Función de Möbius

La función de Möbius μ ( n ) es una función multiplicativa en la teoría de números introducida por el matemático alemán August Ferdinand Möbius (también transcrito Moebius ) en 1832. ^{[i] [ii] [2]} Es omnipresente en la teoría de números analítica y elemental y aparece con mayor frecuencia como parte de su homónima, la fórmula de inversión de Möbius . Siguiendo el trabajo de Gian-Carlo Rota en la década de 1960, se introdujeron generalizaciones de la función de Möbius en la combinatoria, y se denotan de manera similar μ ( x ) .

La función de Möbius está definida por ^{[3] [ página necesaria ]} Otra caracterización de Gauss es la suma de todas las raíces primitivas . ^[4]$${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1&{\text{si }}n=1\\(-1)^{k}&{\text{si }}n{\text{ es el producto de }}k{\text{ primos distintos}}\\0&{\text{si }}n{\text{ es divisible por un cuadrado}}>1\end{cases}}}$$

Los valores de μ ( n ) para los primeros 50 números positivos son

Los primeros 50 valores de la función se representan gráficamente a continuación:

Los valores mayores se pueden consultar en:

• Wolframalfa
• El archivo b de OEIS

La serie de Dirichlet que genera la función de Möbius es la inversa (multiplicativa) de la función zeta de Riemann ; si s es un número complejo con parte real mayor que 1 tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Esto se puede ver en su producto de Euler.

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

También:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}};}$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}=0;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1;}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma ,}$¿Dónde está la constante de Euler ?${\displaystyle \gamma }$

La serie de Lambert para la función de Möbius es

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q,}$

que converge para | q | < 1 . Para primo α ≥ 2 , también tenemos

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Gauss ^[1] demostró que para un número primo p la suma de sus raíces primitivas es congruente con μ ( p − 1) (mod p ) .

Si F _q denota el cuerpo finito de orden q (donde q es necesariamente una potencia prima), entonces el número N de polinomios mónicos irreducibles de grado n sobre F _q está dado por ^[5]

${\displaystyle N(q,n)={\frac {1}{n}}\sum _{d\mid n}\mu (d)q^{\frac {n}{d}}.}$

La función de Möbius se utiliza en la fórmula de inversión de Möbius .

La función de Möbius también surge en el modelo de supersimetría de gas primon o gas libre de Riemann . En esta teoría, las partículas fundamentales o "primones" tienen energías log p . En la segunda cuantificación , se consideran las excitaciones multipartículas; estas están dadas por log n para cualquier número natural n . Esto se deduce del hecho de que la factorización de los números naturales en primos es única.

En el gas libre de Riemann puede existir cualquier número natural, si los primones se toman como bosones . Si se toman como fermiones , entonces el principio de exclusión de Pauli excluye a los cuadrados. El operador (−1) ^F que distingue a los fermiones de los bosones no es otro que la función de Möbius μ ( n ) .

El gas libre de Riemann tiene otras conexiones interesantes con la teoría de números, incluido el hecho de que la función de partición es la función zeta de Riemann . Esta idea subyace al intento de Alain Connes de demostrar la hipótesis de Riemann . ^[6]

La función de Möbius es multiplicativa (es decir, μ ( ab ) = μ ( a ) μ ( b ) ) siempre que a y b sean coprimos .

Demostración : Dados dos números coprimos , inducimos en . Si , entonces . De lo contrario, , por lo que${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle mn}$${\displaystyle mn=1}$${\displaystyle \mu (mn)=1=\mu (m)\mu (n)}$${\displaystyle m>n\geq 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\sum _{d|mn}\mu (d)\\&=\mu (mn)+\sum _{d|mn;d<mn}\mu (d)\\&{\stackrel {\text{induction}}{=}}\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m;d'|n}\mu (d)\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+\sum _{d|m}\mu (d)\sum _{d'|n}\mu (d')\\&=\mu (mn)-\mu (m)\mu (n)+0\end{aligned}}}$$

La suma de la función de Möbius sobre todos los divisores positivos de n (incluido el propio n y 1) es cero excepto cuando n = 1 :

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

La igualdad anterior conduce a la importante fórmula de inversión de Möbius y es la razón principal por la que μ es relevante en la teoría de funciones multiplicativas y aritméticas.

Otras aplicaciones de μ ( n ) en combinatoria están relacionadas con el uso del teorema de enumeración de Pólya en grupos combinatorios y enumeraciones combinatorias.

Existe una fórmula ^[7] para calcular la función de Möbius sin conocer directamente la factorización de su argumento:

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

es decir, μ ( n ) es la suma de las raíces primitivas n - ésimas de la unidad . (Sin embargo, la complejidad computacional de esta definición es al menos la misma que la de la definición del producto de Euler).

Otras identidades satisfechas por la función de Möbius incluyen

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

y

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\sin \left({\frac {\pi jk}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

El primero de ellos es un resultado clásico, mientras que el segundo se publicó en 2020. ^{[8] [9]} Se cumplen identidades similares para la función de Mertens .

La fórmula

${\displaystyle \sum _{d\mid n}\mu (d)={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1,\\0&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$

Se puede escribir utilizando la convolución de Dirichlet como: donde es la identidad bajo la convolución . ${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

Una forma de demostrar esta fórmula es notar que la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es nuevamente multiplicativa. Por lo tanto, basta con demostrar la fórmula para potencias de primos. En efecto, para cualquier primo p y para cualquier k > 0

${\displaystyle 1*\mu (p^{k})=\sum _{d\mid p^{k}}\mu (d)=\mu (1)+\mu (p)+\sum _{1<m<=k}\mu (p^{m})=1-1+\sum 0=0=\varepsilon (p^{k})}$,

mientras que para n = 1

${\displaystyle 1*\mu (1)=\sum _{d\mid 1}\mu (d)=\mu (1)=1=\varepsilon (1)}$.

Otra forma de probar esta fórmula es utilizando la identidad

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

La fórmula anterior es entonces una consecuencia del hecho de que las n -ésimas raíces de la unidad suman 0, ya que cada n- ésima raíz de la unidad es una d -ésima raíz de la unidad primitiva para exactamente un divisor d de n .

Sin embargo, también es posible demostrar esta identidad a partir de primeros principios. Nótese primero que es trivialmente cierta cuando n = 1. Supóngase entonces que n > 1. Entonces hay una biyección entre los factores d de n para los cuales μ ( d ) ≠ 0 y los subconjuntos del conjunto de todos los factores primos de n . El resultado afirmado se sigue del hecho de que cada conjunto finito no vacío tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar.

Este último hecho se puede demostrar fácilmente por inducción sobre la cardinalidad | S | de un conjunto finito no vacío S . Primero, si | S | = 1 , hay exactamente un subconjunto de cardinalidad impar de S , a saber, S mismo, y exactamente un subconjunto de cardinalidad par, a saber, ∅ . A continuación, si | S | > 1 , entonces dividimos los subconjuntos de S en dos subclases dependiendo de si contienen o no algún elemento fijo x en S . Hay una biyección obvia entre estas dos subclases, apareando aquellos subconjuntos que tienen el mismo complemento relativo al subconjunto { x } . Además, una de estas dos subclases consiste en todos los subconjuntos del conjunto S \ { x } , y por lo tanto, por la hipótesis de inducción, tiene un número igual de subconjuntos de cardinalidad par e impar. Estos subconjuntos a su vez corresponden biyectivamente a los subconjuntos de S que contienen cardinalidad par e impar { x } . El paso inductivo se sigue directamente de estas dos biyecciones.

Un resultado relacionado es que los coeficientes binomiales exhiben entradas alternas de potencia par e impar que se suman simétricamente.

El valor medio (en el sentido de órdenes promedio) de la función de Möbius es cero. Esta afirmación es, de hecho, equivalente al teorema de los números primos . ^[10]

μ ( n ) = 0 si y sólo si n es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros números con esta propiedad son

4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, ... (secuencia A013929 en la OEIS ).

Si n es primo, entonces μ ( n ) = −1 , pero la inversa no es cierta. El primer n no primo para el cual μ ( n ) = −1 es 30 = 2 × 3 × 5 . Los primeros números de este tipo con tres factores primos distintos ( números esfénicos ) son

30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (secuencia A007304 en la OEIS ).

y los primeros números con 5 factores primos distintos son

2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... (secuencia A046387 en la OEIS ).

En teoría de números, otra función aritmética estrechamente relacionada con la función de Möbius es la función de Mertens , definida por

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}$

para cada número natural n . Esta función está estrechamente vinculada con las posiciones de los ceros de la función zeta de Riemann . Véase el artículo sobre la conjetura de Mertens para obtener más información sobre la conexión entre M ( n ) y la hipótesis de Riemann .

De la fórmula

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}},}$

De ello se deduce que la función de Mertens viene dada por

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

donde F _n es la secuencia de Farey de orden n .

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . ^[11]

En combinatoria , a cada conjunto parcialmente ordenado localmente finito (conjunto parcial) se le asigna un álgebra de incidencia . Un miembro destacado de esta álgebra es la "función de Möbius" de ese conjunto parcial. La función de Möbius clásica tratada en este artículo es esencialmente igual a la función de Möbius del conjunto de todos los números enteros positivos parcialmente ordenados por divisibilidad . Consulte el artículo sobre álgebras de incidencia para obtener la definición precisa y varios ejemplos de estas funciones de Möbius generales.

Constantin Popovici ^[12] definió una función de Möbius generalizada μ _k = μ ∗ ... ∗ μ como la convolución de Dirichlet k -fold de la función de Möbius consigo misma. Por lo tanto, es nuevamente una función multiplicativa con

${\displaystyle \mu _{k}\left(p^{a}\right)=(-1)^{a}{\binom {k}{a}}\ }$

donde el coeficiente binomial se toma como cero si a > k . La definición puede extenderse al complejo k leyendo el binomio como un polinomio en k . ^[13]

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• Weisstein, Eric W. "Función de Möbius". MundoMatemático .