Función de Mertens

En teoría de números , la función de Mertens se define para todos los números enteros positivos n como

${\displaystyle M(n)=\sum _ {k=1}^{n}\mu (k),}$

donde es la función de Möbius . La función recibe su nombre en honor a Franz Mertens . Esta definición se puede extender a los números reales positivos de la siguiente manera: ${\displaystyle \mu(k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lpiso x\rpiso ).}$

De manera menos formal, es el recuento de números enteros libres de cuadrados hasta x que tienen un número par de factores primos, menos el recuento de aquellos que tienen un número impar. ${\estilo de visualización M(x)}$

Los primeros 143 valores M ( n ) son (secuencia A002321 en la OEIS )

La función de Mertens crece lentamente en direcciones positivas y negativas tanto en promedio como en valor pico, oscilando de manera aparentemente caótica pasando por cero cuando n tiene los valores

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 7, 428, ... (secuencia A028442 en la OEIS ).

Como la función de Möbius solo toma los valores −1, 0 y +1, la función de Mertens se mueve lentamente y no existe ninguna x tal que | M ( x )| >  x . H. Davenport ^{[1] demostró que, para cualquier} h fija ,

${\displaystyle \sum_{n=1}^{x}\mu(n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

uniformemente en . Esto implica, para eso ${\estilo de visualización \theta}$${\displaystyle \theta = 0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

La conjetura de Mertens fue más allá, afirmando que no habría x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda la raíz cuadrada de x . La conjetura de Mertens fue demostrada falsa en 1985 por Andrew Odlyzko y Herman te Riele . Sin embargo, la hipótesis de Riemann es equivalente a una conjetura más débil sobre el crecimiento de M ( x ), a saber, M ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} ). Dado que los valores altos para M ( x ) crecen al menos tan rápido como , esto pone un límite bastante estricto en su tasa de crecimiento. Aquí, O se refiere a la notación O grande . ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

No se conoce la verdadera tasa de crecimiento de M ( x ). Una conjetura no publicada de Steve Gonek afirma que

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

Nathan Ng ofrece evidencia probabilística de esta conjetura. ^[2] En particular, Ng ofrece una prueba condicional de que la función tiene una distribución límite en . Es decir, para todas las funciones continuas de Lipschitz acotadas en los números reales tenemos que ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

si se asumen varias conjeturas sobre la función zeta de Riemann .

Utilizando el producto de Euler , se encuentra que

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

donde es la función zeta de Riemann y el producto se toma sobre los primos. Entonces, utilizando esta serie de Dirichlet con la fórmula de Perron , se obtiene ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

donde c > 1.

Por el contrario, se tiene la transformada de Mellin

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

lo cual es válido para . ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

Una curiosa relación dada por el propio Mertens que involucra la segunda función de Chebyshev es

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

Suponiendo que la función zeta de Riemann no tiene múltiples ceros no triviales, se tiene la "fórmula exacta" por el teorema del residuo :

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

Weyl conjeturó que la función de Mertens satisfacía la ecuación diferencial funcional aproximada

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

donde H ( x ) es la función escalonada de Heaviside , B son números de Bernoulli y todas las derivadas con respecto a t se evalúan en t  = 0.

También existe una fórmula de traza que implica una suma sobre la función de Möbius y ceros de la función zeta de Riemann en la forma

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

donde la primera suma del lado derecho se toma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, y ( g ,  h ) están relacionados por la transformada de Fourier , de modo que

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

Otra fórmula para la función de Mertens es

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

donde es la secuencia de Farey de orden n . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . ^[3]

M ( n ) es el determinante de la matriz de Redheffer n  ×  n , una matriz (0, 1) en la que a _ij es 1 si j es 1 o i divide a j .

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

Esta formulación ^{[ cita requerida ]} que expande la función de Mertens sugiere límites asintóticos obtenidos al considerar el problema del divisor de Piltz , que generaliza el problema del divisor de Dirichlet de calcular estimaciones asintóticas para la función sumatoria de la función divisor .

De ^[4] tenemos

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

Además, a partir de ^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

donde es la función sumatoria totient . ${\displaystyle \Phi (n)}$

Ninguno de los métodos mencionados anteriormente conduce a algoritmos prácticos para calcular la función de Mertens. Utilizando métodos de criba similares a los utilizados en el conteo de primos, se ha calculado la función de Mertens para todos los números enteros hasta un rango creciente de x . ^{[6] [7]}

La función de Mertens para todos los valores enteros hasta x se puede calcular en tiempo O ( x log log x ) . Un algoritmo combinatorio ha sido desarrollado incrementalmente a partir de 1870 por Ernst Meissel , ^[8] Lehmer , ^[9] Lagarias - Miller - Odlyzko , ^[10] y Deléglise-Rivat ^[11] que calcula valores aislados de M ( x ) en tiempo O ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 ) ; una mejora adicional de Harald Helfgott y Lola Thompson en 2021 mejora esto a O ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε ) , ^[12] y un algoritmo de Lagarias y Odlyzko basado en integrales de la función zeta de Riemann logra un tiempo de ejecución de O ( x ^1/2+ε ) . ^[13]

Consulte OEIS : A084237 para valores de M ( x ) en potencias de 10.

Ng señala que la hipótesis de Riemann (RH) es equivalente a

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

para alguna constante positiva . Maier, Montgomery y Soundarajan obtuvieron otros límites superiores suponiendo que la RH incluye ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

Los límites superiores explícitos conocidos sin asumir la HR se dan por: ^[14]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

Es posible simplificar la expresión anterior en una forma menos restrictiva pero ilustrativa como:

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

• La fórmula de Perron
• Función de Liouville

• Edwards, Harold (1974). Función zeta de Riemann . Mineola, Nueva York: Dover. ISBN 0-486-41740-9.
• Mertens, F. (1897). "" Über eine zahlentheoretische Funktion ", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIA . 106 : 761–830.
• Odlyzko, AM ; te Riele, Herman (1985). "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 357 : 138-160.
• Weisstein, Eric W. "Función de Mertens". MundoMatemático .
• Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A002321 (función de Mertens)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
• Deléglise, M. y Rivat, J. "Cálculo de la suma de la función de Möbius". Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. Cálculo de la suma de la función de Möbius
• Hurst, Greg (2016). "Cálculos de la función de Mertens y límites mejorados para la conjetura de Mertens". arXiv : 1610.08551 [math.NT].
• Nathan Ng, "La distribución de la función sumatoria de la función de Möbius", Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. [1]