Matriz de Toeplitz

En álgebra lineal , una matriz de Toeplitz o matriz diagonal constante , llamada así en honor a Otto Toeplitz , es una matriz en la que cada diagonal descendente de izquierda a derecha es constante. Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz de Toeplitz:

${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\f&a&b&c&d\\g&f&a&b&c\\h&g&f&a&b\\i&h&g&f&a\end{bmatrix}}.}$

Cualquier matriz de la forma ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots &\cdots &a_{-(n-1)}\\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\ddots &&\vdots \\a_{2}&a_{1}&\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &a_{-1}&a_{-2}\\\vdots &&\ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\\a_{n-1}&\cdots &\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{bmatrix}}}$

es una matriz de Toeplitz . Si el elemento de se denota entonces tenemos ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i,j}}$

${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{ij}.}$

Una matriz de Toeplitz no es necesariamente cuadrada .

Una ecuación matricial de la forma

${\displaystyle Ax=b}$

Se denomina sistema de Toeplitz si es una matriz de Toeplitz. Si es una matriz de Toeplitz, entonces el sistema tiene como máximo valores únicos, en lugar de . Por lo tanto, cabría esperar que la solución de un sistema de Toeplitz fuera más sencilla, y de hecho así es. ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle 2n-1}$${\displaystyle n^{2}}$

Los sistemas de Toeplitz pueden resolverse mediante algoritmos como el de Schur o el de Levinson en tiempo ^{[ 1 ] [ 2 ]} Se ha demostrado que las variantes de este último son débilmente estables (es decir, presentan estabilidad numérica para sistemas lineales bien condicionados ). ^{[ 3 ]} Los algoritmos también pueden utilizarse para hallar el determinante de una matriz de Toeplitz en tiempo ^{[ 4 ]}${\displaystyle O(n^{2})}$${\displaystyle O(n^{2})}$

Una matriz de Toeplitz también puede descomponerse (es decir, factorizarse) en tiempo . ^{[ 5 ]} El algoritmo de Bareiss para una descomposición LU es estable. ^{[ 6 ]} Una descomposición LU proporciona un método rápido para resolver un sistema de Toeplitz y también para calcular el determinante. Usando el rango de desplazamiento obtenemos un método que requiere operaciones con el uso de algoritmos rápidos de multiplicación de matrices , donde es el rango y ^{[ 7 ]} . ${\displaystyle O(n^{2})}$${\displaystyle {\tilde {O}}({\alpha ^{\omega -1}}n)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle ^{\sim }2.37\leq \omega <3}$

• Una matriz de Toeplitz se puede definir como una matriz donde , para constantes . El conjunto de matrices de Toeplitz es un subespacio del espacio vectorial de matrices (bajo la suma de matrices y la multiplicación escalar).${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{i,j}=c_{ij}}$${\displaystyle c_{1-n},\ldots ,c_{n-1}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle n\times n}$
• Dos matrices de Toeplitz se pueden sumar en tiempo (almacenando solo un valor de cada diagonal) y multiplicar en tiempo.${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle O(n^{2})}$
• Las matrices de Toeplitz son persimétricas . Las matrices de Toeplitz simétricas son tanto centrosimétricas como bisimétricas .
• Las matrices de Toeplitz también están estrechamente relacionadas con las series de Fourier , ya que el operador de multiplicación por un polinomio trigonométrico , comprimido a un espacio de dimensión finita, puede representarse mediante una matriz de este tipo. De manera similar, la convolución lineal puede representarse como una multiplicación por una matriz de Toeplitz.
• Las matrices de Toeplitz son asintóticamente equivalentes a matrices circulantes a medida que aumenta la dimensión, un resultado conocido como el teorema de Grenander-Szegő . ^{[ 8 ]} Esta propiedad de circulación asintótica es la razón por la que la transformada discreta de Fourier diagonaliza aproximadamente matrices de Toeplitz grandes, y subyace a la efectividad de la estimación de densidad espectral basada en DFT para procesos estacionarios .
• Las matrices de Toeplitz conmutan asintóticamente . Esto significa que se diagonalizan en la misma base cuando la dimensión de filas y columnas tiende a infinito.
• Para matrices de Toeplitz simétricas, existe la descomposición

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A=GG^{\operatorname {T} }-(GI)(GI)^{\operatorname {T} }}$

¿Dónde está la parte triangular inferior de ?${\displaystyle G}$${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}}}A}$

• La inversa de una matriz de Toeplitz simétrica no singular tiene la representación

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\alpha _{0}}}(BB^{\operatorname {T} }-CC^{\operatorname {T} })}$

donde y son matrices triangulares inferiores de Toeplitz y es una matriz triangular inferior estricta. ^{[ 9 ]}${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

La operación de convolución se puede construir como una multiplicación de matrices, donde una de las entradas se convierte en una matriz de Toeplitz. Por ejemplo, la convolución de y se puede formular como: ${\displaystyle h}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle y=h\ast x={\begin{bmatrix}h_{1}&0&\cdots &0&0\\h_{2}&h_{1}&&\vdots &\vdots \\h_{3}&h_{2}&\cdots &0&0\\\vdots &h_{3}&\cdots &h_{1}&0\\h_{m-1}&\vdots &\ddots &h_{2}&h_{1}\\h_{m}&h_{m-1}&&\vdots &h_{2}\\0&h_{m}&\ddots &h_{m-2}&\vdots \\0&0&\cdots &h_{m-1}&h_{m-2}\\\vdots &\vdots &&h_{m}&h_{m-1}\\0&0&0&\cdots &h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle y^{T}={\begin{bmatrix}h_{1}&h_{2}&h_{3}&\cdots &h_{m-1}&h_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&0&\cdots &0\\0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}&0&0&\cdots &0\\0&0&x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{n}&0&\cdots &0\\\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\0&\cdots &0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}&0\\0&\cdots &0&0&0&x_{1}&\cdots &x_{n-2}&x_{n-1}&x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Este enfoque se puede extender para calcular la autocorrelación , la correlación cruzada , la media móvil , etc.

Una matriz de Toeplitz bi-infinita (es decir, entradas indexadas por ) induce un operador lineal en . ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\cdots &a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&a_{-3}&\cdots \\\cdots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&\cdots \\\cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}&a_{-1}&\cdots \\\cdots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}.}$

El operador inducido es acotado si y solo si los coeficientes de la matriz de Toeplitz son los coeficientes de Fourier de alguna función esencialmente acotada . ${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$

En tales casos, se denomina símbolo de la matriz de Toeplitz , y la norma espectral de la matriz de Toeplitz coincide con la norma de su símbolo. La demostración se puede encontrar en el Teorema 1.1 de Böttcher y Grudsky. ^{[ 10 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle L^{\infty }}$

• Matriz circulante , una matriz de Toeplitz cuadrada con la propiedad adicional de que${\displaystyle a_{i}=a_{i+n}}$
• Matriz de Hankel , una matriz de Toeplitz "invertida" (es decir, con las filas invertidas).
• Teoremas del límite de Szegő  : determinante de matrices de Toeplitz grandes
• Operador de Toeplitz