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Articulo de referencia

Matriz de Redheffer

En matemáticas, una matriz de Redheffer , a menudo denotada A norte {\displaystyle A_{n}} como lo estudió Redheffer (1977) , es una matriz cuadrada (0,1) cuyas entradas a ij son...

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En matemáticas, una matriz de Redheffer , a menudo denotadaAnorte{\displaystyle A_{n}}como lo estudió Redheffer (1977) , es una matriz cuadrada (0,1) cuyas entradas a ij son 1 si i divide a j o si j = 1; de lo contrario, a ij = 0. Es útil en algunos contextos expresar la convolución de Dirichlet , o sumas de divisores convolucionados , en términos de productos de matrices que involucran la transpuesta de la matriz.    norteth{\displaystyle n^{th}}Matriz de Redheffer.

Variantes y definiciones de matrices de componentes

Dado que la invertibilidad de las matrices de Redheffer se complica por la columna inicial de unos en la matriz, a menudo es conveniente expresarAnorte:=donorte+Dnorte{\displaystyle A_{n}:=C_{n}+D_{n}}dóndedonorte:=[doij]{\displaystyle C_{n}:=[c_{ij}]}se define como la matriz (0,1) cuyas entradas son uno si y solo sij=1{\displaystyle j=1}yi≠1{\displaystyle i\neq 1}. Las entradas restantes de valor uno enAnorte{\displaystyle A_{n}}entonces corresponden a la condición de divisibilidad reflejada por la matrizDnorte{\displaystyle D_{n}}, lo cual se puede ver claramente mediante una aplicación de la inversión de Möbius , siempre es invertible con inversaDnorte−1=[μ(j/i)METROi(j)]{\displaystyle D_{n}^{-1}=\left[\mu (j/i)M_{i}(j)\right]}. A continuación, tenemos una caracterización de la singularidad deAnorte{\displaystyle A_{n}}expresado pordet(Anorte)=det(Dnorte−1donorte+Inorte).{\displaystyle \det \left(A_{n}\right)=\det \left(D_{n}^{-1}C_{n}+I_{n}\right).}

Si definimos la función

METROj(i):={1, si j divide a i; 0,de lo contrario, ,{\displaystyle M_{j}(i):={\begin{cases}1,&{\text{ if j divides i; }}\\0,&{\text{otherwise, }}\end{cases}},}

entonces podemos definir elnorteth{\displaystyle n^{th}}La matriz de Redheffer (transpuesta) se convierte en una matriz cuadrada de n x n.Rnorte=[METROj(i)]1≤i,j≤norte{\displaystyle R_{n}=[M_{j}(i)]_{1\leq i,j\leq n}}en notación matricial habitual. Seguiremos utilizando esta notación a lo largo de las siguientes secciones.

Ejemplos

La matriz que se muestra a continuación es la matriz de Redheffer de 12 × 12. En la notación de suma de matrices dividida para  A12:=do12+D12{\displaystyle A_{12}:=C_{12}+D_{12}}, las entradas a continuación corresponden a la columna inicial de unos endonorte{\displaystyle C_{n}}están marcados en azul.

(111111111111110101010101101001001001100100010001100010000100100001000001100000100000100000010000100000001000100000000100100000000010100000000001){\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&1&0&0&1&0&0&1&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&1&0&0&0&1&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&1&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0&1\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\{\color {blue}\mathbf {1} }&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}\right)}

Una aplicación correspondiente de la fórmula de inversión de Möbius muestra que lanorteth{\displaystyle n^{th}}La matriz transpuesta de Redheffer siempre es invertible , con entradas inversas dadas por

Rnorte−1=[METROj(i)⋅μ(ij)]1≤i,j≤norte,{\displaystyle R_{n}^{-1}=\left[M_{j}(i)\cdot \mu \left({\frac {i}{j}}\right)\right]_{1\leq i,j\leq n},}

dóndeμ(norte){\displaystyle \mu (n)}denota la función de Moebius . En este caso, tenemos que la12×12{\displaystyle 12\times 12}La matriz transpuesta inversa de Redheffer viene dada por

R12−1=(100000000000−110000000000−1010000000000−10100000000−1000100000001−1−1001000000−100000100000000−10001000000−10000010001−100−10000100−100000000010010−10−1000001){\displaystyle R_{12}^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&0&0&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&1&0&0&0\\1&-1&0&0&-1&0&0&0&0&1&0&0\\-1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&-1&0&-1&0&0&0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)}

Propiedades clave

Singularidad y relaciones con la función de Mertens y series especiales

Determinantes

El determinante de la matriz cuadrada de Redheffer n × n viene dado por la función de Mertens M ( n ). En particular, la matrizAnorte{\displaystyle A_{n}}no es invertible precisamente cuando la función de Mertens es cero (o está cerca de cambiar de signo). Como corolario de la refutación [ 1 ] de la conjetura de Mertens , se deduce que la función de Mertens cambia de signo, y por lo tanto es cero, infinitas veces, por lo que la matriz de RedhefferAnorte{\displaystyle A_{n}}es singular en infinitos números naturales.

Los determinantes de las matrices de Redheffer están inmediatamente ligados a la hipótesis de Riemann a través de esta relación con la función de Mertens, ya que la hipótesis es equivalente a demostrar queMETRO(incógnita)=O(incógnita1/2+ε){\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2+\varepsilon }\right)}para todos (suficientemente pequeños)ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}.

Factorizaciones de sumas codificadas por estas matrices

En una construcción algo poco convencional que reinterpreta las entradas de la matriz (0,1) para denotar la inclusión en alguna secuencia creciente de conjuntos de índices, podemos ver que estas matrices también están relacionadas con factorizaciones de series de Lambert . Esta observación se ofrece en la medida en que, para una función aritmética fija f , los coeficientes de la siguiente expansión en serie de Lambert sobre f proporcionan una llamada máscara de inclusión para los índices sobre los que sumamos f para llegar a los coeficientes de la serie de estas expansiones. Cabe destacar que

∑d|norteF(d)=∑k=1norteMETROk(norte)⋅F(k)=[qnorte](∑norte≥1F(norte)qnorte1−qnorte).{\displaystyle \sum _{d|n}f(d)=\sum _{k=1}^{n}M_{k}(n)\cdot f(k)=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).}

Ahora bien, en el caso especial de estas sumas de divisores, que podemos ver en la expansión anterior, están codificadas por la inclusión de valores booleanos (cero-uno) en los conjuntos de divisores de un número natural n , es posible reinterpretar las funciones generadoras de la serie de Lambert que enumeran estas sumas a través de otra construcción basada en matrices. En concreto, Merca y Schmidt (2017-2018) demostraron factorizaciones de matrices invertibles que expanden estas funciones generadoras en la forma de [ 2 ].

∑norte≥1F(norte)qnorte1−qnorte=1(q;q)∞∑norte≥1(∑k=1nortesnorte,kF(k))qnorte,{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}f(k)\right)q^{n},}

dónde(q;q)∞{\displaystyle (q;q)_{\infty }}denota el símbolo q-Pochhammer infinito y donde la secuencia de matriz triangular inferior se genera exactamente como los coeficientes desnorte,k=[qnorte]qk1−qk(q;q)∞{\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}]{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}(q;q)_{\infty }}, a través de estos términos también tienen interpretaciones como diferencias de funciones de partición especiales con índice par (impar). Merca y Schmidt (2017) también demostraron una fórmula de inversión simple que permite que la función implícita f se exprese como una suma sobre los coeficientes convolucionados.ℓ(norte)=(F∗1)(norte){\displaystyle \ell (n)=(f\ast 1)(n)}de la función generadora de la serie de Lambert original en la forma de [ 3 ]

F(norte)=∑d|norte∑k=1nortepag(d−k)μ(norte/d)[∑j≥0k−j≥0ℓ(k−j)[qj](q;q)∞],{\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\sum _{k=1}^{n}p(d-k)\mu (n/d)\left[\sum _{j\geq 0 \atop k-j\geq 0}\ell (k-j)[q^{j}](q;q)_{\infty }\right],}

donde p(n) denota la función de partición ,μ(norte){\displaystyle \mu (n)}es la función de Moebius y los coeficientes de(q;q)∞{\displaystyle (q;q)_{\infty }}heredan una dependencia cuadrática de j a través del teorema del número pentagonal . Esta fórmula de inversión se compara con las inversas (cuando existen) de las matrices de Redheffer.Anorte{\displaystyle A_{n}}para completar la información.

Aparte de que la matriz subyacente denominada matriz máscara que especifica la inclusión de índices en las sumas de divisores en cuestión son invertibles, la utilización de este tipo de construcción para expandir otras matrices tipo Redheffer para otras sumas especiales de teoría de números no tiene por qué limitarse a las formas clásicamente estudiadas aquí. Por ejemplo, en 2018 Mousavi y Schmidt extienden tales lemas de factorización basados ​​en matrices a los casos de sumas de divisores de Anderson-Apostol (de las cuales las sumas de Ramanujan son un caso especial notable) y sumas indexadas sobre los enteros que son relativamente primos a cada n (por ejemplo, como define clásicamente el recuento denotado por la función phi de Euler ). [ 4 ] Más concretamente, los ejemplos considerados en la sección de aplicaciones a continuación sugieren un estudio de las propiedades de lo que puede considerarse matrices de Redheffer generalizadas que representan otras sumas especiales de teoría de números.

Radio espectral y espacios propios

  • Si denotamos el radio espectral deAnorte{\displaystyle A_{n}}porρnorte{\displaystyle \rho _{n}}, es decir, el valor propio del módulo máximo dominante en el espectro deAnorte{\displaystyle A_{n}}, entonces
límitenorte→∞ρnortenorte=1,{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\rho _{n}}{\sqrt {n}}}=1,}

que delimita el comportamiento asintótico del espectro deAnorte{\displaystyle A_{n}}cuando n es grande. También se puede demostrar que1+norte−1≤ρnorte<norte+O(registro⁡norte){\displaystyle 1+{\sqrt {n-1}}\leq \rho _{n}<{\sqrt {n}}+O(\log n)}y mediante un análisis cuidadoso (véanse las expansiones polinómicas características a continuación) queρnorte=norte+registro⁡norte+O(1){\displaystyle \rho _{n}={\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+O(1)}.

  • La matrizAnorte{\displaystyle A_{n}}tiene valor propio uno con multiplicidadnorte−⌊registro2⁡(norte)⌋−1{\displaystyle n-\left\lfloor \log _{2}(n)\right\rfloor -1}.
  • La dimensión del espacio propiomiλ(Anorte){\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}correspondiente al valor propioλ:=1{\displaystyle \lambda :=1} se sabe que es⌊norte2⌋−1{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor -1}. En particular, esto implica queAnorte{\displaystyle A_{n}}no es diagonalizable siemprenorte≥5{\displaystyle n\geq 5}.
  • Para todos los demás valores propiosλ≠1{\displaystyle \lambda \neq 1}deAnorte{\displaystyle A_{n}}, entonces la dimensión de los autoespacios correspondientesmiλ(Anorte){\displaystyle E_{\lambda }(A_{n})}son uno.

Caracterización de los vectores propios

Tenemos eso[a1,a2,…,anorte]{\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}es un vector propio deAnorteT{\displaystyle A_{n}^{T}}correspondiente a algún valor propioλ∈σ(Anorte){\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}en el espectro deAnorte{\displaystyle A_{n}}si y solo si paranorte≥2{\displaystyle n\geq 2}Se cumplen las dos condiciones siguientes:

λanorte=∑d|nortead y λa1=∑k=1norteak.{\displaystyle \lambda a_{n}=\sum _{d|n}a_{d}\quad {\text{ and }}\quad \lambda a_{1}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}

Si nos restringimos a los llamados casos no triviales dondeλ≠1{\displaystyle \lambda \neq 1}, entonces, dado cualquier componente de vector propio iniciala1{\displaystyle a_{1}}Podemos calcular recursivamente los n-1 componentes restantes según la fórmula.

aj=1λ−1∑d|jd<jad.{\displaystyle a_{j}={\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|j \atop d<j}a_{d}.}

Teniendo esto en cuenta, paraλ≠1{\displaystyle \lambda \neq 1}podemos definir las secuencias de

vλ(norte):={1,norte=1;1λ−1∑d|norted≠nortevλ(d),norte≥2.{\displaystyle v_{\lambda }(n):={\begin{cases}1,&n=1;\\{\frac {1}{\lambda -1}}\sum _{d|n \atop d\neq n}v_{\lambda }(d),&n\geq 2.\end{cases}}}

Hay un par de implicaciones curiosas relacionadas con las definiciones de estas secuencias. Primero, tenemos queλ∈σ(Anorte){\displaystyle \lambda \in \sigma (A_{n})}si y solo si

∑k=1nortevλ(k)=λ.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}v_{\lambda }(k)=\lambda .}

En segundo lugar, tenemos una fórmula establecida para la serie de Dirichlet , o función generadora de Dirichlet , sobre estas secuencias para valores fijos de .λ≠1{\displaystyle \lambda \neq 1}lo cual es válido para todosℜ(s)>1{\displaystyle \Re (s)>1}dado por

∑norte≥1vλ(norte)nortes=λ−1λ−ζ(s),{\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {v_{\lambda }(n)}{n^{s}}}={\frac {\lambda -1}{\lambda -\zeta (s)}},}

dóndeζ(s){\displaystyle \zeta (s)}Por supuesto, como de costumbre, denota la función zeta de Riemann .

Límites y propiedades de los autovalores no triviales

Una interpretación desde la perspectiva de la teoría de grafos para evaluar los ceros del polinomio característico deAnorte{\displaystyle A_{n}}y la delimitación de sus coeficientes se da en la Sección 5.1 de. [ 5 ] Estimaciones de los tamaños de los bloques de Jordan deAnorte{\displaystyle A_{n}}correspondientes al autovalor uno se dan en. [ 6 ] Una breve descripción general de las propiedades de un enfoque modificado para factorizar el polinomio característico,pagAnorte(incógnita){\displaystyle p_{A_{n}}(x)}, de estas matrices se define aquí sin el alcance completo de las pruebas algo técnicas que justifican los límites de las referencias citadas anteriormente. Es decir, sea la notación abreviadas:=⌊registro2⁡(norte)⌋{\displaystyle s:=\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }y definir una secuencia de expansiones polinómicas auxiliares según la fórmula

Fnorte(t):=pagAnorte(t+1)tnorte−s−1=ts+1−∑k=1svnortekts−k.{\displaystyle f_{n}(t):={\frac {p_{A_{n}}(t+1)}{t^{n-s-1}}}=t^{s+1}-\sum _{k=1}^{s}v_{nk}t^{s-k}.}

Entonces sabemos queFnorte(t){\displaystyle f_{n}(t)}tiene dos raíces reales, denotadas portnorte±{\displaystyle t_{n}^{\pm }}, que satisfacen

tnorte±=±norte+registro⁡norte+γ−32+O(registro2⁡(norte)norte),{\displaystyle t_{n}^{\pm }=\pm {\sqrt {n}}+\log {\sqrt {n}}+\gamma -{\frac {3}{2}}+O\left({\frac {\log ^{2}(n)}{\sqrt {n}}}\right),}

dóndeγ≈0,577216{\displaystyle \gamma \approx 0.577216}es la constante gamma clásica de Euler , y donde los coeficientes restantes de estos polinomios están acotados por

|vnortek|≤norte⋅registrok−1⁡(norte)(k−1)¡.{\displaystyle |v_{nk}|\leq {\frac {n\cdot \log ^{k-1}(n)}{(k-1)!}}.}

Un gráfico de la naturaleza mucho más restringida en tamaño de los valores propios deFnorte(t){\displaystyle f_{n}(t)}que no se caracterizan por estos dos ceros dominantes del polinomio parece ser notable como lo demuestran los únicos 20 ceros complejos restantes que se muestran a continuación. La siguiente imagen se reproduce de un artículo disponible gratuitamente citado anteriormente cuandonorte∼106{\displaystyle n\sim 10^{6}}Está disponible aquí para su consulta.

Aplicaciones y generalizaciones

Proporcionamos algunos ejemplos de la utilidad de las matrices de Redheffer interpretadas como una matriz (0,1) cuya paridad corresponde a la inclusión en una secuencia creciente de conjuntos de índices. Estos ejemplos deberían servir para actualizar la perspectiva histórica, a veces desactualizada, de estas matrices, y su relevancia como nota al pie debido a la relación inherente y profunda de sus determinantes con la función de Mertens y enunciados equivalentes de la hipótesis de Riemann . Esta interpretación es mucho más combinatoria en su construcción que los tratamientos típicos de los determinantes especiales de la matriz de Redheffer. No obstante, este giro combinatorio en la enumeración de secuencias especiales de sumas se ha explorado más recientemente en varios artículos y es un tema de gran interés en los archivos de preimpresiones. Antes de adentrarnos en la construcción completa de esta variante de la matriz de RedhefferRnorte{\displaystyle R_{n}}Como se definió anteriormente, observe que este tipo de expansión es, en muchos sentidos, esencialmente otra variación del uso de una matriz de Toeplitz para representar expresiones de series de potencias truncadas, donde las entradas de la matriz son coeficientes de la variable formal en la serie. Exploremos una aplicación de esta visión particular de una matriz (0,1) como inclusión de enmascaramiento de índices de sumatoria en una suma finita sobre alguna función fija. Véanse las citas a las referencias [ 7 ] y [ 8 ] para generalizaciones existentes de las matrices de Redheffer en el contexto de casos de funciones aritméticas generales. Los términos de la matriz inversa se refieren a una función de Möbius generalizada dentro del contexto de sumas de este tipo en [ 9 ] .

Productos matriciales que expanden las convoluciones de Dirichlet y las inversas de Dirichlet.

En primer lugar, dadas cualesquiera dos funciones aritméticas no idénticamente nulas f y g , podemos proporcionar representaciones matriciales explícitas que codifican su convolución de Dirichlet en filas indexadas por números naturales.norte≥1,1≤norte≤incógnita{\displaystyle n\geq 1,1\leq n\leq x}:

DF,gramo(incógnita):=[METROd(norte)F(d)gramo(norte/d)]1≤d,norte≤incógnita=[00⋯0gramo(incógnita)00⋯gramo(incógnita−1)gramo(incógnita)……⋱⋱⋯gramo(1)gramo(2)⋯gramo(incógnita−1)gramo(incógnita)][00⋯0F(1)00⋯F(2)F(1)……⋱⋱⋯F(incógnita)F(incógnita−1)⋯F(2)F(1)]RincógnitaT.{\displaystyle D_{f,g}(x):=\left[M_{d}(n)f(d)g(n/d)\right]_{1\leq d,n\leq x}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&g(x)\\0&0&\cdots &g(x-1)&g(x)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\g(1)&g(2)&\cdots &g(x-1)&g(x)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&f(1)\\0&0&\cdots &f(2)&f(1)\\\ldots &\ldots &\ddots &\ddots &\cdots \\f(x)&f(x-1)&\cdots &f(2)&f(1)\end{bmatrix}}R_{x}^{T}.}

Luego dejarmiT:=[1,1,…,1]{\displaystyle e^{T}:=[1,1,\ldots ,1]}denotemos el vector de todos unos, es fácil ver que elnorteth{\displaystyle n^{th}}fila del producto matriz-vectormiT⋅DF,gramo(incógnita){\displaystyle e^{T}\cdot D_{f,g}(x)}da las sumas de Dirichlet convolucionadas

(F∗gramo)(norte)=∑d|norteF(d)gramo(norte/d),{\displaystyle (f\ast g)(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d),}

a pesar de1≤norte≤incógnita{\displaystyle 1\leq n\leq x}donde el índice superiorincógnita≥2{\displaystyle x\geq 2}es arbitrario.

Una tarea particularmente ardua, dada una función arbitraria f, es determinar su inversa de Dirichlet con exactitud sin recurrir a una definición recursiva estándar de esta función mediante otra suma de divisores convolucionados que involucre la misma función f con su inversa subespecificada a determinar:

F−1(norte) = −1F(1)∑d∣norted<norte⁡F(norted)F−1(d), norte>1 dónde F−1(1):=1/F(1).{\displaystyle f^{-1}(n)\ =\ {\frac {-1}{f(1)}}\mathop {\sum _{d\,\mid \,n}} _{d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d),\ n>1{\text{ where }}f^{-1}(1):=1/f(1).}

Es evidente que, en general, la inversa de DirichletF−1(norte){\displaystyle f^{-1}(n)}para f , es decir, la función aritmética definida de forma única tal que(F−1∗F)(norte)=δnorte,1{\displaystyle (f^{-1}\ast f)(n)=\delta _{n,1}}, implica sumas de sumas de divisores anidados de profundidad de uno aω(norte){\displaystyle \omega (n)}donde este límite superior es la función omega prima que cuenta el número de factores primos distintos de n . Como muestra este ejemplo, podemos formular una forma alternativa de construir los valores de la función inversa de Dirichlet mediante la inversión de matrices con nuestras matrices variantes de Redheffer,Rnorte{\displaystyle R_{n}}.

Generalizaciones de las formas de matriz de Redheffer: sumas de MCD y otras matrices cuyas entradas denotan la inclusión en conjuntos especiales.

Existen varios artículos frecuentemente citados de revistas prestigiosas que luchan por establecer expansiones de sumas de divisores de teoría de números, convoluciones y series de Dirichlet (por nombrar algunas) a través de representaciones matriciales. Además de estimaciones no triviales sobre el espectro y los espacios propios correspondientes asociados con aplicaciones verdaderamente notables e importantes de estas representaciones, el mecanismo subyacente para representar sumas de estas formas mediante productos matriciales consiste en definir efectivamente una denominada matriz de enmascaramiento cuyas entradas con valor cero o uno denotan la inclusión en una secuencia creciente de conjuntos de números naturales.{1,2,…,norte}{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}Para ilustrar que la anterior jerga tiene mucho sentido al establecer un sistema basado en matrices para representar una amplia gama de sumas especiales, consideremos la siguiente construcción: SeaAnorte⊆[1,norte]∩Z{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq [1,n]\cap \mathbb {Z} }sea ​​una secuencia de conjuntos de índices, y para cualquier función aritmética fijaF:norte⟶do{\displaystyle f:\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {C} }define las sumas

SA,F(norte)↦SF(norte):=∑k∈AnorteF(k).{\displaystyle S_{{\mathcal {A}},f}(n)\mapsto S_{f}(n):=\sum _{k\in {\mathcal {A}}_{n}}f(k).}

Una de las clases de sumas consideradas por Mousavi y Schmidt (2017) define las sumas de divisores primos relativos estableciendo los conjuntos de índices en la última definición como

Anorte↦GRAMOnorte:={1≤d≤norte:mcd(d,norte)=1}.{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\mapsto {\mathcal {G}}_{n}:=\{1\leq d\leq n:\gcd(d,n)=1\}.}

Esta clase de sumas se puede utilizar para expresar importantes funciones aritméticas especiales de interés en la teoría de números, incluida la función phi de Euler (donde clásicamente definimosmetro:=0{\displaystyle m:=0}) como

φ(norte)=∑d∈GRAMOnortedmetro,{\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d\in {\mathcal {G}}_{n}}d^{m},}

e incluso la función de Möbius a través de su representación como una transformada de Fourier discreta (finita):

μ(norte)=∑mcd(k,norte)=11≤k≤nortemi2πiknorte.{\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,\,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}.}

Las citas en el artículo completo proporcionan otros ejemplos de esta clase de sumas, incluyendo aplicaciones a polinomios ciclotómicos (y sus logaritmos). El artículo de referencia de Mousavi y Schmidt (2017) desarrolla un tratamiento similar a un teorema de factorización para expandir estas sumas, que es análogo a los resultados de factorización de la serie de Lambert presentados en la sección anterior. Las matrices asociadas y sus inversas para esta definición de los conjuntos de índicesAnorte{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}Luego, permítanos realizar el análogo de la inversión de Moebius para sumas de divisores que se puede utilizar para expresar las funciones sumando f como una suma cuasi-convolucionada sobre las entradas de la matriz inversa y las funciones especiales del lado izquierdo, comoφ(norte){\displaystyle \varphi (n)}oμ(norte){\displaystyle \mu (n)}como se señaló en el último par de ejemplos. Estas matrices inversas tienen muchas propiedades curiosas (y actualmente no existe una buena referencia que las resuma todas) que se insinúan y transmiten mejor a los nuevos lectores mediante la inspección. Teniendo esto en cuenta, consideremos el caso del índice superior.incógnita:=21{\displaystyle x:=21}y las matrices pertinentes definidas para este caso se dan a continuación:

(1000000000000000000011000000000000000000101000000000000000001111000000000000000010001000000000000000111111000000000000001010101000000000000011011011000000000000101000101000000000001111111111000000000010001010001000000000111111111111000000001010100010101000000011010011001011000000101010101010101000001111111111111111000010001010001010001000111111111111111111001010001010101000101011011001011010011011)−1=(10000000000000000000−11000000000000000000−101000000000000000001−1−110000000000000000−10001000000000000000100−1−110000000000000010−10−1010000000000000−102−100−11000000000000−100010−1010000000000010−110−11−1−110000000000−101000−1000100000000010−1000100−1−110000000030−20−2020−10−1010000000−301030−1−11000−11000000−101010−100000−101000001000−2001001−11−1−110000−302020−201000−1000100030−20−2020−1000100−1−110010−100010−10000000−1010−100−1110−12−1−11−111−100−11){\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0&0&0\\1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&0&1&0&1&0&1&0&1&0&0&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0&1&0&1&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&2&-1&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&0&0&1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&1&0&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0&0&0&0&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&-1&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\-3&0&1&0&3&0&-1&-1&1&0&0&0&-1&1&0&0&0&0&0&0\\-1&0&1&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&-1&0&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&-2&0&0&1&0&0&1&-1&1&-1&-1&1&0&0&0&0\\-3&0&2&0&2&0&-2&0&1&0&0&0&-1&0&0&0&1&0&0&0\\3&0&-2&0&-2&0&2&0&-1&0&0&0&1&0&0&-1&-1&1&0&0\\1&0&-1&0&0&0&1&0&-1&0&0&0&0&0&0&0&-1&0&1&0\\-1&0&0&-1&1&1&0&-1&2&-1&-1&1&-1&1&1&-1&0&0&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right)}

Ejemplos de matrices invertibles que definen otras sumas especiales con aplicaciones no estándar, sin embargo, deben catalogarse y enumerarse en esta sección de generalizaciones para mayor exhaustividad. Un resumen existente de las relaciones de inversión , y en particular, los criterios exactos bajo los cuales las sumas de estas formas pueden invertirse y relacionarse, se encuentra en muchas referencias sobre polinomios ortogonales . Otros buenos ejemplos de este tipo de tratamiento de factorización para invertir relaciones entre sumas sobre conjuntos triangulares de coeficientes de ponderación suficientemente invertibles o con un comportamiento suficientemente adecuado incluyen la fórmula de inversión de Möbius , la transformada binomial y la transformada de Stirling , entre otras.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Odlyzko, AM ; te Riele, HJJ (1985), "Refutación de la conjetura de Mertens" (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1985 (357): 138– 160, doi : 10.1515/crll.1985.357.138 , ISSN 0075-4102 , MR 0783538 , S2CID 13016831 , Zbl 0544.10047    
  2. ↑ M. Merca; MD Schmidt (2018). "Teoremas de factorización para series de Lambert generalizadas y aplicaciones". The Ramanujan Journal . arXiv : 1712.00611 . Bibcode : 2017arXiv171200611M .
  3. ↑ M. Merca; MD Schmidt (2017). "Generación de funciones aritméticas especiales mediante factorizaciones de series de Lambert". arXiv : 1706.00393 [ math.NT ].
  4. ↑ H. Mousavi; MD Schmidt (2018). "Teoremas de factorización para sumas de divisores primos relativos, sumas de MCD y sumas de Ramanujan generalizadas". arXiv : 1810.08373 [ math.NT ].
  5. ↑ Dana, Will. "Autovalores de la matriz de Redheffer y su relación con la función de Mertens" (PDF) . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
  6. ↑ DW Robinson; WW Barret. "La l-estructura de Jordan de una matriz de Redheffer" (PDF) . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
  7. ↑ Gillespie, BR "Extending Redheffer's Matrix to Arbitrary Arithmetic Functions" . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
  8. ↑ Li, Mao; Tan, Qianrong (octubre de 2011). "Divisibilidad de matrices asociadas con funciones multiplicativas" (PDF) . Matemáticas Discretas . 311 (20): 2276–2282 . doi : 10.1016/j.disc.2011.07.015 . Recuperado el 12 de diciembre de 2018 .
  9. ↑ J. Sandor; B. Crstici (2004). Manual de teoría de números II . Países Bajos: Kluwer Academic Publishers. pág. 112. doi : 10.1007/1-4020-2547-5 . ISBN  978-1-4020-2546-4.
  • Redheffer, Ray (1977), "Eine explizit lösbare Optimierungsaufgabe" , Numerische Methoden bei Optimierungsaufgaben, Band 3 , Birkhäuser, págs. 213–6 , doi : 10.1007/978-3-0348-5936-3_13 , ISBN  978-3-0348-5937-0, MR 0468170 
  • W. Barrett y T. Jarvis (1992). "Propiedades espectrales de una matriz de Redheffer" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 162–164 : 673–683 . doi : 10.1016/0024-3795(92)90401-U .
  • Cardon, David A. (2010). "Matrices relacionadas con series de Dirichlet" (PDF) . Journal of Number Theory . 130 : 27–39 . arXiv : 0809.0076 . Bibcode : 2008arXiv0809.0076C . doi : 10.1016/j.jnt.2009.05.013 . S2CID 11407312. Recuperado el 12 de diciembre de 2018 . 
  • Weisstein, Eric W. "Matriz de Redheffer" . MundoMatemático .
  • Cardinal, Jean-Paul. "Matrices simétricas relacionadas con la función de Mertens" . Consultado el 12 de diciembre de 2018 .
  • Kline, Jeffery (2020). "Sobre la estructura propia de matrices dispersas relacionada con el teorema de los números primos" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 584 : 409–430 . doi : 10.1016/j.laa.2019.09.022 .