue una parte importante de la primera prueba del teorema de los números primos . ${\displaystyle \pi (x)}$${\displaystyle x/\log x}$

La transformada de Mellin de la función de Chebyshev se puede encontrar aplicando la fórmula de Perron :

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}$

lo cual es válido para Re( s ) > 1 .

Hardy y Littlewood examinaron la serie ^[8]

${\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}$

en el límite y → 0 ⁺ . Suponiendo la hipótesis de Riemann , demuestran que

${\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}$

En particular, esta función es oscilatoria con oscilaciones divergentes : existe un valor K > 0 tal que ambas desigualdades

${\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}$

se cumplen infinitamente a menudo en cualquier entorno de 0. El gráfico de la derecha indica que este comportamiento no es numéricamente obvio al principio: las oscilaciones no se ven claramente hasta que la serie se suma en exceso de 100 millones de términos, y solo son fácilmente visibles cuando y < 10 ⁻⁵ .

La media de Riesz de la función de von Mangoldt está dada por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}$

Aquí, λ y δ son números que caracterizan la media de Riesz. Se debe tomar c > 1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y

${\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}$

Se puede demostrar que es una serie convergente para λ > 1 .

Existe una fórmula explícita para la función sumatoria de Mangoldt dada por ^[9]${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}$

Si separamos los ceros triviales de la función zeta, que son los números enteros pares negativos, obtenemos

${\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}$

(La suma no es absolutamente convergente, por lo que tomamos los ceros en orden del valor absoluto de su parte imaginaria.)

En la dirección opuesta, en 1911 E. Landau demostró que para cualquier t fijo > 1 ^[10]

${\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}$

(Utilizamos la notación ρ = β + iγ para los ceros no triviales de la función zeta.)

Por lo tanto, si utilizamos la notación de Riemann α = −i(ρ − 1/2) tenemos que la suma sobre ceros zeta no triviales expresada como

${\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}$

picos en números primos y potencias de primos.

La transformada de Fourier de la función de von Mangoldt da un espectro con picos en las ordenadas iguales a las partes imaginarias de los ceros de la función zeta de Riemann. Esto a veces se denomina dualidad.

Las funciones

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}$

donde denota la función de Möbius y denota un entero positivo, generaliza la función de von Mangoldt. ^[11] La función es la función de von Mangoldt ordinaria . ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Lambda _{1}}$${\displaystyle \Lambda }$

• Función de conteo de primos

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Hardy, GH ; Wright, EM (2008) [1938]. Heath-Brown, DR ; Silverman, JH (eds.). Introducción a la teoría de números (6.ª ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. Sr.  2445243. Zbl  1159.11001.

• Tenebaum, Gérald (1995). Introducción a la teoría analítica y probabilística de números . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Traducido por CB Thomas. Cambridge: Cambridge University Press . ISBN. 0-521-41261-7.Zbl 0831.11001  .

• Allan Gut, Algunas observaciones sobre la distribución zeta de Riemann (2005)
• SA Stepanov (2001) [1994], "Función de Mangoldt", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Heike, ¿Cómo se traza el espectro zeta cero de Riemann en Mathematica? (2012)