Función de Liouville

En teoría de números , la función de Liouville , que recibe su nombre del matemático francés Joseph Liouville y se denota $\lambda (n)$ es una función aritmética importante . Su valor es $1$ si $n$ es el producto de un número par de números primos y $-1$ si es el producto de un número impar de números primos.

Definición

Por el teorema fundamental de la aritmética , cualquier entero positivo $n$ puede representarse de forma única como un producto de potencias de números primos:

n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}

,

dónde $p_{1},\dots ,p_{k}$ son primos y los exponentes $a_{1},\dots ,a_{k}$ son enteros positivos. La función omega prima $\Omega (n)$ cuenta el número de primos en la factorización de $n$ con multiplicidad:

\Omega (n)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}

.

Así, la función de Liouville se define por

\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}

(secuencia A008836 en el OEIS ) .

Propiedades

Desde $\Omega (n)$ es completamente aditivo ; es decir, $\Omega (ab)=\Omega (a)+\Omega (b)$ , entonces $\lambda (n)$ es completamente multiplicativo . Dado que $1$ no tiene factores primos, $\Omega (1)=0$ , entonces $\lambda (1)=1$ .

$\lambda (n)$ También está relacionado con la función de Möbius. $\mu (n)$ : si escribimos $n$ como $n=a^{2}b$ , dónde $b$ es libre de cuadrados , entonces

\lambda (n)=\mu (b).

La suma de la función de Liouville sobre los divisores de $n$ es la función característica de los cuadrados :

\sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&{\text{si }}n{\text{ es un cuadrado perfecto,}}\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}

La inversión de Möbius de esta fórmula produce

\lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right).

La inversa de Dirichlet de la función de Liouville es el valor absoluto de la función de Möbius, $\lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n)$ , la función característica de los enteros libres de cuadrados.

Serie

La serie de Dirichlet para la función de Liouville está relacionada con la función zeta de Riemann mediante

{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.

También:

\sum \limits _ {n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\ln n}{n}}=-\zeta (2)=-{\frac {\pi ^{2}}{6}}.

La serie Lambert para la función Liouville es

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {1}{2}}\left(\vartheta _{3}(q)-1\right),

dónde $\vartheta _ {3}(q)$ es la función theta de Jacobi .

Conjeturas sobre funciones sumativas ponderadas

Función de Liouville resumida L ( n ) hasta n = 10 ⁴ . Las oscilaciones fácilmente visibles se deben al primer cero no trivial de la función zeta de Riemann.

Función de Liouville resumida L ( n ) hasta n = 10 ⁷ . Nótese la aparente invariancia de escala de las oscilaciones.

Logarithmic graph of the negative of the summatory Liouville function L(n) up to n = 2 × 10⁹. The green spike shows the function itself (not its negative) in the narrow region where the Pólya conjecture fails; the blue curve shows the oscillatory contribution of the first Riemann zero.

Harmonic Summatory Liouville function T(n) up to n = 10³

The Pólya problem is a question raised made by George Pólya in 1919. Defining

L(n)=\sum _ {k=1}^{n}\lambda (k)

(sequence A002819 in the OEIS),

the problem asks whether L(n) ≤ 0 for all n > 1. The answer turns out to be no. The smallest counter-example is n = 906150257, found by Minoru Tanaka in 1980. It has since been shown that L(n) > 0.0618672√n for infinitely many positive integers n,^[1] while it can also be shown via the same methods that L(n) < −1.3892783√n for infinitely many positive integers n.^[2]

For any $\varepsilon >0$ , assuming the Riemann hypothesis, we have that the summatory function $L(x)\equiv L_{0}(x)$ is bounded by

L(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left(C\cdot \log ^{1/2}(x)\left(\log \log x\right)^{5/2+\varepsilon }\right)\right),

where the $C>0$ is some absolute limiting constant.^[2]

Define the related sum

T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.

It was open for some time whether T(n) ≥ 0 for sufficiently big n ≥ n₀ (this conjecture is occasionally—though incorrectly—attributed to Pál Turán). This was then disproved by Haselgrove (1958), who showed that T(n) takes negative values infinitely often. A confirmation of this positivity conjecture would have led to a proof of the Riemann hypothesis, as was shown by Pál Turán.

Generalizations

More generally, we can consider the weighted summatory functions over the Liouville function defined for any $\alpha \in \mathbb {R}$ as follows for positive integers x where (as above) we have the special cases $L(x):=L_{0}(x)$ and $T(x)=L_{1}(x)$ ^[2]

L_{\alpha }(x):=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n^{\alpha }}}.

These $\alpha ^{-1}$ Las funciones sumatorias ponderadas están relacionadas con la función de Mertens , o funciones sumatorias ponderadas de la función de Möbius . De hecho, tenemos que la denominada función no ponderada u ordinaria $L(x)$ corresponde precisamente a la suma

L(x)=\sum _{d^{2}\leq x}M\left({\frac {x}{d^{2}}}\right)=\sum _{d^{2}\leq x}\sum _{n\leq {\frac {x}{d^{2}}}}\mu (n).

Además, estas funciones satisfacen relaciones asintóticas de acotación similares. ^{[ 2 ]} Por ejemplo, siempre que $0\leq \alpha \leq {\frac {1}{2}}$ , vemos que existe una constante absoluta $C_{\alpha }>0$ de tal manera que

L_{\alpha }(x)=O\left(x^{1-\alpha }\exp \left(-C_{\alpha }{\frac {(\log x)^{3/5}}{(\log \log x)^{1/5}}}\right)\right).

Mediante la aplicación de la fórmula de Perron , o equivalentemente mediante una transformada de Mellin (inversa) clave , tenemos que

{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}=s\cdot \int _{1}^{\infty }{\frac {L_{\alpha }(x)}{x^{s+1}}}dx,

que luego se puede invertir mediante la transformada inversa para demostrar que para $x>1$ , $T\geq 1$ y $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$

L_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi \imath }}\int _{\sigma _{0}-\imath T}^{\sigma _{0}+\imath T}{\frac {\zeta (2\alpha +2s)}{\zeta (\alpha +s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{s}}ds+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T),

donde podemos tomar $\sigma _{0}:=1-\alpha +1/\log(x)$ y con los términos restantes definidos de tal manera que $E_{\alpha }(x)=O(x^{-\alpha })$ y $R_{\alpha }(x,T)\rightarrow 0$ como $T\rightarrow \infty$ .

En particular, si asumimos que la hipótesis de Riemann (HR) es verdadera y que todos los ceros no triviales, denotados por $\rho ={\frac {1}{2}}+\imath \gamma$ , de la función zeta de Riemann son simples , entonces para cualquier $0\leq \alpha <{\frac {1}{2}}$ y $x\geq 1$ existe una secuencia infinita de $\{T_{v}\}_{v\geq 1}$ lo cual satisface que $v\leq T_{v}\leq v+1$ para todo v tal que

L_{\alpha }(x)={\frac {x^{1/2-\alpha }}{(1-2\alpha )\zeta (1/2)}}+\sum _{|\gamma |<T_{v}}{\frac {\zeta (2\rho )}{\zeta ^{\prime }(\rho )}}\cdot {\frac {x^{\rho -\alpha }}{(\rho -\alpha )}}+E_{\alpha }(x)+R_{\alpha }(x,T_{v})+I_{\alpha }(x),

donde para cualquier cada vez más pequeño $0<\varepsilon <{\frac {1}{2}}-\alpha$ definimos

I_{\alpha }(x):={\frac {1}{2\pi \imath \cdot x^{\alpha }}}\int _{\varepsilon +\alpha -\imath \infty }^{\varepsilon +\alpha +\imath \infty }{\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}\cdot {\frac {x^{s}}{(s-\alpha )}}ds,

y donde el término restante

R_{\alpha }(x,T)\ll x^{-\alpha }+{\frac {x^{1-\alpha }\log(x)}{T}}+{\frac {x^{1-\alpha }}{T^{1-\varepsilon }\log(x)}},

lo cual, por supuesto, tiende a 0 como $T\rightarrow \infty$ Estas expansiones exactas de fórmulas analíticas comparten nuevamente propiedades similares a las correspondientes a los casos de la función de Mertens ponderada . Además, dado que $\zeta (1/2)<0$ tenemos otra similitud en forma de $L_{\alpha }(x)$ a $M(x)$ en la medida en que el término dominante principal en las fórmulas anteriores predice un sesgo negativo en los valores de estas funciones sobre los números naturales positivos x .

Referencias

↑ Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). "Cambios de signo en sumas de la función de Liouville" . Matemáticas de la computación . 77 (263): 1681– 1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .
1 2 3 4 Humphries, Peter (2013). "La distribución de sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólya" . Journal of Number Theory . 133 (2): 545– 582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

Pólya, G. (1919). "Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie". Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 28 : 31-40 .
Haselgrove, C. Brian (1958). "Una refutación de una conjetura de Pólya". Mathematika . 5 (2): 141– 145. doi : 10.1112/S0025579300001480 . ISSN 0025-5793 . MR 0104638 . Zbl 0085.27102 .
Lehman, R. (1960). "Sobre la función de Liouville" . Matemáticas de la Computación . 14 (72): 311– 320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . MR 0120198 .
Tanaka, Minoru (1980). "Una investigación numérica sobre la suma acumulativa de la función de Liouville" . Tokyo Journal of Mathematics . 3 (1): 187– 189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR 0584557 .
Weisstein, Eric W. "Función de Liouville" . MundoMatemático .
AF Lavrik (2001) [1994], "Función de Liouville" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

[1] Borwein, P.; Ferguson, R.; Mossinghoff, MJ (2008). "Cambios de signo en sumas de la función de Liouville" . Matemáticas de la computación . 77 (263): 1681– 1694. doi : 10.1090/S0025-5718-08-02036-X .

[HUMPHRIES-WEIGHTED-SUMFUNCS-2] 1 2 3 4 Humphries, Peter (2013). "La distribución de sumas ponderadas de la función de Liouville y la conjetura de Pólya" . Journal of Number Theory . 133 (2): 545– 582. arXiv : 1108.1524 . doi : 10.1016/j.jnt.2012.08.011 .

[1]

[2]