Clase Schur

En análisis complejo , la clase de Schur es el conjunto de funciones holomorfas.${\displaystyle f(z)}$definido en el disco de la unidad abierta${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|<1\}} y satisfactorio${\displaystyle |f(z)|\leq 1}$que resuelven el problema de Schur: Dados los números complejos${\displaystyle c_{0},c_{1},\dotsc ,c_{n}}$, encontrar una función $${\displaystyle f(z)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}z^{j}+\sum _{j=n+1}^{\infty }f_{j}z^{j},}$$ que es analítica y está acotada por 1 en el disco unitario. ^{[ 1 ]} El método para resolver este problema, así como problemas similares (por ejemplo, resolver sistemas de Toeplitz e interpolación de Nevanlinna-Pick ), se conoce como algoritmo de Schur (también llamado extracción de coeficientes o extracción de capas ). Una de las propiedades más importantes del algoritmo es que genera n + 1 polinomios ortogonales que pueden usarse como funciones base ortonormales para expandir cualquier polinomio de orden n . ^{[ 2 ]} Está estrechamente relacionado con el algoritmo de Levinson, aunque el algoritmo de Schur es numéricamente más estable y más adecuado para el procesamiento paralelo. ^{[ 3 ]}

Consideremos la función de Carathéodory de una medida de probabilidad única.${\displaystyle d\mu }$en el círculo unitario${\displaystyle \mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C}$ :|z|=1\}} dado por $${\displaystyle F(z)=\int {\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}d\mu (\theta ),}$$ dónde${\displaystyle \int d\mu (\theta )=1}$implica${\displaystyle F(0)=1}$. ^{[ 4 ]} Entonces la asociación $${\displaystyle F(z)={\frac {1+zf(z)}{1-zf(z)}},}$$ Establece una correspondencia uno a uno entre las funciones de Carathéodory y las funciones de Schur.${\displaystyle f(z)}$dada por la fórmula inversa: $${\displaystyle f(z)=z^{-1}\left({\frac {F(z)-1}{F(z)+1}}\right).}$$

El algoritmo de Schur es una construcción iterativa basada en transformaciones de Möbius que mapea una función de Schur a otra. ^{[ 4 ] [ 5 ]} El algoritmo define una secuencia infinita de funciones de Schur.${\displaystyle f\equiv f_{0},f_{1},\dotsc ,f_{n},\dotsc }$y parámetros de Schur${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\dotsc ,\gamma _{n},\dotsc }$(también llamado coeficiente de Verblunsky o coeficiente de reflexión ) mediante la recursión: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle f_{j+1}={\frac {1}{z}}{\frac {f_{j}(z)-\gamma _{j}}{1-{\overline {\gamma _{j}}}f_{j}(z)}},\quad f_{j}(0)\equiv \gamma _{j}\in \mathbb {D} ,}$$ que se detiene si${\displaystyle f_{j}(z)\equiv e^{i\theta }=\gamma _{j}\in \mathbb {T} }$. Se puede invertir la transformación como $${\displaystyle f(z)\equiv f_{0}(z)={\frac {\gamma _{0}+zf_{1}(z)}{1+{\overline {\gamma _{0}}}zf_{1}(z)}}}$$ o, equivalentemente, como una expansión fraccionaria continua de la función de Schur. $${\displaystyle f_{0}(z)=\gamma _{0}+{\frac {1-|\gamma _{0}|^{2}}{{\overline {\gamma _{0}}}+{\frac {1}{z\gamma _{1}+{\frac {z(1-|\gamma _{1}|^{2})}{{\overline {\gamma _{1}}}+{\frac {1}{z\gamma _{2}+\cdots }}}}}}}}}$$ al utilizar repetidamente el hecho de que $${\displaystyle f_{j}(z)=\gamma _{j}+{\frac {1-|\gamma _{j}|^{2}}{{\overline {\gamma _{j}}}+{\frac {1}{zf_{j+1}(z)}}}}.}$$

• Polinomios ortogonales en el círculo unitario
• polinomio de Szegő