Polinomio exponencial

Un polinomio exponencial generalmente tiene una variable x y algún tipo de función exponencial E ( x ). En los números complejos ya existe una función exponencial canónica, la función que mapea x a eˣ . En este contexto ^, el término polinomio exponencial se usa a menudo para referirse a polinomios de la forma P ( x , eˣ ) ^, donde P  ∈ C [ x , y ] es un polinomio en dos variables. ^{[ 1 ] [ 2 ]} 

No hay nada particularmente especial en C aquí; los polinomios exponenciales también pueden referirse a un polinomio de este tipo en cualquier cuerpo exponencial o anillo exponencial con su función exponencial tomando el lugar de e ^x arriba. ^{[ 3 ]} De manera similar, no hay razón para tener una variable, y un polinomio exponencial en n variables sería de la forma P ( x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} ), donde P es un polinomio en 2 n variables.

Para polinomios exponenciales formales sobre un cuerpo K procedemos de la siguiente manera. ^{[ 4 ]} Sea W un Z - submódulo finitamente generado de K y consideremos sumas finitas de la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,}$

donde los f _i son polinomios en K [ X ] y los exp( w _i X ) son símbolos formales indexados por w _i en W sujetos a exp( u + v ) = exp( u ) exp( v ).

Un marco más general donde se puede encontrar el término "polinomio exponencial" es el de las funciones exponenciales en grupos abelianos. De manera similar a como se definen las funciones exponenciales en cuerpos exponenciales, dado un grupo abeliano topológico G, un homomorfismo de G al grupo aditivo de los números complejos se denomina función aditiva, y un homomorfismo al grupo multiplicativo de los números complejos distintos de cero se denomina función exponencial, o simplemente exponencial. Un producto de funciones aditivas y exponenciales se denomina monomio exponencial, y una combinación lineal de estos es entonces un polinomio exponencial en G. ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Los conjuntos de ceros de polinomios exponenciales dan lugar a una clase de objetos geométricos que generalizan conjuntos algebraicos reales. Dados los polinomios exponenciales ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$, su conjunto cero común ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$ A veces se le denomina conjunto algebraico exponencial .

Estos conjuntos extienden la noción de conjuntos algebraicos reales al permitir definir ecuaciones que involucran tanto términos polinómicos como exponenciales de polinomios. Si bien generalmente no son ni algebraicos ni semialgebraicos, conservan varias características estructurales propias de la geometría algebraica real. En particular, nociones como la irreducibilidad y la descomposición en un número finito de componentes admiten análogos significativos en este contexto.

Desde una perspectiva computacional, los conjuntos cero de polinomios exponenciales se han estudiado en relación con problemas de decisión reales y la teoría de la complejidad. Desde una perspectiva computacional, los conjuntos cero de polinomios exponenciales se han estudiado en relación con problemas de decisión reales y la teoría de la complejidad. Se han desarrollado algoritmos para calcular componentes irreducibles de conjuntos de soluciones reales definidos por ecuaciones exponenciales-polinómicas, junto con límites de complejidad en dimensión fija ^{[ 7 ]} y, especialmente, el caso de hipersuperficies exponenciales reales se comprende bien. ^{[ 8 ]} Clases relacionadas de ecuaciones exponenciales-polinómicas también aparecen en el estudio de funciones pfaffianas y geometría real domesticada, donde la finitud y los resultados estructurales juegan un papel importante. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}