polinomio trigonométrico

En los subcampos matemáticos del análisis numérico y el análisis matemático , un polinomio trigonométrico es una combinación lineal finita de las funciones sin( nx ) y cos( nx ), donde n toma los valores de uno o más números naturales . Los coeficientes pueden ser números reales, para funciones de valor real. Para coeficientes complejos , no hay diferencia entre dicha función y una serie de Fourier finita .

Los polinomios trigonométricos se utilizan ampliamente, por ejemplo, en la interpolación trigonométrica aplicada a la interpolación de funciones periódicas . También se utilizan en la transformada discreta de Fourier .

El término polinomio trigonométrico para el caso de valores reales puede verse como usando la analogía : las funciones sin( nx ) y cos( nx ) son similares a la base monomial para polinomios . En el caso complejo, los polinomios trigonométricos están generados por las potencias positivas y negativas de${\displaystyle e^{ix}}$, es decir, polinomios de Laurent en${\displaystyle z}$bajo el cambio de variables${\displaystyle x\mapsto z:=e^{ix}}$.

Cualquier función T de la forma

$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos nx+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin nx\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

con coeficientes de valor complejo${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$y al menos uno de los coeficientes de mayor grado${\displaystyle a_{N}}$y${\displaystyle b_{N}}$distinto de cero, se denomina polinomio trigonométrico complejo de grado N. ^{[ 1 ]} El coseno y el seno son las partes par e impar de la exponencial de una variable imaginaria , $${\displaystyle \cos nx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}e^{inx}+e^{-inx}{\bigr )},\quad \sin nx=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}e^{inx}-e^{-inx}{\bigr )},}$$ por lo que el polinomio trigonométrico puede escribirse alternativamente como $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$$ con coeficientes complejos${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$y​ $${\displaystyle \quad c_{k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}i),\quad c_{-k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}i),}$$ para todos${\displaystyle k}$de 1 a${\displaystyle N}$⁠ .

Si los coeficientes${\displaystyle a_{n}}$y${\displaystyle b_{n}}$son reales para todos${\displaystyle n}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle T}$Se denomina polinomio trigonométrico real . ^{[ 2 ]} Al utilizar la forma exponencial, los coeficientes complejos satisfacen${\displaystyle c_{-n}={\overline {c}}_{n}}$a pesar de${\displaystyle n\in [-N,N]}$. ^{[ 3 ]}

Un polinomio trigonométrico puede considerarse una función periódica en la recta real , con un período igual a algún divisor de .${\displaystyle 2\pi }$⁠ , o como una función en el círculo unitario .

Los polinomios trigonométricos son densos en el espacio de funciones continuas en el círculo unitario, con la norma uniforme ; ^{[ 4 ]} este es un caso especial del teorema de Stone-Weierstrass . Más concretamente, para cada función continua ⁠${\displaystyle f}$y cada uno${\displaystyle \epsilon >0}$Existe un polinomio trigonométrico .${\displaystyle T}$de tal manera que${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$para todos${\displaystyle z}$⁠ . El teorema de Fejér establece que las medias aritméticas de las sumas parciales de las series de Fourier de ⁠${\displaystyle f}$convergen uniformemente a${\displaystyle f}$proporcionado​​${\displaystyle f}$es continua en el círculo; estas sumas parciales se pueden usar para aproximar${\displaystyle f}$⁠ .

Un polinomio trigonométrico de grado ⁠${\displaystyle N}$tiene un máximo de${\displaystyle 2N}$raíces en un intervalo real${\displaystyle [a,a+2\pi )}$a menos que sea la función cero. ^{[ 5 ]}

El teorema de Fejér-Riesz establece que todo polinomio trigonométrico real positivo$${\displaystyle t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},}$$ satisfactorio${\displaystyle t(x)>0}$a pesar de${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, puede representarse como el cuadrado del módulo de otro polinomio trigonométrico (generalmente complejo )${\displaystyle q(x)}$de tal manera que: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\overline {q(x)}}.}$$ O, equivalentemente, todo polinomio de Laurent$${\displaystyle w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},}$$ con${\displaystyle w_{n}\in \mathbb {C} }$que satisface${\displaystyle w(\zeta )\geq 0}$a pesar de${\displaystyle \zeta \in \mathbb {T} }$se puede escribir como: $${\displaystyle w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}},}$$ para algún polinomio $${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+\cdots +p_{N}z^{N},}$$ y${\displaystyle p(z)}$Se puede elegir que no haya ceros en el disco de la unidad abierta.${\displaystyle \mathbb {D} }$. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El teorema de Fejér-Riesz surge naturalmente en la teoría espectral y la factorización polinómica.${\displaystyle w(\zeta )=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}}}$También se denomina factorización espectral (o factorización de Wiener-Hopf ) de${\displaystyle w(\zeta )}$. ^{[ 9 ]}

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• Series trigonométricas
• Cuasipolinomial
• Polinomio exponencial